集值映射空間與超空間的繼承稠密度和繼承Lindel?f度

楊春梅，李祖泉

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

集值映射空間與超空間的繼承稠密度和繼承Lindel?f度

楊春梅，李祖泉

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

利用連續(xù)集值賦值映射和弱拓?fù)溆懻摿思涤成淇臻g的繼承稠密度和繼承Lindel?f度，獲得了點(diǎn)態(tài)收斂拓?fù)淇臻g（X）上hd（（X））和hl（（X））與基本空間X的對(duì)偶性以及緊開拓?fù)淇臻g（X）上hd（X））和hl（X））與基本空間X的對(duì)偶性，推廣了單值連續(xù)集值映射空間（X）的相關(guān)結(jié)論.

集值映射空間；超空間；繼承稠密度；繼承Lindel?f度；弱拓?fù)?/p>

0 引 言

Zenor P［1］和McCoy R A［2-3］對(duì)函數(shù)空間（X）在賦予緊開拓?fù)湎碌睦^承稠密度和繼承Lindel?f度進(jìn)行了系統(tǒng)研究，騰輝，林壽［4］對(duì)點(diǎn)態(tài)收斂函數(shù)空間Cp（X）給出了繼承稠密度和繼承Lindel?f度的等價(jià)刻畫，并且指出了McCoy R A的證明中的錯(cuò)誤.本文研究了點(diǎn)緊連續(xù)集值映射空間（X）和（X）與基本空間X和的繼承稠密度和繼承Lindel?f度的對(duì)偶不等式定理，給出了（X）上hd（（X））和hl（X））以及（X）上hd（k（X））和hl（X））的兩個(gè)對(duì)偶性證明.

本文中，拓?fù)淇臻gX是Hausdorff空間，K（X）表示X的所有非空緊子集族，ω表示可數(shù)序數(shù)，?表示自然數(shù)集，?表示實(shí)直線，（X）為X到?上的所有點(diǎn)緊致的連續(xù)映射族，p（X）為（X）賦予點(diǎn)態(tài)收斂拓?fù)?，k（X）為（X）賦予緊開拓?fù)?文中未定義的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)均以［3］，［5］和［6］為準(zhǔn).

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于X的子集K，?的子集U，V，記W＋［K；U］＝｛f∈k（X）：f（K）?U｝；W-［K；V］＝｛f∈k（X）：f（x）∩V≠φ，x∈K｝.

定義1 以所有形如W＋［x；U］，W-［x；V］的集為子基作為（X）的拓?fù)?，其中x∈X，U，V為?的開子集.該拓?fù)浞Q為點(diǎn)態(tài)收斂拓?fù)?，記為p（X）.

定義2 以所有形如W＋［K；U］，W-［K；V］的集為子基作為（X）的拓?fù)?，其中K∈K（X），U，V為

的集生成，其中K∈K（X），k∈?，V1，V2，…，Vk為?中的開集.證明 由定義，k（X）的基開集由形如W＋［K，U］，W-［K，V］的集的有限交

生成，其中Ai，Bj∈K（X），開集Ui，Vj??，1≤i≤m，1≤j≤n，m，n∈?.容易證明∩mi＝1W＋［Ai；Ui］∩∩nj＝1W-［Bj；Vj］＝∩mi＝1W［Ai；Ui］∩∩nj＝1W［Bj；Vj，X］.另一方面，對(duì)于任意K∈K（X），開集Vi??，1≤i≤k，k∈?，W［K；V1，V2，…，Vk］＝∩ki＝1W-［K；Vi］∩W＋［K；∪ki＝1Vi］.

2 主要結(jié)果

設(shè)X是拓?fù)淇臻g，X的繼承稠密度hd（X）定義為：（hd）（X）＝ω＋sup｛d（A）：A?X｝.特別地，若hd（X）＝ω，則稱X是繼承可分空間.X的繼承Lindel?f度hl（X）定義為：hl（X）＝ω＋sup｛L（A）：A?X｝.特別地，若hl（X）＝ω，則稱X是繼承Lindel?f空間，其中d（A）和L（A）分別代表子集A?X的稠密度和Lindel?f度.

空間X上的緊子集超空間K（X）的基為形如形式，其中n∈?，Ui（1≤i≤k）是X中的開集.由［7］命題4.5.1，有w（K（X））＝w（X）.

定義4 設(shè)X，Y和Z是拓?fù)淇臻g，f：X×Y→Z是點(diǎn)緊致的集值映射.對(duì)于y∈Y，定義集值映射fy：X→Z為fy（x）＝f（x，y）；類似地，對(duì)于x∈X，定義集值映射fx：Y→Z為fx（y）＝f（x，y）.若對(duì)于每一個(gè)y∈Y，fy是連續(xù)的，則稱f是在X上的連續(xù)的；同理，若對(duì)于每一個(gè)x∈X，fx是連續(xù)的，則稱f是在Y上連續(xù)的.

定理1 設(shè)X，Y和Z是拓?fù)淇臻g，f：X×Y→Z是點(diǎn)緊致的集值映射.f是在Y上連續(xù)的，且X具有使得f是在X上連續(xù)的弱拓?fù)洌瑒t下列結(jié)論成立：（a）hd（X）≤hl（Y）·w（K（Z））；（b）hl（X）≤hd（Y）· w（K（Z））.

（a）設(shè)A?X，因?yàn)閒是在Y上連續(xù)的，對(duì)于n∈?，Ui∈，1≤i≤n，令

令A(yù)′＝∪｛A（U1，U2，…，Un）：（U1，U2，…，Un）∈＃｝，則｜A′｜≤hl（Y）·w（K（Z））.下面證明＝A.設(shè)x∈A，V為含x的開鄰域，因?yàn)閄具有使得f是在X上連續(xù)的弱拓?fù)洌瑒t是X的基.從而存在y∈Y，（U1，U2，…，Un）∈＃，使得.而U2，…，Un），所以存在使得.從而，即x′

則對(duì)于B（U1，U2，…，Un）的每個(gè)稠密子集B′（U1，U2，…，Un），有｜B′（U1，U2，…，Un）｜≤hd（Y）.令

則｜A″｜≤hd（Y）·w（Z）.下面證明：∪A′＝∪A″.顯然有∪A″?∪A′.設(shè)x∈∪A′，那么存在（U1，使得.從而U2，…，Un），所以存在.因此，故x∈∪A″.

推論1 設(shè)f：X×Y→?是點(diǎn)緊致的集值映射.X，Y上的拓?fù)涫鞘沟胒在X和Y上均是連續(xù)的弱拓?fù)?，則hd（X）＝hl（Y）且hl（X）＝hd（Y）.

證明 因?yàn)閣（?）＝ω，由w（K（?））＝w（?）＝ω，則hd（X）≤hl（Y）·w（K（?））＝hl（Y）且hl（X）≤hd（Y）·w（K（?））＝hd（Y）.由X和Y的對(duì)稱性，有hd（Y）≤hl（X）且hl（Y）≤hd（X）.從而hd（X）＝hl（Y）且hl（X）＝hd（Y）.

定理2 對(duì)于拓?fù)淇臻gX，下列結(jié)論成立：（a）hd（X）≤hl（p（X））；（b）hl（X）≤hd（p（X））.

則形如U-，U＋的集是K（?）的子基開集.由

可知φf為X上的連續(xù)集值映射.從而由定理1知hd（X）≤hl（p（X））·w（K（?））＝hl（p（X））及hl（X）≤hd（p（X））·w（K（?））＝hd（p（X））.

定理3 對(duì)于拓?fù)淇臻gX，下列結(jié)論成立：（a）hd（X）≤hl（k（X））；（b）hl（X）≤hd（k（X））.

設(shè)f∈W＋［K；U］，則f（K）?U.對(duì)于x∈K時(shí)，有f（x）?U.因?yàn)閒是連續(xù)映射，則f（x）為緊集，從而存在包含f（x）的開集W，使得f（x）?W?W?U.所以存在K的開子集Vx，使得x′∈Vx，且有是閉集，有，即.對(duì)于任意.因?yàn)镵是緊的，存在x1，x2，…，xn∈K，n∈?，使得

設(shè)f∈W-［K；U］，對(duì)于x∈K，有f（x）∩U≠φ.設(shè)y∈f（x）∩U，則存在包含y的?中的開集W，使得.因?yàn)閒是連續(xù)映射，所以存在K的開子集Vx，使得當(dāng)x′∈Vx時(shí)，f（x′）∩W≠φ，即Vx?f-（W），從而由）為閉集，有.對(duì)于任意，有φ（x′，f′）?U.因?yàn)镵是緊的，存在x1，x2，…，xn∈K，n∈?，使得.從而W-.

推論3 對(duì)于拓?fù)淇臻gX，有：

［1］Zenor P.Hereditary m-seperability and the hereditary m-lindel?f property in product spaces and functions［J］.Fund Math，1980，106：175-180.

［2］McCoy R A.Countability properties of function spaces［J］.Roc Moun Jour Math，1980，10（4）：717-730.

［3］McCoy R A，Ntantu I.Topological Properties of Spaces of Continuous Functions［C］／／Lecture Notes in Math，Berlin：Springer-Verlag，1988：1315.

［4］騰輝，林壽.函數(shù)空間的遺傳稠密度和遺傳Lindel?f度［J］.科學(xué)通報(bào).1993，38（1）：1-4.

［5］林壽.度量空間與函數(shù)空間的拓?fù)洌跰］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［6］Engelking.General Topology［M］.Warszwa：Polish Scientific Publishers，1977.

［7］Michael E.Topologies on spaces of subsets［J］.Trans Math Soc，1951，71：152-182.

On Hereditary Density and Hereditary Lindel?f Degree of Multifunction Spaces and Hyperspaces

YANG Chun-mei，LI Zu-quan

（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper discused the hereditary density and the hereditary Lindel?f degree of multifunction spaces by means of evaluation multifunction and weat topology，obtained two dualities of point-wise convergent topological spacek（p）with basic Xand compact-open topological spacek（X）with basic Xabout hd（p（X）），hl（p（X））and hd（k（X）），hl（k（X））.These results extended related conclusions of function spaceκ（X）.

multifunction space；hyperspace；hereditary density；hereditary Lindel?f degree；weak topology.

11.3969／j.issn.1674-232X.2012.02.018

O189.1 MSC2010：54A25

A

1674-232X（2012）02-0185-04

2011-09-17

李祖泉（1963—），男，教授，主要從事一般拓?fù)鋵W(xué)研究.E-mail：hzsdlzq＠sina.com