典型鈍體斷面顫振時壓力分布特性

錢幫虎 易坤濤

（同濟大學(xué)橋梁系 中國 上海 200092）

0 引言

橋梁顫振是一種發(fā)散性的自激振動，主要是由于振動結(jié)構(gòu)在流動的空氣中不斷吸收能量，而該能量又大于結(jié)構(gòu)阻尼在振動中所耗散的能量[1]。 目前，橋梁顫振機理的研究主要有三類方法，分別是基于氣動導(dǎo)數(shù)的顫振驅(qū)動機理分析方法[2]、基于計算流體動力學(xué)（CFD）的方法[3]及基于粒子圖像測速技術(shù)（PIV）的方法[4]。

1940 年11 月7 日，Tacoma 橋風(fēng)毀以后， 人們從漩渦對結(jié)構(gòu)振動的驅(qū)動作用角度對其進行研究，All-an[5],Green[6]分別以物理模型和數(shù)值模擬從漩渦分布及其對結(jié)構(gòu)的作用方面對Tacoma 橋的風(fēng)毀進行解釋，我國的張偉[4]通過PIV 設(shè)備獲得橋梁斷面周圍的漩渦及其運動規(guī)律，從而更加清楚地描述出漩渦的這種推動作用。

POD（Proper Orthogonal Decomposition）技術(shù)提供了一種描述結(jié)構(gòu)表面風(fēng)壓場的統(tǒng)計方法, 它將風(fēng)壓場分解為僅依賴空間的協(xié)方差本征模態(tài)和僅依賴時間的主坐標。 POD 方法可以找出一系列隨機過程之間的隱藏在已知數(shù)據(jù)背后的特征，其最大的優(yōu)點就是用很少的幾階本征模態(tài)去表述一個過程，而通常主要模態(tài)和現(xiàn)象的機理是有很大的關(guān)聯(lián)性[7]。 Armitt[8]最早將POD 技術(shù)用于風(fēng)工程領(lǐng)域。周志勇[9]將POD 技術(shù)用于斜腹板箱型截面顫振時的表面壓力分布特征分析。 分析表明：POD 分解得到的本征模態(tài)中有與顫振扭轉(zhuǎn)發(fā)散運動關(guān)聯(lián)極強的本征模態(tài)， 其主坐標具有與振動位移一致的發(fā)散性，且主坐標有一個與顫振發(fā)散頻率一致的頻率。

本文將對典型的鈍體斷面模型顫振和固定時以及加穩(wěn)定板顫振時進行表面壓力分布測試，通過對原斷面模型顫振時表面壓力分布進行分析和與固定時進行對比分析，試圖找到與顫振發(fā)散有關(guān)聯(lián)性的模態(tài)。 然后將加穩(wěn)定板模型和原斷面模型顫振發(fā)散時本征模型進行對比，找出原斷面和加穩(wěn)定板斷面顫振發(fā)散時表面壓力分布的差異。

1 POD 方法的基本數(shù)學(xué)格式

假設(shè)p（x，y，t）為隨機脈動風(fēng)壓力函數(shù)，那么p（x，y，t）的協(xié)方差函數(shù)C（xi，yi，xj，yj）可寫成

風(fēng)壓力協(xié)方差矩陣C 特征值問題為：

當(dāng)采用矩形積分規(guī)則計算時，式（2）的離散化表達式為：

其中：ΔAj代表第j 個測壓孔的流域面積。

對每階特征向量進行歸一化， 得到歸一化的特征向量，即

每階特征向量對應(yīng)主坐標an（t）為

2 典型鈍體斷面原斷面顫振時壓力波動特征

本文對典型的鈍體斷面模型和加穩(wěn)定板模型進行表面壓力分布測試，斷面形狀和測點布置見圖1。試驗是在均勻流場中進行的， 表面壓力采樣頻率為312.5Hz， 采樣點數(shù)為12000 點，采樣時間為38.4 秒。

圖1 典型鈍體斷面形狀和測點布置圖

在零風(fēng)速下， 鈍體斷面模型豎彎和扭轉(zhuǎn)頻率分別為1.334Hz 和2.339Hz。原斷面模型和加穩(wěn)定板模型顫振發(fā)散風(fēng)速分別為7m/s 和8.5m/s， 顫振頻率分別為2.308Hz 和2.310Hz。 由于鈍體斷面模型顫振發(fā)散是典型的分離流顫振，顫振頻率很接近扭轉(zhuǎn)頻率。

為了明確顫振時模型各部分壓力波動特性，將模型的表面輪廓線分成上方左側(cè)，上方右側(cè)，下方左側(cè)，下方右側(cè)，左側(cè)腹板，右側(cè)腹板六部分。 顫振時鈍體斷面模型各部分壓力分布對升力矩的貢獻見表1，其幅值譜見圖2。 從圖2 和表1中都可以看出：鈍體斷面模型的上方右側(cè)和下方左側(cè)的壓力波動在總升力矩波動中占了絕大部分，有90%左右。

圖2 鈍體斷面模型各部分升力矩幅值譜

表1 鈍體斷面模型顫振發(fā)散時各部分壓力分布對升力矩貢獻

3 鈍體斷面模型表面壓力POD 分析

3.1 原斷面模型顫振發(fā)散時表面壓力POD 分析

原斷面模型共有98 個測點， 所以協(xié)方差矩陣為98×98的實對稱矩陣，可以求解出98 階本征模態(tài)。 每一階本征模態(tài)反應(yīng)壓力分布的空間特性，每一階本征模態(tài)對應(yīng)的主坐標反應(yīng)了該階模態(tài)的時間特性，從而實現(xiàn)了從時間和空間角度各自對表面壓力分布進行研究，探討顫振發(fā)散的機理。 由于顫振是單一頻率的運動， 所以對其表面壓力進行POD 分解時，只會有一階或很少幾階模態(tài)與顫振運動聯(lián)系緊密，我們?nèi)∏? 階進行觀察，后面的高階模態(tài)所含的能量已經(jīng)很少，不會對顫振運動產(chǎn)生很大影響。

原斷面模型顫振時前八階本征模態(tài)φn（xi，yi）以及每階本征模態(tài)對應(yīng)的主坐標an（t）及幅值譜見圖3。 從圖3 中可以看出：原斷面模型表面壓力POD 分解第2 到6 階模態(tài)主坐標都有發(fā)散的趨勢，但第四階及之后的模態(tài)主坐標幅值譜幅值較小且沒有一個比較明顯的卓越頻率；第二階本征模態(tài)對應(yīng)的主坐標有明顯的發(fā)散趨勢，且其幅值譜有明顯的卓越周期和較大的幅值。 如果把每個測點的特征向量視為一種壓力分布，那么對第二階本征模態(tài)分析不難發(fā)現(xiàn)：鈍體斷面模型的合力中有較大的升力矩，而升力相對較小，這種合力是造成鈍體斷面模型發(fā)生分離流顫振的原因。 從而可以合理地推斷原斷面模型顫振發(fā)散時表面壓力POD 分析獲得的第2 階本征模態(tài)與顫振運動有很大的關(guān)聯(lián)性。

圖3 原斷面模型顫振時前八階本征模態(tài)以及對應(yīng)的主坐標和幅值譜

3.2 原斷面模型固定和顫振時表面壓力對比分析

圖4 是原模型顫振發(fā)散時的本征模態(tài)及固定時的本征模態(tài)對比圖。 從圖4 中可以看出：原斷面模型顫振發(fā)散時的第1 階模態(tài)與固定時的第1 階模態(tài)很相近，顫振發(fā)散時的第4 階模態(tài)與固定時的第3 階模態(tài)很相近， 顫振發(fā)散時的第5階模態(tài)與固定時的第6 階模態(tài)很相近，顫振發(fā)散時的第6 階模態(tài)與固定時的第5 階模態(tài)很相近。 原斷面模型顫振發(fā)散時的第2，3 兩階本征模態(tài)在模型固定時沒有與之相近的模態(tài)，其它模態(tài)在模型固定時都有與之相近的模態(tài)。

圖4 原斷面模型顫振發(fā)散時模態(tài)和固定時與之相近的模態(tài)

4 小結(jié)

本論文通過對典型鈍體斷面模型和加穩(wěn)定板模型進行表面壓力采樣并使用POD 方法進行分析，從壓力分布角度探討顫振發(fā)散的機理。 分析結(jié)果表明：

4.1 鈍體斷面模型顫振時上方右側(cè)和下方左側(cè)的壓力波動在總升力矩波動中占了絕大部分;

4.2 原斷面顫振時表面壓力POD 分解第二階本征模態(tài)對應(yīng)的主坐標有明顯的發(fā)散趨勢，且其幅值譜有明顯的卓越周期和較大的幅值；

4.3 原斷面模型顫振發(fā)散時的第2，3 兩階本征模態(tài)在模型固定時沒有與之相近的模態(tài)，其它模態(tài)在模型固定時都有與之相近的模態(tài)。S

［1］項海帆，等.現(xiàn)代橋梁抗風(fēng)理論與實踐[M].北京：人民交通出版社，2005.

［2］楊詠晰.橋梁顫振機理研究及其應(yīng)用[D].上海：同濟大學(xué)，1998.

［3］周志勇.離散渦方法用于橋梁截面氣動彈性問題的數(shù)值計算[D].上海：同濟大學(xué)博士后研究工作報告，2001.

［4］張偉，葛耀君. H 形斷面橋梁風(fēng)致振動的流場機理[J].土木工程學(xué)報， 2009，42（5）.

［5］Allan Larsen, Aerodynamics of the Tamoca Narrows Bridge-60 years later[J]. Structural Engineering International,2000,10（4）.

［6］Green,D.,W.G.Unruh.The failure of the Tacoma Bridge：a physical model.American Journal of Physics,2006,74（8）.

［7］Bienkiewicz B, Tamura Y, Ham H J, Ueda H, HibiK.Proper orthogonal decomposition and reconstruction of multi-channel roof pressure[J].J. Wind Eng.Ind.Aerodyn, 1995, 54/55： 369－381.

［8］Armitt J. Eigenvector analysis of pressure fluctuations on the West Burton instrumented cooling tower[R].Central Electricity Research Laboratories （U K）,Internal Report RD/L/N 114/68,1968.

［9］周志勇，楊立坤.彈性懸掛彎扭耦合顫振模型表面壓力分布的時空特性及顫振機理分析[J].空氣動力學(xué)報，2010.