淺析來自生活中的一次函數(shù)問題

☉河南省淮陽第一高級中學(xué) 王寸真

淺析來自生活中的一次函數(shù)問題

☉河南省淮陽第一高級中學(xué) 王寸真

一元一次函數(shù)在我們的日常生活中應(yīng)用十分廣泛，當人們在社會生活中從事買賣特別是消費活動時，若其中涉及變量的線性依存關(guān)系，則可利用一元一次函數(shù)解決問題．例如，當我們購物、租用車輛、入住旅館時，經(jīng)營者為達到宣傳、促銷或其他目的，往往會為我們提供兩種或多種付款方案或優(yōu)惠辦法．這時我們應(yīng)三思而后行，深入發(fā)掘自己的數(shù)學(xué)知識，做出明智的選擇．可以利用一次函數(shù)來指導(dǎo)購物，既鍛煉了數(shù)學(xué)頭腦、發(fā)散了思維，又節(jié)省了錢財、杜絕了浪費，真是一舉兩得啊！利用一次函數(shù)關(guān)系式，同學(xué)們可以解決很多生活中的實際問題，舉例說明如下．

一、依法納稅問題

例1 依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)．從2008年3月1日起，新修改后的《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民每月收入不超過2000元，不需交稅；超過2000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，都應(yīng)納稅，且根據(jù)超過部分的多少按不同的稅率納稅，詳細的稅率如下表：

級別 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%）1不超過500元的 5 2 超過500元至2000元的部分 10 3 超過2000元至5000元的部分 15 4 超過5000元至20000元的部分 20………

（1）某工廠一名工人2008年3月的收入為2400元，問他應(yīng)交稅款多少元．

（2）設(shè)x表示公民每月收入（單位：元），y表示應(yīng)交稅款（單位：元），當2500≤x≤4000時，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

（3）某公司一名職員2008年4月應(yīng)交稅款120元，問該月他的收入是多少元．

解：（1）該工人3月的收入2400元中，應(yīng)納稅的部分是400元，按納稅的稅率表，他應(yīng)交納稅款400×5%=20（元）．

（2）當2500≤x≤4000時，其中2000元不用納稅，應(yīng)納稅的部分在500元至2000元之間，其中500元按5%交納，剩余部分按10%交納，于是，有y=［（x-2000）-500］×10%+500×5%=（x-2500）×10%+25，即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=（x-2500）×10%+25=0．1x-225（2500≤x≤4000）．

（3）根據(jù)（2）可知，當收入為2500元至4000元之間時，納稅額在25元至175元之間，于是，由該職員納稅款120元，可知他的收入肯定在2500元至4000元之間．

設(shè)他的收入為z元，由（2）可得（z-2500）×10%+25=120，解得z=3450，故該職員2008年4月的收入為3450元．

評析：我國的稅收是取之于民，用之于民，公民有納稅的義務(wù)，通過本題的考查，使學(xué)生進行了稅收知識的教育．本題以修改后的新《個人所得稅》規(guī)定為背景，通過建構(gòu)分段函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，對不同范圍內(nèi)的月工薪進行計算，得出有關(guān)數(shù)據(jù)．

二、抗震救災(zāi)問題

例2“5·12”汶川地震發(fā)生后，某天廣安先后有兩批自愿者救援隊分別乘客車和出租車沿相同路線從廣安趕往重災(zāi)區(qū)平武救援，圖1表示其行駛過程中路程隨時間的變化圖像．

（1）根據(jù)圖像，請分別寫出客車和出租車行駛過程中路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系式（不寫出自變量的取值范圍）．

（2）求客車和出租車行駛的速度分別是多少．

（3）試求出出租車出發(fā)后多長時間趕上客車．

解：（1）客車行駛過程中路程與時間的函數(shù)關(guān)系式為y＝40x；

出租車行駛過程中路程與時間的函數(shù)關(guān)系式為y＝100（x－2）．（2）客車行駛的速度為40千米／時，出租車行駛的速度為100千米／時．

圖1

評析：行程問題是一個常規(guī)的問題，而新課標下的行程問題，與原來行程問題的應(yīng)用題完全不同，往往與圖像、圖形、表格等結(jié)合在一起，不僅考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，而且考查了學(xué)生的識圖能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．

三、調(diào)運方案問題

例3 抗震救災(zāi)中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，

壇決定將甲、乙兩個倉庫的糧食，全部轉(zhuǎn)移到具有較強抗震功能的A、B兩倉庫.已知甲庫有糧食100噸，乙?guī)煊屑Z食80噸，而A庫的容量為70噸，B庫的容量為110噸.從甲、乙兩庫到A、B兩庫的路程和運費如下表（表中“元/（噸·千米）”表示每噸糧食運送1千米所需人民幣）.

路程（千米）運費（元/（噸·千米））甲庫 乙?guī)?甲庫 乙?guī)霢庫 20 15 12 12 B庫 25 20 10 8

（1）若甲庫運往A庫糧食x噸，請寫出將糧食運往A、B兩庫的總運費y（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當甲、乙兩庫各運往A、B兩庫多少噸糧食時，總運費最省，這時總運費是多少？

解：（1）依題意有：

（2）上述一次函數(shù)中k=－30＜0，

所以y隨x的增大而減小.

所以當x=70噸時，總運費最省.

最省時的總運費為－30×70+39200=37100（元）.

答：從甲庫運往A庫70噸糧食，往B庫運送30噸糧食，從乙?guī)爝\往B庫80噸糧食時，總運費最省為37100元.

評析：最優(yōu)化問題是生活中常遇到的問題，人們要對各種方案有所選擇和決策.上述問題是通過構(gòu)建一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的方法，利用一次函數(shù)的增減性，求出函數(shù)最大值或最小值，最后從數(shù)據(jù)中得出最優(yōu)化方案.

學(xué)生最感興趣的是用函數(shù)知識解決發(fā)生在身邊的實例，一次函數(shù)是一種重要的函數(shù)，運用一次函數(shù)可以解決日常生產(chǎn)、生活中的實際問題.我們要靈活運用所學(xué)知識來解決實際問題，特別要有把實際問題通過建立函數(shù)模型的能力和運用數(shù)形結(jié)合的思想來解決的意識.