“形”中的最值

☉江蘇省姜堰市勵(lì)才實(shí)驗(yàn)學(xué)校 仇錦華

說(shuō)到初中數(shù)學(xué)中的“最值”（最大值或最小值），往往會(huì)讓人聯(lián)想到從“數(shù)”的角度去建立函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)的最大值或最小值.而有時(shí)從“形”的角度去研究最值則顯得更加直觀、簡(jiǎn)潔.在幾何中與“最短”、“最長(zhǎng)”相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)有：“兩點(diǎn)之間線段最短”、“垂線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”等.

一、兩點(diǎn)之間線段最短

例1 如圖1，已知∠MON=90°，P、Q在兩直角邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ=2，以PQ為邊在PQ上方作等邊△PAQ，求AO的最大值.

分析：A點(diǎn)是隨P、Q的運(yùn)動(dòng)而變化的.雖然OA是動(dòng)的，但我們要善于在“動(dòng)”中尋“靜”.因?yàn)镻Q=2，即Rt△PQO的斜邊，等邊△APQ的邊長(zhǎng)不變.故取PQ中點(diǎn)D，則

小試牛刀：

如圖2，菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E為BC中點(diǎn)，P為BD上動(dòng)點(diǎn)，求PE+PC的最小值.

提示：利用軸對(duì)稱將PE+PC轉(zhuǎn)化為PE+PA，因?yàn)镻E+PA≥AE，所以最小值為AE的長(zhǎng).

二、垂線段最短

圖3

例 2 如圖3，Rt△ABC中，∠C=90°，P，Q在AC，BC上運(yùn)動(dòng)，且以PQ為直徑的圓與AB相切，求PQ的最小值.

分析：在Rt△PQC中，以PQ為直徑的圓必過(guò)C點(diǎn)，若將PQ看成是△PCQ的斜邊，△PCQ其余兩邊PC，CQ都是變化的，不能求出PQ的最小值，若將PQ看成是圓的直徑，則PQ長(zhǎng)可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)半徑之和.

解：設(shè)PQ中點(diǎn)為O，⊙O與AB相切于點(diǎn)H，則OH⊥AB，OH=所以PQ=CO+OH，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，可知當(dāng)C，O，H共線且COH垂直于AB時(shí)CO+OH最短，即當(dāng)CH=4.8時(shí)，PQ最小值為4.8.

提示：作N關(guān)于AD的軸對(duì)稱點(diǎn)H，當(dāng)B、M、H在一條直線上且BMH垂直于AC時(shí)最短.

圖4

三、綜合運(yùn)用

例3 已知拋物線y=-x2+2x+3交x軸于A，B與y軸交于C，頂點(diǎn)為N，C，D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AD交y軸于E，P為線段DE上一點(diǎn)，自P作PH⊥y軸于H，求PH+PN最小值.

分析：此題若從數(shù)上考慮最值，則需設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，用P點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示PH+PN，式子比較復(fù)雜，且含二次根號(hào).若從形上考慮，則發(fā)現(xiàn)，A（-1，0），D（2，3），可知∠DAB=45°.若從A作直線AM⊥x軸，則P為∠MAB的角平分線上一點(diǎn).PH+1=PG，所以PH+PN=PG+PN-1.

圖5

圖6

解：自A作直線AM⊥x軸，自P作PG⊥AB于G，易得A（-1，0），D（2，3），N（1，4）.

所以∠DAB=45°，所以PA平分∠MAB，所以PH+1=PG，所以PH+PN=PG+PN-1.

當(dāng)N，P，G三點(diǎn)共線，且NG⊥x軸時(shí)PG+PN最小為4，所以PH+PN最小值為3.

小試牛刀：

如圖6，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（1）求證：△AMB≌△ENB.

（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最?。?/p>

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；