例談反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

☉江蘇省常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 倪 櫪

聰明、細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，在日常生活中存在著許多兩個(gè)量之間具有反比例關(guān)系的例子.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是“學(xué)以致用”，現(xiàn)從反比例函數(shù)與一次函數(shù)、不等式、簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)、相關(guān)物理知識(shí)的綜合應(yīng)用這些方面舉例分析，供同學(xué)們參考.

一、數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)知識(shí)間的綜合應(yīng)用

例1 如圖1所示，A為反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，AB垂直于x軸，垂足為B.若△AOB的面積為3，則反比例函數(shù)的解析式是什么？

分析：因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)第二象限的圖像上，所以，由三角形面積公式可求得k，從而求出反比例函數(shù)解析式.

圖1

圖2

解：因?yàn)楹瘮?shù)圖像分布在第二、四象限，所以k<0.

所以xy=－6=k.

例2 如圖2，已知A（－4，n），B（2，－4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖像和反比例函數(shù)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn).

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.

（2）求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積.

（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）.

分析：由于B點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，由反比例函數(shù)定義得m=－8，從而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式.根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，求出△AOB的面積以及求方程的解和不等式的解集.

所以n=2.所以A（－4，2）.

因?yàn)閥=kx+b經(jīng)過(guò)A（－4，2），B（2，－4），

所以一次函數(shù)的解析式為：y=－x－2.

（2）因?yàn)镃是直線AB與x軸的交點(diǎn)，

所以當(dāng)y=0時(shí)，x=－2.

所以點(diǎn)C（－2，0）.

所以O(shè)C=2.

（3）x1=－4，x2=2.

（4）－42.

二、反比例函數(shù)與物理知識(shí)的綜合應(yīng)用

例3 一人站在平放在濕地上的木板上，當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積S（m2）的變化，人和木板對(duì)地面的壓強(qiáng)p（Pa）將如何變化？如果人和木板對(duì)濕地地面的壓力為600N，回答下列問(wèn)題：

（1）用含S的代數(shù)式表示p，p是S的反比例函數(shù)嗎？為什么？

（2）當(dāng)木板面積為0.2m2時(shí)，壓強(qiáng)是多少？

（3）如果要求壓強(qiáng)不超過(guò)6000Pa，木板面積至少要多大？

（4）畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖像.

分析：根據(jù)兩個(gè)變量之間關(guān)系確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式，首先要判斷它屬于哪一類函數(shù)，然后根據(jù)實(shí)際意義并注意自變量的取值范圍，進(jìn)而作出正確的函數(shù)的圖像.

解：隨著木板面積S（m2）變?。ù螅?，壓強(qiáng)p（Pa）將變大（?。?

圖3

（4）函數(shù)圖像如圖3所示.

例4 要求取消市場(chǎng)上使用桿秤的呼聲越來(lái)越高.原因在于，一些不法商販在賣貨時(shí)將秤砣挖空，或更換較小秤砣，使砣變輕，從而欺騙顧客.

（1）如圖4所示，對(duì)于同一物體，哪個(gè)用了較輕的秤砣？

（2）在稱同一物體時(shí)，秤砣到支點(diǎn)的距離y與所用秤砣質(zhì)量x之間滿足_____________關(guān)系.

（3）當(dāng)砣變輕時(shí)，稱得的物體變重，這正好符合哪個(gè)函數(shù)的哪些性質(zhì)？

圖4

分析：設(shè)重物的質(zhì)量為G（定值），重物的受力點(diǎn)到支點(diǎn)的距離為l（定值），圖4①、圖4②中y1、y2分別表示秤砣的受力點(diǎn)到支點(diǎn)的距離.根據(jù)杠桿原理得：物體的質(zhì)量（G）與阻力臂（l）的乘積等于秤砣的受力點(diǎn)到支點(diǎn)的距離（y1或y2）與秤砣質(zhì)量（x）的乘積.

解：（1）因?yàn)镚l為定值，xy=Gl，且y1>y2，所以x1

（2）因?yàn)閤y=Gl，所以y與x滿足反比例函數(shù)關(guān)系.

（1）學(xué)生在調(diào)查中提出既希望能在課堂內(nèi)對(duì)教材中的文化信息進(jìn)行拓展講解，也希望能夠?qū)φ罩v解相關(guān)的中國(guó)文化知識(shí)，以應(yīng)對(duì)英語(yǔ)四、六級(jí)考級(jí)的建議。筆者在課堂教學(xué)過(guò)程中，從教材文本入手，一面講授語(yǔ)言知識(shí)，鍛煉語(yǔ)言能力，一面深挖教材資源，補(bǔ)充必要文化知識(shí)講解和練習(xí)，活用教材。

三、反比例函數(shù)與生活知識(shí)的綜合應(yīng)用

例5 水產(chǎn)公司有一種海產(chǎn)品共2 104千克，為尋求合適的銷售價(jià)格，進(jìn)行了8天試銷，試銷情況如下表：

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售價(jià)x(元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120銷售量y(元/千克) 30 40 48 50 60 80 96 100

觀察表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用反比例函數(shù)刻畫(huà)這種海產(chǎn)品的每天銷售量y（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間的關(guān)系.現(xiàn)假定在這批海產(chǎn)品的銷售中，每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間都滿足這一關(guān)系.

（1）寫(xiě)出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式，并補(bǔ)全表格.

（2）在試銷8天后，公司決定將這種海產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為150元/千克，并且每天都按這個(gè)價(jià)格銷售，那么余下的這些海產(chǎn)品預(yù)計(jì)再用多少天可以全部售出？

（3）在按（2）中定價(jià)繼續(xù)銷售15天后，公司發(fā)現(xiàn)剩余的這些海產(chǎn)品必須在不超過(guò)2天內(nèi)全部售出，此時(shí)需要重新確定一個(gè)銷售價(jià)格，使后面兩天都按新的價(jià)格銷售，那么新確定的價(jià)格最高不超過(guò)每千克多少元才能完成銷售任務(wù)？

分析：反比例函數(shù)是日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)模型，要能夠根據(jù)這個(gè)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題.

填表如下：

第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天售價(jià)x(元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120銷售量y(元/千克) 30 40 48 50 60 80 96 100

（2）2 104-（30+40+48+50+60+80+96+100）=1600，

即8天試銷后，余下的海產(chǎn)品還有1600千克.

1600÷80 =20 ，所以余下的這些海產(chǎn)品預(yù)計(jì)再用20天可以全部售出.

（3）1600-80×15=400，400÷2=200.

即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克.

所以新確定的價(jià)格最高不超過(guò)60元/千克才能完成銷售任務(wù).

總之，學(xué)生要了解反比例函數(shù)是日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)模型，掌握生活中有一類兩變量的乘積為定值的實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決的思想方法，從而不斷提高自己運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.