淺談初中數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的“相等”與“不等”關(guān)系

☉福建廈門市杏南中學(xué) 黃志鯤

新人教版八年級(jí)上《數(shù)學(xué)》教科書第十二章《軸對(duì)稱》有一個(gè)“實(shí)驗(yàn)與探究”材料《三角形中邊與角之間的不等關(guān)系》，它是在學(xué)習(xí)了三角形中“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”性質(zhì)后提出來的反思：如果三角形的邊（角）不相等，那么它們所對(duì)的角（邊）的大小關(guān)系怎樣？大邊所對(duì)的角也大嗎？

第一個(gè)問題很容易回答，我們知道“真命題的逆否命題一定也是真命題”，因此我們可以直接下結(jié)論：如果三角形的邊不相等，則這些邊所對(duì)的角也不相等；反之，如果三角形的角不相等，則它們所對(duì)的邊也不相等.

對(duì)于第二個(gè)問題，針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平，教材利用軸對(duì)稱的方法解決問題：已知△ABC中，AB＞AC，將△ABC折疊，使邊AC落在邊AB上，點(diǎn)C落在邊AB的點(diǎn)D處，如圖1，根據(jù)“三角形外角大于不相鄰的內(nèi)角”可知∠ADE＞∠B，即∠C＞∠B，因此有“三角形中大邊對(duì)大角”.

對(duì)于“大角對(duì)大邊”的證明，則可以采用作BC邊的垂直平分線的方法解決，如圖2.

我們?cè)俅位仡櫳厦娴乃季S過程：由等腰三角形中很普通的結(jié)論“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”，“理所當(dāng)然”地多想了一步“如果不相等會(huì)怎樣”——是“大邊對(duì)大角”還是“大邊對(duì)小角”？

其實(shí)這不是“多此一舉”，更不是“嘩眾取寵”！這個(gè)“不等”，不僅將學(xué)過的“軸對(duì)稱”用于比較線段和角的大小，從“動(dòng)手”到“動(dòng)腦”，將“軸對(duì)稱”提升到新的應(yīng)用層次，而且從思維角度看，這一步“多想”蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，對(duì)等腰三角形邊角關(guān)系的學(xué)習(xí)沒有僅僅滿足于“相等”，而是繼續(xù)研究與其密切相關(guān)的“不等”，讓問題從“面”上徹底解決，而不僅僅解決一個(gè)“點(diǎn)”.這就是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和求真，這也是教材要傳遞的一種信息，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)，還包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)所需要的態(tài)度與素養(yǎng).

至此，教材將三角形中的“相等”與“不等”關(guān)系演繹得淋漓盡致，從“等角對(duì)等邊”到“大角對(duì)大邊”，從“等邊對(duì)等角”到“大邊對(duì)大角”，猶如化蛹成蝶，實(shí)現(xiàn)了美麗的蛻變，不禁讓人拍案叫絕！在中學(xué)教材中將數(shù)學(xué)的一種思想方法挖掘到如此深刻，是非常少見的，這不得不讓人對(duì)這對(duì)“不同尋?！钡年P(guān)系刮目相看.“相等”和“不等”是數(shù)學(xué)中最基本的關(guān)系，它們既對(duì)立又辯證統(tǒng)一，在一定的條件下，它們又能互相轉(zhuǎn)化，相輔相成，在許多方面都閃耀著智慧的光芒，讓人驚嘆不已.

這里筆者就初中義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)談一些個(gè)人的理解.

對(duì)于“相等”與“不等”，從狹義上理解，就是兩個(gè)數(shù)或量的大小關(guān)系.人類最早接觸的數(shù)學(xué)就是兩數(shù)的大小，即兩數(shù)a和b的關(guān)系是“a＞b”或“a=b”或“a＜b”三者取其一，進(jìn)而演變成：對(duì)于任意實(shí)數(shù) a，必有“a＞0”或“a=0”或“a＜0”，或其他類似的表述，結(jié)論存在多種可能就給我們提供了“分類討論”的基礎(chǔ).

從廣義上理解，“相等”與“不等”可以看做是“符合”或“不符合”某種條件，而“相等”是一種“臨界狀態(tài)”，往往是我們考慮的重點(diǎn)，也是解決問題的突破口，但“不等”同樣也很重要，因?yàn)樵诿Ｃ５摹皵?shù)海”中，能夠“相等”的畢竟是少數(shù)，我們有什么理由不管它們呢？這樣，我們的視野一下子就開闊了：“相等”與“不等”是事物的正反兩面，它是事物的全面反映！它們之間可能是一種和諧的“量變”，也有可能是一種爆發(fā)的“質(zhì)變”.在“相等”與“不等”的思考和探索中，我們將不斷地感受到數(shù)學(xué)的精辟和奇妙.

筆者以初中數(shù)學(xué)中幾個(gè)比較典型的例子進(jìn)行說明.

1.在探索一元二次方程判別式Δ=b2－4ac與方程的實(shí)數(shù)根的關(guān)系中，考慮到被開方數(shù)Δ=b2－4ac≥0，就有了以下的結(jié)論：（1）當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

例1 關(guān)于x的方程x2+ax+1=0，何時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？?jī)蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？無實(shí)數(shù)根？

先解方程 Δ=a2－4=0 得 a=±2，然后在三個(gè)區(qū)間（－∞，－2），（－2，2），（2，+∞）各取一個(gè)數(shù)（如：－3，0，3）代入 Δ=a2－4 驗(yàn)證，當(dāng)a=－3 和 a=3 時(shí) Δ＞0，當(dāng) a=0 時(shí) Δ＜0，故可以得出結(jié)論：當(dāng) a=±2時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a＜－2或a＞2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)－2＜a＜2時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

注意：初中階段不要求解一元二次不等式，因此關(guān)于含參的二次方程實(shí)數(shù)根的問題可以通過一元二次方程來解決，其中驗(yàn)證部分涉及二次函數(shù)的連續(xù)性問題.

在處理不等式或函數(shù)的大小比較問題，我們通常借助數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為方程來解決.

（2）x取何值時(shí)，二次函數(shù)y1=x2的值小于一次函數(shù)y2=x+2的值？這里也是要解決“不等”問題，同樣我們先過渡到“相等”，令y1=y2，即x2=x+2，解得x1=-1，x2=2，利用函數(shù)圖像我們很快就得到：當(dāng)-1＜x＜2時(shí)x2＜x+2，即y1＜y2.（見圖4）

3.勾股定理逆定理：若△ABC三邊a，b，c，最長(zhǎng)的邊c滿足c2=a2+b2，則c邊所對(duì)的角C是直角.在人教版中是用“同一法”證明的：先作一個(gè)Rt△A′B′C′，直角邊分別是a和b，由勾股定理可知，斜邊A′B′2=a2+b2=c2=AB2，兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，故△A′B′C′≌△ABC，因此∠C=∠C′=90°.

這時(shí)我們可以進(jìn)一步問：若c2≠a2+b2，∠C還是直角嗎？這個(gè)問題馬上引發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，多數(shù)學(xué)生可以猜想到結(jié)果：“若c2＞a2+b2，則c所對(duì)的角是鈍角；若c2＜a2+b2，則c所對(duì)的角是銳角”，但對(duì)于結(jié)論如何解釋卻無從下手.這個(gè)結(jié)論在高中學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的余弦定理就可以證明，但在初中階段我們可以利用《幾何畫板》進(jìn)行演示，讓學(xué)生更加直接地理解和掌握這個(gè)知識(shí).

從數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)上看，每一次的“相等”都必然伴隨著“不等”，例如“角平分線的性質(zhì)”、“線段垂直平分線的性質(zhì)”、“圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等”、“直線與圓的位置關(guān)系”、“方程與不等式”、“函數(shù)或代數(shù)式最值問題”等等，這里就不再一一贅述.隨著我們對(duì)“相等”與“不等”的進(jìn)一步探究，使我們對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更加全面，對(duì)問題的分析更加透徹，對(duì)數(shù)學(xué)的理解更加深刻.

1.陳宗世.初中數(shù)學(xué)中相等與不等關(guān)系淺析［J］.青海教育，2007年9-10期.

2.楊美璋.不等中探相等的幾種思考策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2003年第4期.

3. 顧樹柏.“等”與“不等”的啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2000年第3期.

4.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（數(shù)學(xué)），八年級(jí)上（新人教版）.

5. 袁定喜.初中數(shù)學(xué)中的“相等”與“不等”［J］.科學(xué)課（初中版），2004年第 3期.