等腰三角形一條性質(zhì)的多種證明與拓展

☉河南省漯河市外語(yǔ)中學(xué) 龔天芝

等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰上的高.

已知：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分別是E、F、D.

求證：PE＋PF＝CD.

證法1（面積法）：

故等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰上的高.

證法2（截長(zhǎng)法）：

在CD上截取DG=EP，連接PG，如圖2.

因?yàn)镃D⊥AB，PE⊥AB，

所以四邊形DEPG是矩形，所以∠DGP=90°.

因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠ACB.

因?yàn)镚P//DE，所以∠GPC＝∠B.

所以∠ACB＝∠GPC，又因?yàn)镻C＝CP，∠PGC＝∠CFP=90°.

所以△CGP≌△PFC，所以PF＝CG.

所以PE＋PF＝DG＋GC＝CD.

證法3（補(bǔ)短法）：

延長(zhǎng)EP到G，使EG=DC，連接CG，如圖3.

因?yàn)镃D⊥AB，PE⊥AB，

所以四邊形DEGC是矩形，所以∠G=90°.

因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠ACB，

因?yàn)镚C//DE，所以∠GCP＝∠B.

所以∠ACB＝∠GCP，又因?yàn)镻C＝PC，∠G＝∠CFP=90°.

所以△CGP≌△CFP，所以PF＝PG.

所以PE＋PF＝EG＝CD.

（過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD，垂足為G，可得矩形DEPG，如圖2，以下證法同方法2，可使問(wèn)題得證；過(guò)C作直線EP的垂線，垂足為G，可得矩形DEGC，如圖3，以下證法同方法3，可使問(wèn)題得證.）

證法4（利用三角形相似）：

因?yàn)镻E⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，如圖1.

所以∠BEP＝∠BDC=∠CFP＝90°.

因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠ACB.

所以△BEP∽△BDC∽△CFP.

拓展1.如果P在BC（或CB）的延長(zhǎng)線上，如圖4，有下列結(jié)論：|PE－PF|＝CD.（證明方法同上，過(guò)程略）

即：等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離差等于一腰上的高.

拓展2.如果把等腰三角形變?yōu)榈冗吶切?，又有如下結(jié)論：

已知等邊△ABC和點(diǎn)P，P到△ABC的三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的一邊BC上時(shí)，如圖5，此時(shí)h3＝0，則h1＋h2＋h3＝h.

即：等邊三角形邊上一點(diǎn)到三邊的距離和等于等邊三角形的高.

（2）當(dāng)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)時(shí)，如圖6，結(jié)論h1＋h2＋h3＝h仍成立.

即：等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離和等于等邊三角形的高.

由此可知，在等邊三角形ΔABC中，設(shè)O為其中心，O到一邊的距離為r3，顯然h=3r3，就有結(jié)論h1+h2+h3=3r3

（3）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部時(shí)，如圖7，可得h1＋h2-h3＝h.

（證明方法同上，過(guò)程略）

拓展3.如果把等邊三角形變?yōu)檎叫?、正五邊形，正n邊形時(shí)，又有如下結(jié)論：

若點(diǎn)P為正邊形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)O為正方形的中心，O到一邊的距離為r4，P點(diǎn)到AB、BC、CD、DA各邊的距離為h1，h2，h3，h4，則h1+h2+h3+h4=4r4.

若點(diǎn)P為正五邊形ABCDE內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)O為正五邊形的中心，O到一邊的距離為r5，P到AB、BC、CD、DE、EA各邊的距離為h1，h2，h3，h4，h5，則h1+h2+h3+h4+h5=5r5.

若點(diǎn)P是正n邊形內(nèi)任一點(diǎn)，O是正n邊形的中心，點(diǎn)O到一邊的距離為rn，點(diǎn)P到各邊的距離分別為h1，h2，h3，…，hn，則h1+h2+h3+…+hn=nrn.（證明略）

中考鏈接

例1（2009遼寧朝陽(yáng)）如圖8，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.若BC=2，則DE+DF=_______.

解析：由等邊三角形的性質(zhì)可知“等邊三角形一邊上任意一點(diǎn)到其他兩邊的距離和等于等邊三角形的高”，可求得

例2 （2011山東聊城）如圖9，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（ ）.

例3（2011年佳木斯）如圖10，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E.

（1）試找出一個(gè)與△AED全等的三角形，并加以證明.

（2） 若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說(shuō)明理由.

解析：（1）由∠D=∠B′=90°，∠AED=∠CEB′，AD=CB′，可證△CEB′≌△AED.

（2）由題意易證△ACE是等腰三角形，因此根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知PG+PH=AD.在Rt△ADE由勾股定理得AD=4，即PG+PH=4.

例4 （2011年河北?。┰凇鰽BC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.一等腰直角三角尺按如圖11-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

（1）在圖11-1中請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫(xiě)出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想.

（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖11-2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E.此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫(xiě)出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想.

（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖11-3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說(shuō)明理由）

解析：（1）BF=CG.在△ABF和△ACG中，由∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，可證△ABF≌△ACG（AAS），故BF=CG.

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上高的長(zhǎng).”可證DE+DF=CG.

（3）仍然成立.