反比例函數(shù)中的面積問題解題策略

☉河南省新鄉(xiāng)市第十中學(xué) 郭 蕊

一般地，如圖1，過雙曲線上任一點(diǎn)A作x軸、y軸的垂線AM、AN，所得矩形AMON的面積為S=AM×AN=，又因?yàn)閥=，所以xy=k，所以這就是說，過雙曲線上任一點(diǎn)，作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為

這是反比例函數(shù)中的一個(gè)重要的結(jié)論，由此進(jìn)行變式和拓展是每年中考的熱點(diǎn)，解答這類問題要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，即將所求問題通過適當(dāng)形式的轉(zhuǎn)化，將問題與題例中的面積問題建立聯(lián)系，現(xiàn)就其中的一些轉(zhuǎn)化策略舉例說明，供讀者參考.

一、對(duì)稱轉(zhuǎn)化

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式及反比例函數(shù)的圖像的對(duì)稱性.解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱性將兩個(gè)陰影部分面積的和轉(zhuǎn)化為正方形的面積.

二、等積轉(zhuǎn)化

解析：連接OA，OB，根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義可知

因?yàn)閘∥x軸，所以S△AOB=S△APB.

所以S△PAB＝S△PAC＋S△PBC＝S△OAC＋S△OBC＝3＋1＝4.

點(diǎn)評(píng)：本題通過平行，依據(jù)同底等高的三角形面積相等，將所求三角形的面積轉(zhuǎn)化為題例中的面積問題.

三、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化

解析：過A點(diǎn)作AE⊥y軸，垂足為E.

點(diǎn)評(píng)：本題通過通過圖形的面積的加減，將無法直接計(jì)算的四邊形面積問題轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的圖形的面積.

四、數(shù)量轉(zhuǎn)化

點(diǎn)評(píng)：本題通過添加輔助線，依據(jù)相關(guān)幾何知識(shí)將平行四邊形的面積與題例中的圖形面積之間建立聯(lián)系.

綜上，在解答有關(guān)面積問題時(shí)，如果無法直接計(jì)算，我們通常采用轉(zhuǎn)化的思想方法，即將不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的，可計(jì)算的圖形的面積.轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想之一，轉(zhuǎn)化思想就是將不熟悉的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題來解決的一種思想方法.通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題.轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.