基于有限元的微型機(jī)器人足部仿真分析

蔡立斌

CAI Li-bin

（九江學(xué)院 信息技術(shù)中心，九江 332005）

0 引言

機(jī)器人是一種具有與人或生物類似的智能能力的自動(dòng)化機(jī)器，兼具高度的靈活性。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，微型機(jī)器人技術(shù)作為一種多學(xué)科交叉的高科技前沿技術(shù)也取得了長(zhǎng)足發(fā)展，并在工業(yè)生產(chǎn)、日常生活活動(dòng)中得到廣泛應(yīng)用，如微型制造，醫(yī)藥以及血管的修復(fù)、治療等方面，其控制精度可以達(dá)到幾微米左右[1]。

有限元技術(shù)是由應(yīng)用數(shù)值分析技術(shù)迅速發(fā)展而來(lái)的一項(xiàng)數(shù)值計(jì)算技術(shù)，在大多數(shù)工程應(yīng)用及設(shè)計(jì)研究領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，它是一種結(jié)合數(shù)值分析技術(shù)與計(jì)算機(jī)技術(shù)交叉高度綜合的科學(xué)技術(shù)[2]。目前，我國(guó)的微型機(jī)器人設(shè)計(jì)與研究已向產(chǎn)業(yè)化方向發(fā)展，如果要實(shí)現(xiàn)中國(guó)機(jī)器人研發(fā)的產(chǎn)業(yè)化，就必須在從機(jī)器人關(guān)鍵零部件單元、機(jī)器人本體的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及總體性能設(shè)計(jì)等方面入手，開展相關(guān)的研發(fā)工作。而數(shù)值仿真技術(shù)的飛速發(fā)展，不僅縮短了機(jī)器人的研發(fā)周期，降低了研發(fā)成本，而且推動(dòng)了機(jī)器人技術(shù)向高精尖的精密控制領(lǐng)域的發(fā)展[3]。

1 材料及仿真模型的建立

本微型機(jī)器人足部行走的方式與傳統(tǒng)機(jī)器人的足部有很大差異,它是足部導(dǎo)通電流產(chǎn)生熱引起足部變形而行走的。

本文根據(jù)微型機(jī)器人足部的工作原理，建立了硅質(zhì)微機(jī)器人足部三維模型。圖1表示的是硅質(zhì)微型機(jī)器人足部的縱向截面示意圖。微型機(jī)器人采用基于聚酰亞胺V型槽關(guān)節(jié)使微型機(jī)器人各條腿協(xié)調(diào)配合，從而進(jìn)行自由運(yùn)動(dòng)的。用于制造V型槽關(guān)節(jié)的聚酰亞胺材料具有較高的熱膨脹系數(shù)，因此當(dāng)V型槽關(guān)節(jié)通電流運(yùn)動(dòng)時(shí)，聚酰胺受熱，因此腿部會(huì)發(fā)生輕微彎曲。通過(guò)在微型機(jī)器人每條腿設(shè)置幾個(gè)V型槽，就可以獲得足夠的偏轉(zhuǎn)和彎曲撓度，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)（如圖1所示）。該微型機(jī)器人足部仿真分析所用到的材料：制備加熱電阻的聚甲基苯基硅氧烷，機(jī)器人足部的硅和氮化硅，制備復(fù)合層的氧化硅和鋁，固化聚酰胺。

圖1 硅質(zhì)微型機(jī)器人足部的縱向截面示意圖

該有限元模型是一個(gè)瞬態(tài)傳熱電分析與準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)熱機(jī)械分析相結(jié)合的模型，因此該有限元分析是一個(gè)電-熱-結(jié)構(gòu)耦合分析，采用COMSOL Multiphysics的電流模塊、傳熱模塊和結(jié)構(gòu)力學(xué)模塊來(lái)構(gòu)建該微型機(jī)器人足部有限元分析模型。

為便于準(zhǔn)確計(jì)算和分析，該模型進(jìn)行了如下處理和假設(shè)：

1) 為便于模型建立，將熱傳導(dǎo)邊界條件等效為對(duì)流邊界條件。建模時(shí)的初始二維模型由超薄層構(gòu)成的，為了減少在三維模型的網(wǎng)數(shù)量，對(duì)這些薄層進(jìn)行必要的刪除操作是很有必要的。

2) 傳熱模型采用瞬態(tài)熱傳導(dǎo)對(duì)流進(jìn)行求解，結(jié)構(gòu)模型則采用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)固體力學(xué)進(jìn)行求解，為解決電-熱-結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，在力學(xué)模型中采用批處理策略和參數(shù)掃描法，將時(shí)間t設(shè)為掃描參數(shù)，這樣既解決了求解的穩(wěn)定性問(wèn)題，又解決了熱結(jié)構(gòu)耦合的難題。

3) 很多數(shù)值模型都是采用單向熱電耦合——電流影響產(chǎn)熱，這種方法雖然增加了求解的收斂性，但無(wú)法反映溫度等對(duì)電阻產(chǎn)生的影響。因此，本文熱電模型采用熱電雙向耦合處理。

此模型涉及電-熱-結(jié)構(gòu)多場(chǎng)耦合的問(wèn)題，因此該分析包括三部分：1）涉及微機(jī)器人足部電流模型分析；2）涉及電流產(chǎn)熱及機(jī)器人熱傳導(dǎo)-對(duì)流傳熱模型分析；3）涉及微機(jī)器人足部受熱變形的結(jié)構(gòu)模型分析。

1.1 電流模型

微型機(jī)器人啟動(dòng)后，電流流過(guò)加熱電阻時(shí)，根據(jù)歐姆定律會(huì)產(chǎn)生一定量的電阻熱，這部分熱量就作為該模型的熱源。其電流PDE控制方程為，

其中s為電導(dǎo)率，V為電勢(shì)，Je為為外部電流密度，Q為電流源。

其中電導(dǎo)率s是電阻率R的倒數(shù)：

其中R0為參考電阻率，T0為參考溫度。

1.2 傳熱模型

此微型機(jī)器人模型中，采用基于固體傳熱的三維瞬態(tài)傳熱控制方程。其控制方程包括熱傳導(dǎo)和對(duì)流項(xiàng)：

其中k，r，C是材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度和比熱，它們都是溫度的函數(shù)；Q和v分別是熱源強(qiáng)度（即電流模型中電流的總功率損耗密度）和運(yùn)動(dòng)速度。

傳熱模型的另一個(gè)重要部分是在機(jī)器人模型對(duì)流冷卻邊界的建模。實(shí)驗(yàn)證實(shí)，機(jī)器人通過(guò)加熱電阻產(chǎn)生的大部分熱量是從硅結(jié)構(gòu)表明也就是在機(jī)器人的“身體”與周圍環(huán)境發(fā)生對(duì)流而釋放熱量的。此外，足尖端與地面之間是熱傳導(dǎo)邊界，為了簡(jiǎn)化建模，將熱傳導(dǎo)邊界條件等效為對(duì)流邊界條件，其對(duì)流冷卻控制方程描述如下，

其中Text是周圍環(huán)境的溫度。采用較高的熱傳導(dǎo)性邊界作為鋁復(fù)合層傳熱邊界。用剛性彈簧條件來(lái)描述電阻層，其控制方程如下，

其中d為復(fù)合層厚度。此模型除與地面接觸的足尖端部分采用對(duì)流系數(shù)為1×104W/(m2·K)外，該機(jī)器人模型其余部位采用對(duì)流系數(shù)為1×105W/(m2·K)。在這里，對(duì)流系數(shù)的取值是隨意選擇的，但可以通過(guò)比較模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)重新校正熱傳導(dǎo)系數(shù)。

1.3 力學(xué)模型

此微型機(jī)器人力學(xué)模型是基于COMSOL中的固體力學(xué)模型和線彈性材料模型建立的。其力學(xué)模型的控制方程為：

力學(xué)部分的邊界條件：約束機(jī)器人足底部左側(cè)的位移，而機(jī)器人結(jié)構(gòu)的其余部分受力為零。三維模型中不包括Al和 SiO復(fù)合薄層。對(duì)由此產(chǎn)生的邊界，通過(guò)一個(gè)結(jié)構(gòu)殼和兩個(gè)特定的熱邊界條件來(lái)模擬高熱傳導(dǎo)層和低熱傳導(dǎo)層。熱量傳輸通過(guò)機(jī)器人足部傳導(dǎo)時(shí)，由于幾種材料的熱膨脹系數(shù)的不同而導(dǎo)致足部出現(xiàn)彎曲行為。在剛性彈簧邊界條件下模擬的邊界溫度是間斷的，因此需要建立兩個(gè)傳熱模型。結(jié)構(gòu)分析部分采用一個(gè)熱膨脹殼單元來(lái)模擬兩個(gè)薄層。COMSOL軟件會(huì)自動(dòng)處理熱膨脹外殼和固體單元之間的耦合。

2 結(jié)果與討論

本模擬中，在兩個(gè)電阻上都施加30mV的電勢(shì)持續(xù)時(shí)間0.1ms，通過(guò)電流模型中電流的總功率損耗密度計(jì)算可知，由電阻熱產(chǎn)生的熱量源約為2·1013W/m3，相當(dāng)于100 mW的熱量輸入。

結(jié)構(gòu)力學(xué)部分的時(shí)間尺度與傳熱部分相比要小得多，所以可忽略結(jié)構(gòu)分析中的質(zhì)量效應(yīng)。使用參數(shù)掃描分析將瞬態(tài)結(jié)構(gòu)分析轉(zhuǎn)換為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)分析。這種方法把固體分析和傳熱分析結(jié)合起來(lái)，通過(guò)順序求解方式來(lái)進(jìn)行模型的求解：首先求解傳熱和導(dǎo)電介質(zhì)DC偏微分方程，然后，將計(jì)算結(jié)果存儲(chǔ)在指定文件中，設(shè)置指向存儲(chǔ)的計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu)的線性化路徑，用時(shí)間變量參數(shù)t作為掃描參數(shù)來(lái)求解結(jié)構(gòu)力學(xué)偏微分方程。圖4 所示在t=0.1ms和t =0.2ms時(shí)微型機(jī)器人足部的溫度場(chǎng)分布，從圖中可以看出t=0.1ms時(shí)，機(jī)器人足部最高溫度出現(xiàn)在加熱電阻處，t=0.2ms時(shí)，由于聚酰胺良好的導(dǎo)熱性，熱量傳遞到V型槽，因此這時(shí)最高溫度出現(xiàn)在V型槽。

圖2 在t=0.1ms和t=0.2ms時(shí)微型機(jī)器人足部的溫度場(chǎng)分布

圖3所示分別在t=0.1ms和t=0.2ms時(shí)微型機(jī)器人足部的變形（圖中黑色框圖表示未變形前的位姿，彩色框圖表示變形后的位姿），從圖3中可以明顯看出微型機(jī)器人的發(fā)生彎曲變形等現(xiàn)象，同時(shí)，正如預(yù)期的那樣足部的彎曲位移隨著溫度的增加而增大，當(dāng)關(guān)閉電源（熱源）時(shí)機(jī)器人足部彎曲復(fù)原。圖4所示為微型機(jī)器人足部總位移隨時(shí)間的變化曲線，位移變化曲線的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的變化規(guī)律一致，在0.1ms彎曲撓度達(dá)到最大，在0.1ms后由于關(guān)閉電源（熱源）使其溫度迅速降低，導(dǎo)致機(jī)器人足部彎曲撓度也變小。

3 結(jié)論

圖3 在t=0.1ms和t=0.2ms時(shí)微型機(jī)器人足部的變形

圖4 足尖的總位移 （隨時(shí)間變化）

本文在分析了微型機(jī)器人足部工作原理的基礎(chǔ)上，基于多物理場(chǎng)耦合原理，利用COMSOL多物理場(chǎng)耦合分析軟件建立了微型機(jī)器人足部三維電-熱-結(jié)構(gòu)耦合模型，模擬并分析了硅質(zhì)微型機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中足部的溫度場(chǎng)以及彎曲變形行為。微型機(jī)器人足部彎曲變形等行為的模擬仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果取得了很好的一致性，因此該有限元模型是可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)微型機(jī)器人足部的彎曲變形等行為。

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