☉河南汝州市第四初級中學(xué) 怯松林
例析數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用
☉河南汝州市第四初級中學(xué) 怯松林
數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法,數(shù)學(xué)家華羅庚說得好:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.”這句話說明了“數(shù)”與“形”是緊密聯(lián)系的.所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其數(shù)量關(guān)系,又揭示其幾何意義使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來,并充分地利用這種結(jié)合,探求解決問題的思路,使問題得以解決的思考方法.以下舉例談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在方程、不等式、函數(shù)等方面的應(yīng)用.
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),可以借助于一次函數(shù)所對應(yīng)的圖像——直線,直觀地解決一元一次方程、一元一次不等式組、二元一次方程組的問題,下面結(jié)合例題加以說明.
1.利用圖像解一元一次方程
例1 利用函數(shù)圖像解方程3x-6=0.
分析:在坐標(biāo)系中先畫方程所對應(yīng)的一次函數(shù)y=3x-6的圖像,由于解析式中函數(shù)值y就是圖像上點的縱坐標(biāo)y,當(dāng)y=0時,對應(yīng)圖像上縱坐標(biāo)等于0的點,也就是與x軸的交點,這個點的橫坐標(biāo)就是我們要求的方程的解.
解:在坐標(biāo)系中畫出直線y=3x-6,如下圖.
從圖像可以看出直線y=3x-6與x軸交點的橫坐標(biāo)為2.
所以原方程的解為x=2.
2.利用圖像解一元一次不等式組
例2 如上圖,直線y=kx+b經(jīng)過點A(-1,-2)和點B(-2,0),直線y=2x過點A,則不等式2x<kx+b<0的解集為( ).
A.x<-2 B.-2<x<-1 C.-2<x<0 D.-1<x<0
解:本題直接從圖像上觀察,直線y=kx+b和直線y=2x的交點為A(-1,-2),確定直線y=kx+b在直線y=2x上方的范圍:x<-1.再觀察直線y=kx+b的圖像與x軸的交點為B(-2,0),確定此圖像在x軸下方的范圍:x>-2.故選擇B答案.
3.利用函數(shù)圖像解方程組
例3 如圖,直線l1:y=x+1與直線l2:y=mx+n相交于點P(1,b).(1)求b的值;
解:(1)因為(1,b)在直線y=x+1上,
所以當(dāng)x=1時,b=1+1=2.
(2)如圖所示,由圖像知l1和l2的交點為P(1,2).
注意:用數(shù)形結(jié)合思想解方程(組)與不等式,關(guān)鍵是構(gòu)造它們所對應(yīng)的一次函數(shù),再利用一次函數(shù)的圖像就可以說明結(jié)果.圖像解法與它們的傳統(tǒng)解法相比,往往不夠方便,而且由于圖像的誤差常常導(dǎo)致求解的結(jié)果一般還不準(zhǔn)確,但這種解法,集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和知識的內(nèi)在聯(lián)系.在日常生活中,象這種直觀解決問題的方法也非常多見,它是一種很重要的能力,因此,同學(xué)們應(yīng)該重視相關(guān)知識的學(xué)習(xí),掌握這種利用數(shù)形結(jié)合思想求解問題的方法.
分析:解此題最直接的思路是將已知點的橫坐標(biāo)分別代入解析式,求出各個點的縱坐標(biāo)再進(jìn)行比較,但本題并沒有給出比例系數(shù)k的取值,因而要根據(jù)函數(shù)的圖像性質(zhì),確定三個點落在雙曲線上的位置來確定大小.
解:因為k<0,反比例函數(shù)的圖像在三、四象限,畫出大致的圖像,根據(jù)A、B、C三點在圖像上的位置,很容易看出b>a>c.
例5 某單位急需用車,但又不準(zhǔn)備買車,他們準(zhǔn)備和一個個體車主或一出租公司其中的一家簽定月租車合同,設(shè)汽車每月行駛xkm,應(yīng)付給個體車主的月費用是Y1元,應(yīng)付給出租公司的月費用是Y2元,Y1、Y2分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖像如上圖,觀察圖像回答下列問題:
(1)每月行駛的路程在什么范圍內(nèi),租公司的車合算?
(2)每月行駛的路程等于什么時,租兩輛車的費用相同?
(3)如果這個單位每月行駛的路程為2300km,那么這個單位租哪家的車合算?
分析:這是一道一次函數(shù)的應(yīng)用問題,數(shù)形結(jié)合的思想在本題中有很好的體現(xiàn).函數(shù)圖像在上方的說明它的函數(shù)值較大,反之較小,當(dāng)然,兩圖像相交時,說明在交點處的函數(shù)值是相等的.
解:(1)由圖像可知,直線Y2的圖像在直線Y1的圖像下方的范圍是:0<x<1500,所以每月行駛的路程在0<x<1500范圍內(nèi),租公司的車合算
(2)直接觀察圖像,當(dāng)每月行駛的路程等于1500時,租兩輛車的費用相同.
(3)由圖像可知,直線Y2的圖像在直線Y1的圖像上方的范圍是:x>1500,所以當(dāng)每月行駛的路程為2300km,租個體車主合算
例6 如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點A在點(-2,0)和(-1,0)之間(包括這兩點),頂點C是矩形DEFG上(包括邊界和內(nèi)部)的一個動點,則a的取值范圍是__________.
分析:這是一道典型的數(shù)形結(jié)合解函數(shù)型綜合題,較好地體現(xiàn)了“以數(shù)解形、以形助數(shù)”的方法理念,正確運用二次函數(shù)的性質(zhì):增減性、對稱性、最大值等.
解:仔細(xì)觀察圖像,a的取值范圍分兩種情況討論:
分析:仔細(xì)觀察拋物線的位置走向、關(guān)鍵點的位置坐標(biāo),以及解析式中各個系數(shù)與圖形性質(zhì)的對應(yīng)關(guān)系,再做出相應(yīng)的判斷.
解:①由圖像開口方向可知,a<0.
②因為拋物線經(jīng)過點(-1,0),由拋物線的對稱性可知,當(dāng)x=1時,有y>0,即有a+b+c>0.
故正確的結(jié)論是①②③.
例8 如圖,點G、D、C在直線a上,點E、F、A、B在直線b上,若a∥b,Rt△GEF從如圖所示的位置出發(fā),沿直線b向右勻速運動,直到EG與BC重合.運動過程中△GEF與矩形ABCD 重合部分的面積(S)隨時間(t)變化的圖像大致是( ).
解:這是一道綜合性很強(qiáng)的識圖題,要分析動態(tài)△GEF與矩形ABCD重合的各種情況.①有的考生錯選A,沒有考慮從出發(fā)到F點與A點重合,這時間段重合部分面積S為0;②從F點與A點重合,直到EG與AD重合,重合部分為三角形,此三角形與△GEF相似,可以用t來表示重合三角形的邊長,從而求出面積S應(yīng)為關(guān)于t的二次函數(shù),且開口向上;③繼續(xù)沿直線b向右勻速運動,直到EG與BC重合,運動過程中△GEF與矩形重合部分為直角梯形,同樣可以用t表示直角梯形的邊長,求出面積S為關(guān)于t的二次函數(shù),且開口向下.綜合觀察,整個變化過程中面積(S)隨時間(t)變化的圖像大致是B答案.