離散時(shí)間沿高優(yōu)先隊(duì)列的尾部漸近性分析

張華娟

（無(wú)錫南洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇 無(wú)錫 214081）

0 前言

二維馬氏鏈系統(tǒng)的尾部漸近性便于估計(jì)，能提供穩(wěn)態(tài)概率的信息和邊界。優(yōu)先隊(duì)列系統(tǒng)的應(yīng)用廣泛，有很重要的地位。經(jīng)典的一個(gè)服務(wù)臺(tái)、兩種顧客的優(yōu)先隊(duì)列系統(tǒng)已有很多人研究。人們經(jīng)常參考Miller[1]，其它優(yōu)先隊(duì)列模型有Gail,Hantler和Taylor[2],Drekic and Woolford[3]等。

本文考慮離散時(shí)間、離散狀態(tài)的系統(tǒng)，它可以看作取可數(shù)狀態(tài)的離散QBD。特別地，本文研究強(qiáng)占優(yōu)先制隊(duì)列。對(duì)應(yīng)于經(jīng)典的連續(xù)時(shí)間模型，該模型被應(yīng)用在計(jì)算機(jī)和通信網(wǎng)絡(luò)方面。運(yùn)用矩陣分析法，得到了聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率沿較高優(yōu)先隊(duì)列的衰減速率。

1 模型及定理

本文考慮一個(gè)服務(wù)臺(tái)、兩類顧客的離散時(shí)間優(yōu)先隊(duì)列。在每個(gè)時(shí)刻，下面的三件事都相互獨(dú)立：

（a）第一類顧客到達(dá)概率為 0＜p＜1；

（b）第二類顧客到達(dá)概率為 0＜q＜1；

（c）服務(wù)臺(tái)對(duì)這兩類顧客的服務(wù)率都是0＜r＜1（如果沒(méi)有顧客，則不服務(wù)）。

Q1（n）和 Q2（n）分別代表系統(tǒng)中第一類（高優(yōu)先）和第二類（低優(yōu)先）的顧客數(shù)。 顯然，{（Q1（n），Q2（n））；n=0，1，2，…}是一個(gè)離散時(shí)間齊次馬氏鏈。本文以系統(tǒng)中高優(yōu)先隊(duì)列的顧客數(shù)Q1（n）作為水平坐標(biāo)，得該馬氏鏈的轉(zhuǎn)移圖，見(jiàn)圖1。

圖1 沿高優(yōu)先隊(duì)列馬氏鏈的轉(zhuǎn)移圖

設(shè)該系統(tǒng)中較高優(yōu)先隊(duì)列和較低優(yōu)先隊(duì)列的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率為πij，把 πij水平分成 π=（π0，π1，…），其中 πi=（πi0，πi1，…）。 設(shè)較高優(yōu)先隊(duì)列的邊緣分布為π（h）n。

用矩陣分析法，該馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P?可以分成如下的塊結(jié)構(gòu)：

如上文所述，極導(dǎo)線與接地極線共塔架設(shè)線路存在由雷擊引起雙極閉鎖的潛在風(fēng)險(xiǎn)。主要有兩種情況：一種是很大的雷電流擊中桿塔或地線，極導(dǎo)線閃絡(luò)跳閘的同時(shí)，接地極線路也出現(xiàn)了閃絡(luò)，此時(shí)若故障極重啟失敗而接地極線路又無(wú)法熄弧，則將出現(xiàn)雙極閉鎖；另一種是較大的雷電流繞擊極導(dǎo)線，極導(dǎo)線發(fā)生閃絡(luò)跳閘的同時(shí)，共塔接地極線路由于感應(yīng)過(guò)電壓也發(fā)生閃絡(luò)，此時(shí)若故障極重啟失敗而接地極線路仍無(wú)法熄弧，則將出現(xiàn)雙極閉鎖。針對(duì)這兩種情況，本節(jié)對(duì)降低雙極閉鎖概率的措施進(jìn)行探討。

定理 帶強(qiáng)占型優(yōu)先權(quán)的雙隊(duì)列Geom/Geom/1排隊(duì)系統(tǒng)，滿足ρ＜1 時(shí)有，

其中 r0，r1分別見(jiàn)（4）式，（5）式，并且 πn，j的輕尾衰減率是 r0。

2 定理證明

Miller[1]把該系統(tǒng)作為擬生滅過(guò)程，其矩陣幾何解有速率矩陣Rh，且滿足

由于Rh是上面矩陣公式的最小非負(fù)解，故

根據(jù) ri的性質(zhì)和矩陣幾何解，顯然有

其在確定衰減系數(shù)的證明中將用到。

它滿足下面的矩陣幾何解

之前表達(dá)式右邊的第二項(xiàng)趨于0。再由（6）式，結(jié)論得證。

下面用歸納法證明（7）式。當(dāng)j=0，（7）式顯然成立。假設(shè)對(duì)任意j≤k，（7）式成立，下面證明當(dāng) j=k+1 時(shí)，（7）式也成立。

通過(guò)反復(fù)運(yùn)用 r（n+1）k+1的定義，得到

當(dāng)n→0時(shí)，（8）式第三項(xiàng)顯然趨于0。下面證明（8）式第二項(xiàng)趨于0。

事實(shí)上，由歸納假設(shè)

該式在證明的最后一步將被用到。

由（11）式，上面不等式中間部分的第三項(xiàng)可以任意小。由歸納假設(shè)（9）式，可以取M＞0，使得當(dāng) m≥M 時(shí)，任意小，再由（11）式，可得第二項(xiàng)任意小。對(duì)于有限的M，當(dāng)n足夠大時(shí)，第一項(xiàng)顯然任意小。

［1］Miller,Douglas R.Computation of steady-state probabilities for M/M/1 priority queue[J].Operations Research,1981,29(5)：945-958.

［2］Gail,H.R.,Hantler,S.L.and Taylor,B.A.On preemptive markovian queue with multiple servers and two priority classes[J].Mathematics of Operations Research,1992,17：365-391.

［3］Drekic,S.and Woolford,D.G.A preemptive priority queue with balking[J].European Journal of Operational Research,2005：164,387-401.