向量優(yōu)化問題C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件

張萬里，趙克全

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶　401331）

向量優(yōu)化問題C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件

張萬里，趙克全

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331）

在實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間中基于co-radiant集提出了C（ε）-真有效性概念.用實(shí)例證明其與相關(guān)文獻(xiàn)中提出的真ε-有效性不同，且包含Benson真有效性作為其特例.此外，在鄰近C（ε）-次似凸性假設(shè)下獲得了Kuhn-Tucker型必要條件，利用標(biāo)量化定理得到了Kuhn-Tucker型充分條件.

向量優(yōu)化；C（ε）-真有效解；Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件

1　引言及預(yù)備知識

在向量優(yōu)化問題研究中，真有效性概念起著十分重要的作用［1-2］.近年來，引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并取得了一系列重要的研究成果.1979年，文獻(xiàn)［3］提出了一類改進(jìn)的真有效性—-Benson真有效性.2000年，文獻(xiàn)［4］利用Benson真有效性的思想，提出了ε-Benson真有效性，并建立了標(biāo)量化定理、ε-Lagrange乘子定理、ε-真鞍點(diǎn)定理和ε-真對偶定理.2006年，文獻(xiàn)［5］引進(jìn)了co-radiant集這類新的工具，提出了新的ε-有效性概念，推廣并且統(tǒng)一了很多現(xiàn)有的真有效性及近似真有效性概念.2011年，文獻(xiàn)［6］借助于Gutiérrez等人的思想引進(jìn)了Benson意義下近似真有效解的概念并包含了Benson真有效解作為其特例，利用非線性標(biāo)量化函數(shù)建立了最優(yōu)性條件，并在錐次似凸假設(shè)下建立了線性標(biāo)量化定理.2012年，文獻(xiàn)［7］提出了與文獻(xiàn)［6］等價的C（ε）-真有效解概念，并在鄰近錐次似凸假設(shè)下建立了標(biāo)量化定理，獲得了近似真鞍點(diǎn)定理.其它類型的近似真有效解概念可參見文獻(xiàn)［8-9］等.

受文獻(xiàn)［6-8］的啟發(fā)，本文在實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間中基于co-radiant集提出了C（ε）-真有效性概念，它包含了Benson真有效性作為其特例.通過例子說明了C（ε）-真有效性概念與文獻(xiàn)［6］中提出的真ε-有效性概念不同.進(jìn)一步在鄰近C（ε）-次似凸假設(shè)下，獲得了C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性必要條件，并利用標(biāo)量化定理得到了C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性充分性條件.此外，給出了與向量優(yōu)化問題等價的無約束優(yōu)化.

假設(shè)X為拓?fù)渚€性空間，Y，Z為實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間，K和P分別表示Y 和Z中的閉凸點(diǎn)錐.若K∩（-K）=｛0｝，則稱K為點(diǎn)的.令C?Y、int C、cl C、cone C分別表示C的內(nèi)部、閉包和錐包.稱C是真的，若?≠C≠Y.若αc∈C，?c∈C，?α＞1，則稱C為co-radiant集.稱C是星型集，如果存在q∈C使得

引理 1.1［5］設(shè)ε＞0，C?Y為真星型co-radiant集且int（kern C）≠?，則

引理1.2［10］設(shè)閉凸錐K1，K2?Y且K1∩K2=｛0｝.若K2是點(diǎn)錐且是局部緊的，則

引理1.3［11］設(shè)V是實(shí)局部凸空間，凸集M，N?V滿足

則存在V中的超平面分離M和N.

引理1.4［12］設(shè)A，B?Y，則A+int B?int（A+B）.

引理1.5［13］設(shè)A，B?Y，int A=A.若B是凸集且int B≠?，則A+B=A+int B.

2　C（ε）-真有效點(diǎn)的定義及性質(zhì)

本節(jié)基于星型co-radiant集，提出C（ε）-真有效點(diǎn)的定義，通過具體例子說明它與文獻(xiàn)［6］中提出的真ε-有效點(diǎn)的概念不同，并包含Benson真有效點(diǎn)作為其特例.此外，還給出了關(guān)于C（ε）-真有效點(diǎn)性質(zhì)的一個定理.

定義 2.1設(shè)ε≥0，C?Y為真星型co-radiant集且int（kern C）≠?，A?Y.若

則稱a∈A是C（ε）-真有效點(diǎn).C（ε）-真有效點(diǎn)的全體記為PE（A，C，ε）.

注2.1（i）當(dāng)C?K，cl cone（kern C）=K時與文獻(xiàn)［7］中的定義是一致的；

（ii）當(dāng)cl cone（kern C）=K時，PE（A，C，0）就退化為經(jīng)典的Benson真有效性；

（iii）本文的定義與文獻(xiàn)［6］中的定義不等價，以下例子可以說明這一點(diǎn).

例2.1令

例2.2令

定理2.1 （i）PE（A，C，0）?PE（A，C，ε），?ε＞0；

（ii）PE（A，C，ε1）?PE（A，C，ε2），?ε2＞ε1＞0；

（iii）若x∈PE（A，C，ε），則x∈PE（A，C，aε），?a＞1，?ε＞0；

證明根據(jù)定義2.1及C（ε）的性質(zhì)，容易得到定理2.1的結(jié)論成立.

3　C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件

向量優(yōu)化問題在各種解意義下的最優(yōu)性條件是最優(yōu)化理論及應(yīng)用的重要組成部分，是建立現(xiàn)代算法的重要基礎(chǔ).下面給出C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性必要條件和充分條件.

本文考慮集值優(yōu)化問題：

其中集值映射F：X?Y，G：X?Z具有非空值且D≠?.定義

這里μ∈Y?，C?X.（F，G）表示從X到Y(jié)×Z的集值映射，記作（F，G）（x）=F（x）×G（x）.

設(shè)ε≥0，x0∈D稱為（VP）的C（ε）-真有效解，如果F（x0）∩PE（A，C，ε）≠?；（x0，y0）稱為（VP）的C（ε）-真有效點(diǎn)，如果x0∈D且y0∈F（x0）∩PE（A，C，ε）.

基于文獻(xiàn)［14］的思想，文獻(xiàn)［7］提出了如下的鄰近C（ε）-次似凸性概念，相似的廣義凸性概念也參見文獻(xiàn)［8-9］.

定義 3.1［7］設(shè)ε≥0，S?X.稱集值映射F：S?Y在S上是鄰近C（ε）-次似凸的，若cl cone（F（S）+C（ε））是凸集.

引理 3.1設(shè)C?Y為真星型co-radiant集滿足kern C≠?，則kern C是凸集.

引理 3.2設(shè)ε＞0，C?Y為真星型co-radiant集，int（kern C）≠?，則

引理3.3設(shè)C?Y為真星型co-radiant集滿足int（kern C）≠?，μ∈（cl cone（kern C））+s，則μC也是真星型co-radiant集滿足int（kernμC）≠?且int（μC（ε））=μint C（ε）.

定理 3.1設(shè) ε＞0，C?Y為真星型 co-radiant集且 int（kern C）≠?.如果 μ∈（cl cone（kern C））+s，（F，G）在X上是鄰近（C（ε）×P）-次似凸的，則（μF，G）在X上是鄰近（μC（ε）×P）-次似凸的.

證明由引理3.3易得定理3.1成立.

定理 3.2設(shè) ε＞0，C?Y為真星型 co-radiant集，int（kern C）≠?.F：D? Y，y0∈F（D）.如果存在μ∈（cl cone（kern C））+s滿足則y0∈PE（F（D），C，ε）.

接下來，建立C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性必要條件和充分條件.

定理 3.3設(shè)ε＞0，C?Y為真星型co-radiant集，int（kern C）≠?.假設(shè)以下條件成立：

（i）（x0，y0）是（VP）問題的C（ε）-真有效點(diǎn)；

（ii）（F-y0，G）在X上是鄰近（C（ε）×P）-次似凸的；

（iii）cl cone（G（X）+P）=Z，

則存在μ∈（cl cone（kern C））+s和φ∈P+，使得

定理 3.4設(shè)ε＞0，C?Y為真星型co-radiant集滿足int（kern C）≠?.若x0∈D，且存在y0∈F（x0），μ∈（cl cone（kern C））+s和 φ∈P+滿足

則（x0，y0）是（VP）的C（ε）-真有效點(diǎn).

根據(jù)定理3.3和定理3.4下面的結(jié)論是顯然的.

推論 3.1設(shè)ε＞0，C?Y為真星型co-radiant集，且int（kern C）≠?.假設(shè)以下條件成立：

（i）（x0，y0）是（VP）的C（ε）-真有效點(diǎn)；

（ii）（F-y0，G）在X上是鄰近（C（ε）×P）-次似凸的；

（iii）cl cone（G（X）+P）=Z，

則（x0，y0）是（VP）的C（ε）-真有效點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)存在μ∈（cl cone（kern C））+s和φ∈P+，使得

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Kunh-Tucker optimality conditions for vector optimization problem in the sense of C（ε）-properly efficient solutions

Zhang Wanli，Zhao Kequan

（College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing401331，China）

In this paper，a kind of proper efficiency，named as C（ε）-proper efficiency，is proposed via co-radiant sets in a real locally convex Hausdorff topological linear spaces.By means of examples we illustrate that the C（ε）-proper efficiency is different from the proper ε-efficiency.and contains Benson proper efficiency as a special case.Furthermore，under the assumption of nearly C（ε）-subconvexlikeness，a Kuhn-Tucker necessary condition is derived，and by using scalarization theorem，a sufficient condition is also obtained.

vector optimization，C（ε）-proper efficiency，Kuhn-Tucker optimality condition

O221.6

A

1008-5513（2015）03-0323-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.014

2014-11-18.

國家自然科學(xué)基金（11301574；11171363）；第二批重慶市高等學(xué)校青年骨干教師資助計劃；重慶市研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目（CYS14136）.

張萬里（1987-），碩士生，研究方向：最優(yōu)化理論與方法.

2010 MSC：90C26，90C29，90C30