淺談高等數(shù)學(xué)中定積分定義在教學(xué)中的妙用

徐 勇

（湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，湖北 武漢 430205）

一直以來高等數(shù)學(xué)中的定積分教學(xué)都是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。重點(diǎn)在于從概念上它融合了微分以及平面幾何的理解；從計(jì)算上又繼承了一元函數(shù)不定積分的方法，是一個(gè)大綜合的知識(shí)點(diǎn)；難點(diǎn)在于計(jì)算過程中既要注重結(jié)合一元函數(shù)不定積分的計(jì)算方法，又要結(jié)合積分區(qū)間的理解，很容易由于對(duì)變量取值范圍的理解方式錯(cuò)誤而計(jì)算出錯(cuò)。我們通常比較注重如何讓學(xué)生掌握計(jì)算定積分的方法，但實(shí)際上，定積分的概念有極其重要的價(jià)值，它能讓我們理解很多幾何問題的結(jié)論是如何產(chǎn)生的。本文結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的體積以及空間中平行截面已知的立體體積的計(jì)算問題談?wù)劧ǚe分定義的妙用。

首先我們簡單回顧一下定積分的定義。描述如下：設(shè)f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)：a=x0＜x1＜……xn-1＜xn=b，把區(qū)間分成 n 個(gè)小區(qū)間：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]對(duì)應(yīng)可以得到各小區(qū)間的長度值，故依次為：△x1=x1-x0，△x2=x2-x1，……△xn=xn-xn-1，在每個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點(diǎn) ζi，作函數(shù)值 f（ζi）與小區(qū)間長度△xi的乘積 f（ζi）△xi作和式：Sn=f（ζi）△xi，記：λ=max（△x1，△x2，……△xn），如果不論對(duì)[a，b]采取怎樣的分法，也不論在[xi-1，xi]上點(diǎn)ζi采取怎樣的取法，只要當(dāng)λ→0時(shí)，Sn總趨近于確定的極限I，我們就稱這個(gè)極限I是函數(shù) f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分，記為：（ζi）△xi。其中，f（x）稱為被積函數(shù)，[a，b]是積分區(qū)間。我們都知道，從幾何意義上看，它可以不那么嚴(yán)格地認(rèn)為，這就是一個(gè)曲邊梯形的面積：即在平面中以曲線y=f（x）叟0為曲邊，與x=a，x=b，x軸三條直邊圍成的曲邊梯形的面積。當(dāng)然被積函數(shù)若不是非負(fù)的，只需將 f（x）作為被積函數(shù)，則得到的曲邊梯形為的相反數(shù)。例如，我們看看這樣一個(gè)定積分，求簡單分析我們就能得到，它其實(shí)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的上半圓的面積，顯然，這個(gè)面積值就是單位圓面積的一半，直接可由圓面積計(jì)算公式得到。這樣我們無需復(fù)雜的計(jì)算方法就得到了結(jié)果。當(dāng)然這并不表示定積分都可以這樣來求得，事實(shí)上，很多定積分所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形不是規(guī)則圖形，也就很難直接求得它的面積，這也正是為什么有專門針對(duì)定積分的計(jì)算方法的原因。定積分的定義除了能幫助我們計(jì)算一些簡單的積分外，還能做什么呢？下面我們來看看。

一、利用二重積分定義推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式

這里的旋轉(zhuǎn)體是指：函數(shù) y=f（x）與 x=a，x=b，x 軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體。此旋轉(zhuǎn)體的體積公式為怎樣理解此公式呢？譬如為什么有函數(shù)的平方運(yùn)算，為什么需要乘上π？如果我們結(jié)合二重積分的定義去推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體的體積，上述問題自然迎刃而解。我們把區(qū)間 [a，b]任意地分成 n 個(gè)小的區(qū)間，記為：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]，各小區(qū)間長度仍記為△xi（i=1，2……n），這樣，我們將整個(gè)大的旋轉(zhuǎn)體分割成了n個(gè)小旋轉(zhuǎn)體，其體積不妨記為V△xi（i=1，2……n）。當(dāng)n比較大時(shí)，我們可以認(rèn)為這n個(gè)小旋轉(zhuǎn)體V△xi近似于n個(gè)小圓柱體?；诖耍覀?nèi)栽诿總€(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點(diǎn) ζi，則以為半徑，以△xi為高，可以得到第i個(gè)小的圓柱體的體積，即：π[f（ζi）]2△xi，以此體積值作為 V△xi的近似值，即：V△xi≈f（ζi）△xi，（i=1，……n），由于每個(gè)小旋轉(zhuǎn)體均可以被這樣近似，故我們可以得到（ζi）]2△xi，（i=1，……n）?？紤]到當(dāng)每個(gè)近似的誤差在作了求和運(yùn)算可能比較大，于是我們可以通過讓區(qū)間被分得更細(xì)降低誤差，只需記 λ=max（△x1，△x2，……△xn），當(dāng) λ→0 時(shí)，區(qū)間被無限細(xì)分，且每個(gè)小旋轉(zhuǎn)體被近似時(shí)產(chǎn)生的誤差也在無限接近于0。這樣我們最終得到整個(gè)大的旋轉(zhuǎn)體的體積公式：V=看到這個(gè)極限你想到了什么？ 對(duì)了，這不就是定積分定義式中將 f（ζi）替換成 π[f（ζi）]2嗎？ 考慮到定義中 f（ζi）是與被積函數(shù) f（x）對(duì)應(yīng)的，故旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)應(yīng)的也是一個(gè)定積分，形如這就是旋轉(zhuǎn)體體積公式的由來，這也那么此時(shí)為何積分變成了以y為積分變量的形式呢？ 除此之外似乎和繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體差別并不大。這些區(qū)別于相似之處我們?nèi)匀豢梢杂枚ǚe分的定義來加以解釋。我們把區(qū)間 [c，d]任意地分成n個(gè)小的區(qū)間，記為：[y0，y1]，[y1，y2]，……[yn-1，yn]各小區(qū)間長度仍記為△yi（i=1，2……n），這樣，我們將整個(gè)大的旋轉(zhuǎn)體分割成了n個(gè)小旋轉(zhuǎn)體，其體積不妨記為 V△yi（i=1，2……n）。 當(dāng) n 比較大時(shí)，我們可以認(rèn)為這n個(gè)小旋轉(zhuǎn)體V△yi近似于n個(gè)小圓柱體?；诖?，我們?nèi)栽诿總€(gè)小區(qū)間[yi-1，yi]上任取一點(diǎn) ζi，則以就解釋了為什么公式中會(huì)出現(xiàn)平方運(yùn)算和常數(shù)π了。這樣的理解方式在教學(xué)中可以更形象地讓學(xué)生記住公式，一想到圓柱體就自然不會(huì)忘了被積函數(shù)平方的運(yùn)算。

上述旋轉(zhuǎn)體實(shí)際上是將旋轉(zhuǎn)軸定為x軸時(shí)對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果，那么若旋轉(zhuǎn)軸為y軸是不是也能如此推導(dǎo)呢？下面我們繼續(xù)來探討。 此時(shí)旋轉(zhuǎn)體為函數(shù) x=f（y）與 y=c，y=d，y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體。此旋轉(zhuǎn)體的體積公式為為半徑，以△yi為高，可以得到第i個(gè)小的圓柱體的體積，即：π[f（ζi）]2△yi，以此體積值作為 V△yi的近似值，即：V△yi≈f（ζi）△yi，（i=1，……n），由于每個(gè)小旋轉(zhuǎn)體均可以被這樣近似，故我們可以得到：考慮到當(dāng)每個(gè)近似的誤差在作了求和運(yùn)算可能比較大，于是我們可以通過讓區(qū)間被分得更細(xì)降低誤差，只需記λ=max（△y1，△y2，……△yn），當(dāng)λ→0時(shí)，區(qū)間被無限細(xì)分，且每個(gè)小旋轉(zhuǎn)體被近似時(shí)產(chǎn)生的誤差也在無限接近于0。這樣我們最終得到整個(gè)大的旋轉(zhuǎn)體的體積公式看到這個(gè)極限你想到了什么？對(duì)了，這不還是定積分定義式中將 f（ζi）替換成 π[f（ζi）]2嗎？ 考慮到定義中 f（ζi）是與被積函數(shù) f（y）對(duì)應(yīng)的，故旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)應(yīng)的也是一個(gè)定積分，形如所不同的是，現(xiàn)在是以y為積分變量而已。

當(dāng)然，上述兩種旋轉(zhuǎn)體是兩種最基本的形式，即繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的曲邊梯形其邊界恰好落在旋轉(zhuǎn)軸上，這樣的旋轉(zhuǎn)過程是沒有“縫隙”的，即得到的旋轉(zhuǎn)體是完全實(shí)心的。更為復(fù)雜的情形有兩種：第一種，讓函數(shù) y=f（x）與 x=a，y=b，x 與軸所圍成的曲邊梯形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周或函數(shù) x=f（y）與 y=c，y=d，y軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體。這兩種旋轉(zhuǎn)體的共同點(diǎn)是曲邊梯形的邊并沒有落在旋轉(zhuǎn)軸上，這導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)一周后得到的旋轉(zhuǎn)體實(shí)際上是一個(gè)非實(shí)心的情形。像這樣的旋轉(zhuǎn)體要采取間接求法，也就是說需要用一個(gè)大的旋轉(zhuǎn)體體積減去一個(gè)小的空心的旋轉(zhuǎn)體體積來對(duì)應(yīng)所求旋轉(zhuǎn)體體積；第二種，旋轉(zhuǎn)軸不是x軸或者y軸，而是平行于坐標(biāo)軸的直線x=x0或y=y0，處理這種問題同樣不能直接使用公式求解，需要先對(duì)曲邊梯形進(jìn)行平移，將問題轉(zhuǎn)化為繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的類型才能使用體積公式。上述兩種復(fù)雜情形由于很繁瑣，我們就不一一贅述了。

二、利用定積分定義推導(dǎo)平行截面已知立體的體積

什么是平行截面已知立體的體積呢？如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一個(gè)定軸的各個(gè)截面面積，那么這樣的立體稱為平行截面面積已知的立體。例如將x軸作為定軸，并設(shè)該立體在過點(diǎn)x=a，x=b且垂直于x軸的兩平面之間，以A（x）表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積。則在每個(gè)具體的x=x0處，我們認(rèn)為截面面積是已知的，即：A（x0）。在x=a，x=b之間顯然有無數(shù)個(gè)這樣的平行截面，則這樣的立體體積是多少呢？我們都知道最終的結(jié)果是一個(gè)定積分：（x）dx，即恰好為截面面積函數(shù) A（x）在區(qū)間 [a，b]上的積分。那么如何理解這個(gè)結(jié)果呢？我們?nèi)匀豢梢岳枚ǚe分的定義來得到它。

我們?nèi)匀粚^(qū)間[a，b]任意地分為n個(gè)小區(qū)間，即插入多個(gè)分點(diǎn)，區(qū)間記為：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]，各小區(qū)間長度仍記為△xi（i=1，2……n）。我們將整個(gè)大的立體分割成了n個(gè)小立體，體積不妨記為 V△xi（i=1，2……n）。 當(dāng) n 比較大時(shí)，我們可以認(rèn)為這n個(gè)小立體V△xi近似于n個(gè)小柱體。我們?nèi)匀辉诘趇個(gè)小區(qū)間△xi中任取一點(diǎn)ζi，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的截面面積顯然為 A（ζi）。 于是對(duì)于這個(gè)小的立體，我們以為 A（ζi）底面積，以該區(qū)間的長度△xi為高，用柱體的體積來近似 V△xi，即：V△xi≈f（ζi）△xi，（i=1，……n），由于像這樣的小立體有 n 個(gè)，故從而必然有考慮到每個(gè)小的立體都被近似過，那么這些近似產(chǎn)生的誤差經(jīng)求和后可能比較大，只有通過將區(qū)間 [a，b]無限細(xì)分實(shí)現(xiàn)誤差的無限減小（即趨近于0）。于是我們又可以記λ=max（△x1，△x2，……△xn），當(dāng) λ→0時(shí)，區(qū)間被無限細(xì)分，且每個(gè)小立體被近似時(shí)產(chǎn)生的誤差也在無限接近于0。這樣我們最終得到整個(gè)大的立體的體積公式看到這個(gè)極限你想到了什么？對(duì)了，這不就是定積分定義式中將 f（ζi）替換成 A（ζi）嗎？ 考慮到定義中 f（ζi）是與被積函數(shù) f（x）對(duì)應(yīng)的，故旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)應(yīng)的也是一個(gè)定積分，形如：這就是旋轉(zhuǎn)體體積公式的由來。

當(dāng)然，若將 y軸作為定軸，垂直于y軸的截面A（y）已知的立體，我們也可以類似地推導(dǎo)。但是要注意，我們此時(shí)要將截面視為是隨著y的變化而變化的，因此截面面積應(yīng)是以y為自變量的函數(shù)形式。將y軸作為定軸，并設(shè)該立體在過點(diǎn)y=c，y=d且垂直于y軸的兩平面之間，以A（y）表示過點(diǎn)y且垂直于y軸的截面面積。則在每個(gè)具體的y=y0處，我們認(rèn)為截面面積是已知的，即：A（y0）。在y=c，y=d之間顯然有無數(shù)個(gè)這樣的平行截面，則這樣的立體體積是多少呢？我們都知道最終的結(jié)果是一個(gè)定積分：，即恰好為截面面積函數(shù)A（y）在區(qū)間 [c，d]上的積分。那么如何理解這個(gè)結(jié)果呢？我們?nèi)匀豢梢岳枚ǚe分的定義來得到它。

我們?nèi)匀粚^(qū)間[c，d]任意地分為n個(gè)小區(qū)間，即插入多個(gè)分點(diǎn)，區(qū)間記為：[y0，y1]，[y1，y2]，……[yn-1，yn]，各小區(qū)間長度仍記為△yi（i=1，2……n）。我們將整個(gè)大的立體分割成了n個(gè)小立體，體積不妨記為 V△yi（i=1，2……n）。 當(dāng) n 比較大時(shí)，我們可以認(rèn)為這n個(gè)小立體V△yi近似于n個(gè)小柱體。我們?nèi)匀辉诘趇個(gè)小區(qū)間△yi中任取一點(diǎn)ζi，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的截面面積顯然為 A（ζi）。 于是對(duì)于這個(gè)小的立體，我們以 A（ζi）為底面積，以該區(qū)間的長度△yi為高，用柱體的體積來近似 V△yi，即：V△yi≈A（ζi）△yi，（i=1，……n），由于像這樣的小立體有 n 個(gè)，故從而必然有 Vyi。考慮到每個(gè)小的立體都被近似過，那么這些近似產(chǎn)生的誤差經(jīng)求和后可能比較大，只有通過將區(qū)間[c，d]無限細(xì)分實(shí)現(xiàn)誤差的無限減小 （即趨近于0）。 于是我們又可以記 λ=max（△y1，△y2，……△yn），當(dāng)λ→0時(shí)，區(qū)間被無限細(xì)分，且每個(gè)小立體被近似時(shí)產(chǎn)生的誤差也在無限接近于0。這樣我們最終得到整個(gè)大的立體的體積公式看到這個(gè)極限你想到了什么？對(duì)了，這不就是定積分定義式中中將 f（ζi）替換成 A（ζi）嗎？ 考慮到定義中 f（ζi）是與被積函數(shù) f（y）對(duì)應(yīng)的，故旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)應(yīng)的也是一個(gè)定積分，形如?？梢姡@與以x軸為定軸的情形是很相似的，只是把截面的形式變化了而已。

以上就是結(jié)合本人的高等數(shù)學(xué)定積分教學(xué)時(shí)的一些感受。通過以上分析充分說明，很多知識(shí)之間不是孤立的，如果能深入探究它們之間的關(guān)聯(lián)，通過追根溯源可能會(huì)發(fā)現(xiàn)很多知識(shí)其實(shí)都是一個(gè)系統(tǒng)的不同分支，這樣既便于教師的備課又有利于學(xué)生對(duì)于不同知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)理解。

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