一個關(guān)于極小子群與超可解性的注記

陳 晨, 韓章家, 張志讓

(成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610225)

1 引言及引理

文中所指的群都是有限群,所用的符號都是標(biāo)準(zhǔn)的,可參見文獻(xiàn)[1]。

群G的兩個子群H與K稱為可換的,如果 HK=KH。顯然若集合HK是G的子群,那么 H與K是可換的。群G的一個子群稱為擬正規(guī),如果它與 G的每一個子群可交換。群 G的子群稱為π-擬正規(guī)或 S-擬正規(guī)的,如果它與G的每一個Sylow子群可交換[2]。

很多的群論學(xué)者都討論過極小子群與有限群結(jié)構(gòu)的關(guān)系,例如Ito曾經(jīng)證明:如果一個奇階群G的所有極小子群都在其中心里,那么G為冪零群;Buckley在文獻(xiàn)[3]中得到:如果一個奇階群G的所有極小子群都正規(guī),那么G為超可解群;Shaalan在文獻(xiàn)[4]中證明了:如果一個群G的所有極小子群和4階循環(huán)子群在G中都是S-擬正規(guī)的,那么G是超可解的。

另一方面,2006年,樊惲等[5]引入了半覆蓋遠(yuǎn)離子群的概念。如果M和N都是群G的正規(guī)子群且N?M,則稱商群M/N為G的正規(guī)因子。設(shè)H為G的一個子群,如果HM=HN,則稱H覆蓋M/N,而當(dāng)H∩M=H∩N時,則稱H遠(yuǎn)離M/N。

定義1 群G的子群H稱為具有半覆蓋遠(yuǎn)離性質(zhì),若存在G的一個主列:

1=G0≤G1≤…≤Gn=G,

使得對每一 i=1,…,n-1,H覆蓋Gi+1/Gi或者H遠(yuǎn)離Gi+1/Gi。這時也稱H是G的半覆蓋遠(yuǎn)離子群。

利用半覆蓋遠(yuǎn)離子群,樊惲等證明了:如果群的每一素數(shù)階子群和4階循環(huán)子群在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,那么G是超可解的。

可以看到利用極小子群和4階循環(huán)子群的π-擬正規(guī)性和半覆蓋遠(yuǎn)離性都可得到群G的超可解性。那么能否將這兩種形式的結(jié)果結(jié)合起來,文中試圖就這一問題做一些探討。

關(guān)于π-擬正規(guī)子群和半覆蓋遠(yuǎn)離子群的簡單性質(zhì)在文中是必要的:

引理1[2]設(shè) G為群,那么

(1)如果H≤K≤G并且H在G中π-擬正規(guī),那么H 在K中π-擬正規(guī);

(2)設(shè) K ?G,如果 H 在G 中 π-擬正規(guī),那么 HK/K 在G/K 中 π-擬正規(guī) 。

引理2[5]設(shè) G為群,那么

(1)如果H≤K≤G并且在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,那么H在K具有半覆蓋遠(yuǎn)離性;

(2)設(shè)K?G并且K≤H≤G,如果H/K在G/K中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,那么H在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性。

2 主要定理

定理1 設(shè)G是群。如果G的每一素數(shù)階子群和4階循環(huán)子群要么是G的π-擬正規(guī)子群,要么是 G的半覆蓋遠(yuǎn)離子群,那么G是超可解的。

證明:假設(shè)G是極小階反例。由引理1(1)和引理2(1)可知定理的假設(shè)對 G的每一真子群均成立,從而 G的每一真子群都是超可解群。由文獻(xiàn)[6]可得:

(1)存在 p∈(G),G 的Sylowπ-子群P 正規(guī),P/Φ(P)是 G/Φ(P)的極小正規(guī)子群;

(2)如果 p＞2,則exp(P)=pe。如果 p=2,則exp(P)｜4,p2‖G｜;

(3)P/Φ(P)非循環(huán)。

設(shè) x∈P-Φ(P),則 x的階為p或者4。根據(jù)定理的條件,子群〈x〉要么是 G的π-擬正規(guī)子群,要么是G的半覆蓋遠(yuǎn)離子群。

如果子群〈x〉是G的半覆蓋遠(yuǎn)離子群,那么存在G的一個主列

1=G0≤G1≤…≤Gn=G,

使得〈x〉覆蓋或者遠(yuǎn)離所有的 Gi+1/Gi。由于 x∈G,所以存在某個 j,使得 x?Gj+1但 x∈Gj+1。由 Gj∩〈x〉≠Gj+1∩〈x〉可得 Gj〈x〉=Gj+1〈x〉=Gj+1。故 Gj+1/Gj是一個階為p或4的循環(huán)群。由于且P/Φ(P)是 G/Φ(P)的極小正規(guī)子群,因此(Gj∩P)Φ(P)=Φ(P)或 P 。如果(Gj∩P)Φ(P)=P,則 Gj∩ P=P,這與 x?Gj∩P矛盾。故 Gj∩P≤Φ(P)。另一方面,(Gj+1∩P)Φ(P)=P,故P/Φ(P)是一個階為 p或4的循環(huán)群。利用引理2(2)便可得G/Φ(P)滿足定理假設(shè),從而G/Φ(P)超可解,當(dāng)然 G就是超可解的,矛盾。

如果子群〈x〉是 G的π-擬正規(guī)子群,設(shè)H為P在G中的補且取 Qi∈Sylqi(H),i=1,…,s,則 H=〈Q1,…,Qi〉。由題設(shè),〈x〉Qi=Qi〈x〉,故〈x〉H=H〈x〉。因 H〈x〉Φ(P)∩ P=〈x〉Φ(P),而P/Φ(P)為初等交換群,故1≠〈x〉Φ(P)?—〈H,P〉=G 。由 P/Φ(P)得極小性便得〈x〉Φ(P)=P,即 P=〈x〉?，F(xiàn)在G/P?H超可解,P循環(huán),從而有G為超可解,得最后的矛盾。定理得證。

由于半覆蓋遠(yuǎn)離子群既是c-正規(guī)子群也是覆蓋遠(yuǎn)離子群,故由文中的主要結(jié)果可得到以下的推論:

推論1[3]如果一個奇階群G的所有極小子群都正規(guī),那么G為超可解群。

推論2[4]如果一個群G的所有極小子群和4階子群在 G中都是S-擬正規(guī)的,那么 G是超可解的。

推論3[5]如果群G的每一素數(shù)階子群和4階子群在G中是c-正規(guī)的,那么G是超可解的。

推論4[5]如果群G的每一素數(shù)階子群和4階循環(huán)子群在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,那么G是超可解的。

致謝:感謝成都信息工程學(xué)院科研基金(KYTZ201003)對本文的資助

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[4] E Shaalan.Theinfuence of π-quasinormality of some subgroups on the struc-ture of a fnite group[J].Acta Math.Hungar,1990,56:287-293.

[5] 樊惲,郭秀云,岑嘉評.關(guān)于子群的兩種廣義正規(guī)性的注記[J],數(shù)學(xué)年刊,2006,27A(2):169-176.

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