數(shù)學(xué)之美

馬奎香

（山海關(guān)鐵路技師學(xué)院 河北 秦皇島 066205）

數(shù)學(xué)是重要的基礎(chǔ)科學(xué)，是通向科學(xué)大門的金鑰匙。“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才打到了真正完善的地步”。

數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操。數(shù)學(xué)使人思考問題時(shí)更合乎邏輯、更有條理、更嚴(yán)密精確、更深入簡(jiǎn)潔、更善于創(chuàng)新。

數(shù)學(xué)是美的。數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在方方面面，數(shù)學(xué)美在幾乎所學(xué)科中的廣泛應(yīng)用。黃金分割的天然合理、二次曲線的對(duì)稱和諧、代數(shù)的簡(jiǎn)潔、幾何的優(yōu)雅、邏輯論證的嚴(yán)密，讓人們充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美。

1 黃金分割的天然合理之美

在線段AB求一點(diǎn)C使AB：AC=AC：BC，稱點(diǎn)C是黃金分割點(diǎn)，AC：AB=≈0.618。

黃金分割不但在藝術(shù)和美學(xué)的表現(xiàn)形式上讓人賞心悅目，而且在人體上處處體現(xiàn)。例如，從美學(xué)角度來說，矩形的長(zhǎng)寬之比等于0.618是最美的，我國(guó)國(guó)旗就是按這種比例制作的，所以看起來很美。又如，人體頭頂?shù)侥_底的肚臍部位，從肚臍以上到頭頂?shù)难屎聿课惶幱邳S金分割點(diǎn)時(shí)，人體看起來最美。再如，人的正常體溫是37℃左右，而外界溫度是23℃時(shí)感到最舒適。在這個(gè)環(huán)境中，人體的生理機(jī)能、生活節(jié)奏及新陳代謝水平也處于最佳狀態(tài)，而37℃與23℃的比值差不多是0.618.

我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在推廣優(yōu)選法時(shí)，其關(guān)鍵數(shù)是用0.618求得的。

黃金分割線所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)之美，俯首而拾。

2 二次曲線的對(duì)稱、和諧之美

圓具有良好的對(duì)稱性，過圓心的任何一條直線都是圓的對(duì)稱軸。十五的月亮是圓的，所以看起來很美。

橢圓、雙曲線都是中心對(duì)稱圖形，拋物線是軸對(duì)稱圖形，同是圓錐曲線，同是二次方程，都具有光學(xué)性質(zhì)。二次曲線的切線都具有獨(dú)特的性質(zhì)；拋物線上任一點(diǎn)的切線與對(duì)稱軸所夾的角等于這條切線與過該點(diǎn)的焦點(diǎn)半徑所夾的角，橢圓上任一點(diǎn)的切線和過該點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn)半徑成等角，雙曲線上任一點(diǎn)的切線等分過該點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn)半徑所夾的角。根據(jù)切線的性質(zhì)，可制作各式各樣的反光鏡面。

圓 X2+y2=r2上點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程是 x0x+y0y=r2，橢圓=1上點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程是=1,雙曲線=1 上點(diǎn) （x0，y0）處的切線方程是=1，拋物線 y2=2px 上點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程是y0y=p（x+x0）。曲線方程和切線方程在形式上如此對(duì)稱和諧，并且容易記憶。二次曲線的對(duì)稱美，可以由方程判斷，也可以從圖形上看出。

一個(gè)橢圓的任意內(nèi)接六邊形，其三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)必定共線（巴斯卡定理）；一個(gè)橢圓的任意外切六邊形，其三對(duì)對(duì)頂?shù)穆?lián)線必定共線（布利安雙定理）。橢圓具有如此優(yōu)雅的性質(zhì)，繪出的圖形更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。

3 代數(shù)的簡(jiǎn)潔之美

數(shù)學(xué)的美在于它用幾個(gè)字母符號(hào)就能表示若干信息的簡(jiǎn)單明了，美在它大膽假設(shè)和嚴(yán)格論證的偉大結(jié)合。

例 1：費(fèi)馬大定理

“當(dāng)n是一個(gè)大于2的正整數(shù)時(shí)，不定方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解?！边@一結(jié)論是1637年左右由法國(guó)費(fèi)馬提出的，被稱為“費(fèi)馬猜想”，習(xí)慣上又稱為“費(fèi)馬大定理”。從1678年至1844年間，萊布尼茲、歐拉、勒讓德、狄利克雷、拉美、庫(kù)默爾等數(shù)學(xué)家只證明了一些特殊情形。

1908年哥廷根皇家科學(xué)會(huì)懸賞10萬(wàn)馬克，獎(jiǎng)給最先證明這一定理的人，為期100年。

1944年有人證明了2＜n＜4002情形下費(fèi)馬大定理成立。

1976年有人借助大型電子計(jì)算機(jī)證明了2＜n＜125000情形下費(fèi)馬大定理成立。

1994年由英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯完全證明了歷時(shí)350多年的費(fèi)馬大定理，獲得了10萬(wàn)馬克獎(jiǎng)金。

例 2：哥德巴赫猜想

1742年提出的哥德巴赫猜想：“任何大于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和”。要證明這個(gè)問題，有幾種不同的思路，其中之一是證明某數(shù)為兩數(shù)之和，其中第一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)不超過a個(gè)，第二個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)不超過b個(gè)。這個(gè)命題成為“a+b”，最終要達(dá)到的目標(biāo)是證明“a+b”為“1+1”。

在 1966 年之前， 中外數(shù)學(xué)家先后證明了 “9+9”、“6+6”、“5+5”、“4+4”、“3+3”、“2+3”、“1+3”。

在1966年至1973年間，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明了“1+2”，他的證明震驚中外，被命名為“陳氏定理”。

陳景潤(rùn)沒有完全證明哥德巴赫猜想，等待后人去證明“1+1”。

4 幾何的優(yōu)雅之美

一種科學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，都源于人們的現(xiàn)實(shí)生活。在我國(guó)，約公元前1000年，在陶器的花紋中就有了菱形、正方形圖案。公元100年，在《九章算術(shù)》中就記載了“商高定理”（勾股定理）。在三國(guó)時(shí)代，趙爽用圖形證明了勾股定理。

4000多年前，埃及尼羅河每年泛濫，兩岸的土地被淹沒，大水退后，為了解決土地界限問題，逐漸產(chǎn)生了測(cè)量土地和畫圖的知識(shí)。后來，人們稱這些知識(shí)為幾何。

隨著生產(chǎn)的發(fā)展，人們對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)逐步拓展，許多數(shù)學(xué)家花費(fèi)了大量的時(shí)間，將這些知識(shí)系統(tǒng)的總結(jié)成一門學(xué)科。最有成就的是希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》。

人們對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，首先是從具體的圖形中抽象出點(diǎn)、線、面、體等概念。其次是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來研究圖形，把圖形看成點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)的軌跡。再次是對(duì)空間圖形認(rèn)識(shí)的擴(kuò)展。人類居住的空間是三維的，所以，幾何圖形也只能從長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向度量，這三維再加上時(shí)間，就得到四維空間的概念。接下來，由于拓樸學(xué)的誕生，非歐幾何和射影幾何的出現(xiàn)，而將幾何學(xué)的發(fā)展推向深入。隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，分形幾何又成為當(dāng)代幾何的一個(gè)新亮點(diǎn)。

數(shù)學(xué)的美，數(shù)不勝數(shù)。用網(wǎng)友所作的這篇《沁園春·數(shù)學(xué)》來贊美數(shù)學(xué)吧。

沁園春·數(shù)學(xué)

數(shù)苑飄香，千載繁榮，百世流芳。

讀《九章算術(shù)》，何等精彩，《幾何原本》，意味深長(zhǎng)；

復(fù)變函數(shù)，概統(tǒng)理論，壯闊雄奇涌大江；

逢盛世，趁春明日暖，好學(xué)軒昂。

難題四處飛揚(yáng)，引無數(shù)英才細(xì)參詳；

仰加羅華氏，煌煌群論，陳氏定理，笑傲萬(wàn)方；

一代天驕，懷爾斯，求證費(fèi)馬破天荒；

欣昂首，看數(shù)學(xué)發(fā)展，無可限量！

［1］藍(lán)天.數(shù)學(xué)是美的[J].少年智力開發(fā)報(bào)，2012-6-29.

［2］李書平.淺談數(shù)學(xué)之美[J].技工培訓(xùn)之友，1996,6.

［3］曲一線.5年中考3年模擬·數(shù)學(xué)[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2006,8.