土水特征曲線參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)及敏感性分析

譚曉慧，李 丹，沈夢(mèng)芬，侯曉亮，胡 娜

（合肥工業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，合肥230009）

土水特征曲線（Soil－water characteristic curve，簡(jiǎn)稱SWCC）表征非飽和土的基質(zhì)吸力與含水率（如重力含水率、體積含水率）或飽和度之間關(guān)系，它包含了土體在任一吸力時(shí)孔隙中含有的水量及孔徑分布信息，由土水特征曲線可以得到非飽和土的抗剪強(qiáng)度、滲透系數(shù)、體積變化等性質(zhì)［1－5］。由于土水特征曲線的重要性，很多學(xué)者對(duì)之進(jìn)行了研究，并提出了大量有關(guān)土水特征曲線的數(shù)學(xué)模型［6－7］。文［1，6－7］通過(guò)研究，指出 Frenlund－Xing模型（簡(jiǎn)稱 FX模型）［10］及van Genutchen模型（簡(jiǎn)稱 VG 模型）［11］效果較好，它們適用的吸力范圍廣，擬合參數(shù)的物理意義明確。采用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示SWCC的優(yōu)點(diǎn)在于：模型的參數(shù)可以量化描述曲線的形狀，可用于土體的分類，可方便地用于估計(jì)其它土性參數(shù)。在涉及到非飽和土的巖土工程數(shù)值分析中，非飽和土的性質(zhì)非常重要，數(shù)值分析的結(jié)果是否正確在很大程度上依賴于SWCC參數(shù)等輸入數(shù)據(jù)的可靠性。在進(jìn)行可靠度分析時(shí)，還需要提供參數(shù)的均值、均方差、分布類型等信息。因此，對(duì)SWCC模型參數(shù)進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)分析是十分重要的。

Sillers等［7］通過(guò)對(duì)二百多組數(shù)據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)，對(duì)8種土的多種SWCC模型及其修正型式求得了模型參數(shù)的均值、均方差及中值，并指出在大多數(shù)情況下，這些擬合參數(shù)的變異性都較大。Puppala等［8］采用FX模型研究了2種膨脹土的SWCC特征，并采用線性回歸分析的方法求解了模型參數(shù)與基本土性參數(shù)間的關(guān)系。Phoon等［9］以VG模型為基礎(chǔ)，指出可采用對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)矢量來(lái)表示SWCC的2個(gè)擬合參數(shù)a及n。

由于FX模型及VG模型的擬合效果較好［1，6－7］，筆者以這2類模型及其修正型式為基礎(chǔ)，研究SWCC參數(shù)的擬合方法，分析不同土類的SWCC參數(shù)的概率分布特征，并進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析。

1 土水特征曲線模型及擬合方法

1.1 SWCC模型

SWCC可以通過(guò)某種數(shù)學(xué)模型來(lái)表示，即：采用某種特定型式的函數(shù)來(lái)表示試驗(yàn)所得的基質(zhì)吸力與含水率的關(guān)系。筆者以FX模型和VG模型為基礎(chǔ)進(jìn)行研究。根據(jù)具體表達(dá)式的不同，這2類模型又分別分為3種型式，具體如下。

1.1.1 FX模型 文［10］通過(guò)對(duì)土體孔徑分布曲線的研究，用統(tǒng)計(jì)分析理論推導(dǎo)出非飽和土體積含水率與基質(zhì)吸力之間的對(duì)數(shù)函數(shù)型式的土水特征曲線，其歸一化表達(dá)式如下（FX1模型）：

式中：ψ為基質(zhì)吸力；θ為與基質(zhì)吸力ψ相對(duì)應(yīng)的體積含水率，其取值范圍為［θr，θs］，θr和θs分別為殘余含水率和飽和含水率；θn為歸一化的體積含水率（有效飽和度）；a、n、m為擬合參數(shù)（a是與進(jìn)氣值有關(guān)的吸力值，對(duì)應(yīng)于曲線的拐點(diǎn)；n是與孔徑分布有關(guān)的參數(shù)，對(duì)應(yīng)于曲線的斜率；m是與曲線拐點(diǎn)處的不對(duì)稱性有關(guān)的參數(shù)）；e為自然對(duì)數(shù)的底。

若在曲線擬合時(shí)視殘余含水率為零，則上式變?yōu)椋‵X2模型）：

當(dāng)土體的體積含水率小于殘余含水率時(shí)，上述模型常高估了含水率的數(shù)值。此時(shí)，可采用下述方法進(jìn)行修正（FX3模型）：

式中：C（ψ）為修正函數(shù)，ψr為與殘余含水率θr對(duì)應(yīng)的基質(zhì)吸力，一般取ψr＝3 000kPa［7］。

1.1.2 VG模型 文［11］通過(guò)對(duì)土水特征曲線的研究，得出非飽和土體積含水率與基質(zhì)吸力之間的冪函數(shù)形式的土水特征曲線，其歸一化表達(dá)式如下（VG1模型）：

與Fredlund－Xing模型類似，van Genutchen模型亦可寫(xiě)成如下2種型式［7］：

1.2 SWCC擬合方法

對(duì)于任一組基質(zhì)吸力－體積含水率試驗(yàn)數(shù)據(jù)，為獲得上述各種SWCC模型的擬合參數(shù)，筆者分別采用科學(xué)編程語(yǔ)言MATLAB中的非線性回歸擬合函數(shù)Nlinfit、最小二乘法擬合函數(shù)Lsqcurvefit及最優(yōu)化求最小值函數(shù)Fminsearch來(lái)進(jìn)行SWCC參數(shù)的求解。

方法1：Nlinfit是Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的非線性回歸函數(shù)，它采用Levenberg－Marquardt算法來(lái)進(jìn)行非線性回歸。它需要的輸入值是：待擬合的數(shù)據(jù)、非線性曲線函數(shù)及擬合參數(shù)的初值。

方法2：Lsqcurvefit是Matlab優(yōu)化工具箱中的函數(shù)，它采用最小二乘法來(lái)求解非線性函數(shù)的參數(shù)。它需要的輸入值除了待擬合的數(shù)據(jù)、非線性曲線函數(shù)及擬合參數(shù)的初值以外，還可以限定所需求解參數(shù)的范圍。

方法3：Fminsearch屬于 Matlab的基本函數(shù)，它采用不需求導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化方法來(lái)求解無(wú)約束多變量函數(shù)的最小值。它需要的輸入變量是目標(biāo)函數(shù)及參數(shù)的初值。筆者定義目標(biāo)函數(shù)值為體積含水率的擬合值與實(shí)測(cè)值之差的平方和。因此，用這種方法求解參數(shù)的實(shí)質(zhì)也是最小二乘法。

2 土水特征曲線的擬合

為了研究各種不同土的SWCC形狀及特性，分析SWCC模型、擬合方法等因素對(duì)參數(shù)擬合結(jié)果的影響，對(duì)大量的基質(zhì)吸力－體積含水率數(shù)據(jù)進(jìn)行了參數(shù)擬合及統(tǒng)計(jì)分析。

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

2.1.1 UNSODA數(shù)據(jù)庫(kù)中的黏土和砂土

UNSODA是由美國(guó)農(nóng)業(yè)部鹽度實(shí)驗(yàn)室開(kāi)發(fā)的有關(guān)非飽和土性質(zhì)的數(shù)據(jù)庫(kù)，全稱為非飽和土水力數(shù)據(jù)庫(kù)（UNsaturated SOil hydraulic DAtabase）［9］。該數(shù)據(jù)庫(kù)包含世界各地約790個(gè)土樣的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并含有土的分類、試驗(yàn)方法、粒徑分布、密度、飽和體積含水率、土樣所處環(huán)境的溫度及降雨量等內(nèi)容。由于篇幅所限，分別選取該數(shù)據(jù)庫(kù)中實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)條件下的黏土（clay）與砂土（sand）為研究對(duì)象進(jìn)行曲線擬合。其中，黏土與砂土所包含的基質(zhì)吸力－體積含水率的數(shù)據(jù)分別為23組及117組。

2.1.2 廣西膨脹土及合肥膨脹土

UNSODA數(shù)據(jù)庫(kù)中的數(shù)據(jù)主要是國(guó)外土樣的試驗(yàn)結(jié)果。為了研究中國(guó)土體的SWCC曲線特征，經(jīng)過(guò)查閱文獻(xiàn)，得到了廣西膨脹土的9組基質(zhì)吸力－體積含水率數(shù)據(jù)［12－13］。

上述UNSODA中的數(shù)據(jù)及廣西膨脹土的數(shù)據(jù)都是由文獻(xiàn)中的資料收集而得的，其各組土樣的具體取樣地點(diǎn)、試驗(yàn)方法及試驗(yàn)條件都不相同。為了研究同一種土、同一種試驗(yàn)方法下SWCC的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，以合肥市某工地的膨脹土為例，采用滲析法試驗(yàn)進(jìn)行了6組重復(fù)試驗(yàn)，得到了6組相同試驗(yàn)條件下的基質(zhì)吸力－體積含水率數(shù)據(jù)。

2.2 SWCC參數(shù)擬合結(jié)果

2.2.1 影響因素分析

1）擬合方法對(duì)SWCC參數(shù)的影響

分別采用3種擬合方法及FX1、FX2、FX3、VG1、VG2、VG3這6種模型對(duì) UNSODA黏土、UNSODA砂土、廣西膨脹土、合肥膨脹土進(jìn)行SWCC參數(shù)擬合。大量數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果表明：對(duì)于同一種SWCC模型，采用不同的擬合方法均能得到很好的擬合效果，但它們所得到的擬合參數(shù)不完全相同，某些參數(shù)值甚至相差較大。例如，表1是對(duì)UNSODA中第2361＃黏土采用FX2模型進(jìn)行擬合的結(jié)果，各種擬合方法的擬合參數(shù)初值相同。表1中R2是決定系數(shù)，其表達(dá)式為：

式中：θi及分別為第i個(gè)數(shù)據(jù)的實(shí)測(cè)值及預(yù)測(cè)值，為n個(gè)數(shù)據(jù)的平均值。

表1 UNSODA中2361＃黏土的SWCC擬合參數(shù)值（FX2）

由表1可見(jiàn)，3種擬合方法所得的擬合參數(shù)有一定差別，尤其是a值相差較大。但是，各種擬合方法的決定系數(shù)都大于0.99，這表明這3種擬合方法的效果都很好。圖1為各種擬合方法所得的SWCC擬合曲線，可見(jiàn)，這3種擬合方法所得的SWCC擬合曲線幾乎相同。因此，對(duì)于同一組吸力－體積含水率數(shù)據(jù)及同一種曲線擬合模型，采用不同的擬合方法可以得到不同的擬合參數(shù)值，但是它們都能較好地?cái)M合原有數(shù)據(jù)。

圖1 UNSODA中第2361＃黏土的SWCC（FX2）

2）擬合模型對(duì)SWCC參數(shù)的影響

大量數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果表明：擬合方法一定時(shí)，各種擬合模型所得的SWCC曲線參數(shù)亦有一定差異。圖2是對(duì)UNSODA中第2361＃黏土采用Nlinfit進(jìn)行擬合的結(jié)果。由圖2（a）可知：FX1、FX2與FX3的差別主要在于高吸力部分。對(duì)于低吸力部分，它們的SWCC擬合曲線十分接近。由圖2（b）可知，對(duì)于VG系列模型亦有此規(guī)律。

圖2 UNSODA中第2361＃黏土的SWCC（Nlinfit）

圖2（c）將FX2、FX3、VG2及 VG3的擬合曲線置于同一圖形。盡管這4種模型的擬合參數(shù)有所不同，但由圖2（c）可見(jiàn)，在低吸力部分，這4種模型的SWCC卻十分接近；在高吸力部分，F(xiàn)X2與VG2的SWCC接近，F(xiàn)X3與VG3的SWCC幾乎相同。

由于FX1及VG1都是4參數(shù)模型（參數(shù)：a、n、m、θr），而其它4個(gè)模型都是3參數(shù)模型（參數(shù)：a、n、m），因此，對(duì)于相同數(shù)目的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，F(xiàn)X1及VG1對(duì)應(yīng)的擬合效果相對(duì)較差，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)殘余含水率為負(fù)的不合理現(xiàn)象。后續(xù)分析只對(duì)FX2、FX3、VG2及VG3模型進(jìn)行研究。

2.2.2 SWCC參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析 為了研究SWCC曲線擬合參數(shù)的概率分布特征，基于上述研究，分別對(duì)采用FX2、FX3、VG2、VG3模型及3種擬合方法得到的參數(shù)a、n、m進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，求解UNSODA黏土、UNSODA砂土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的SWCC擬合參數(shù)的均值、均方差、變異系數(shù)、分布類型及參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)。在進(jìn)行參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，根據(jù)3倍均方差的原則進(jìn)行異常數(shù)據(jù)的剔除。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：UNSODA黏土及砂土的SWCC擬合參數(shù)滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布；廣西膨脹土及合肥膨脹土由于參與統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)組數(shù)偏少，未對(duì)其統(tǒng)計(jì)參數(shù)的概率分布類型。4種土的SWCC擬合參數(shù)均值統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)圖3。

圖3 SWCC擬合參數(shù)的均值

圖3中，左、中、右圖形分別代表參數(shù)a、n、m的統(tǒng)計(jì)結(jié)果；橫坐標(biāo)的數(shù)字1～4分別代表FX2、FX3、VG2及VG3模型；縱坐標(biāo)代表參數(shù)a、n、m的均值，a的單位是kPa。

由圖3可知：對(duì)于同一種土，SWCC擬合方法及擬合模型不同時(shí)，擬合參數(shù)值不同。但是，從統(tǒng)計(jì)意義上看，參數(shù)a、n、m的均值受擬合方法的影響不大，而受擬合模型的影響較大，即：擬合模型相同但擬合方法不同時(shí)，參數(shù)a、n、m的均值有一定變化，但相對(duì)變化量較??；擬合方法相同但擬合模型不同時(shí)，參數(shù)a、n、m的均值有較大變化。

對(duì)參數(shù)a、n、m的均方差及變異系數(shù)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)，亦可得出上述規(guī)律。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，文中只列出擬合方法2及模型FX2、VG2對(duì)應(yīng)的擬合參數(shù)均值及變異系數(shù)，見(jiàn)表2～5。

表2 UNSODA黏土的擬合參數(shù)（Lsqcurvefit）

表3 UNSODA砂土的擬合參數(shù)（Lsqcurvefit）

表4 廣西膨脹土的擬合參數(shù)（Lsqcurvefit）

表5 合肥膨脹土的擬合參數(shù)（Lsqcurvefit）

以上述4種土的SWCC擬合均值為參數(shù)，可以繪制各種土的SWCC擬合曲線。例如，F(xiàn)X2模型的SWCC曲線如圖4所示。由該圖知：UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的SWCC曲線形狀較為一致，因?yàn)樗鼈兺瑢儆陴ね?；相?duì)于UNSODA砂土而言，它們的曲線相對(duì)平緩，曲線拐點(diǎn)不明顯；而UNSODA砂土的SWCC曲線之斜率相對(duì)較大，曲線拐點(diǎn)相對(duì)較為明顯。這種現(xiàn)象可結(jié)合表6進(jìn)行解釋。表6是對(duì)表2～5中FX2模型進(jìn)行匯總得到的，它將UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土匯總為黏土，并統(tǒng)計(jì)了其擬合參數(shù)均值及變異系數(shù)的變化范圍。由表6可見(jiàn)，對(duì)于均值而言，黏土的a值遠(yuǎn)大于砂土的a值，但黏土的n及m值卻分別小于砂土的相應(yīng)值；但對(duì)于變異系數(shù)而言，黏土與砂土的變異系數(shù)大小無(wú)明顯區(qū)別。對(duì)表2～5中VG2模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，亦可同到類似的結(jié)論。

圖4 SWCC擬合曲線（FX2模型，Lsqcurvefit）

表6 黏土及砂土擬合參數(shù)對(duì)比分析（Lsqcurvefit）

2.2.3 SWCC參數(shù)的敏感性分析

為研究SWCC參數(shù)a、n、m對(duì)體積含水率θ的影響程度，判斷各參數(shù)的相對(duì)影響，需要進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析。

參數(shù)的敏感性可以用因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示。在進(jìn)行敏感性分析時(shí)，SWCC擬合參數(shù)為基本變量，飽和體積含水率為定值。為消除飽和體積含水率的影響，此處以歸一化的體積含水率θn為研究對(duì)象進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析。

對(duì)于FX2模型，由式（1）可以推導(dǎo)出θn對(duì)3個(gè)擬合參數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式如下：

對(duì)于VG2模型，由式（5）可求得θn對(duì)3個(gè)擬合參數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為：

對(duì)于FX3及VG3模型，只需將式（9）～（14）分別乘以修正函數(shù)C（ψ），即可得到其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)求解公式。

為了消除變量單位的影響，文［14］定義了無(wú)量綱化的敏感因子。對(duì)于系統(tǒng)特性P（X），X＝（X1，X2，…，Xn），敏感性因子的計(jì)算公式為：

式中：x＊＝ （x1，x2，…，xn）＊為變量X的基準(zhǔn)值。

當(dāng)變量間具有相關(guān)性時(shí)，文［15］定義了可靠指標(biāo)對(duì)參數(shù)均值的相對(duì)敏感性計(jì)算公式。借鑒這種方法，定義體積含水率對(duì)各參數(shù)的相對(duì)敏感性為：

以FX2模型及UNSODA黏土為例，歸一化體積含水率θn對(duì)3個(gè)變量的相對(duì)敏感性見(jiàn)圖5。其中，圖5（a）是假設(shè)變量間不相關(guān)時(shí)的敏感性曲線，圖5（b）是根據(jù)參數(shù)a、n、m的統(tǒng)計(jì)結(jié)果（參數(shù)a與n、a與m、n與m間的相關(guān)系數(shù)分別為（0.36、0.48、0.33）計(jì)算而得的敏感性曲線，它考慮了參數(shù)間的相關(guān)性。由圖5可見(jiàn)，對(duì)于UNSODA黏土，在工程常見(jiàn)的吸力范圍內(nèi)，θn對(duì)參數(shù)a的敏感性很小，對(duì)參數(shù)n、m的變化較為敏感；隨著吸力的增加，θn對(duì)參數(shù)n的敏感性逐漸減小，敏感性數(shù)值由正轉(zhuǎn)負(fù)；θn對(duì)參數(shù)m的敏感性數(shù)值為負(fù)值，其絕對(duì)值在60kPa左右達(dá)到最大值；參數(shù)間的相關(guān)性對(duì)參數(shù)a的敏感性有較大影響，但對(duì)參數(shù)n及m的敏感性影響不大。

圖5 歸一化體積含水率對(duì)SWCC參數(shù)的敏感性（UNSODA黏土）

3 結(jié) 論

以Fredlund－Xing模型的3種型式（FX1、FX2、FX3）及van Genuchten模型的3種型式（VG1、VG2、VG3）為SWCC曲線的擬合模型，以科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言 Matlab中的3種函數(shù)（Nlinfit、Lsqcurvefit、Fminsearch）為擬合方法，對(duì)UNSODA數(shù)據(jù)庫(kù)中的黏土與砂土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的大量基質(zhì)吸力－體積含水率數(shù)據(jù)進(jìn)行了曲線擬合，得到了這4類土的擬合參數(shù)均值、均方差、變異系數(shù)、分布類型及參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)；求得了這4種土的典型SWCC曲線；提出了歸一化體積含水率對(duì)SWCC曲線參數(shù)的相對(duì)敏感性計(jì)算公式，進(jìn)行了參數(shù)的敏感性分析。這些研究成果為非飽和土工程的可靠度分析提供了必要的研究基礎(chǔ)。

計(jì)算結(jié)果表明：

1）擬合方法對(duì)SWCC擬合參數(shù)有一定影響，不同的擬合方法可以得到不同的擬合結(jié)果；但從統(tǒng)計(jì)意義而言，大量擬合參數(shù)的均值、均方差及變異系數(shù)受擬合方法的影響不明顯。

2）擬合模型對(duì)SWCC擬合參數(shù)影響較大，采用不同的擬合模型可以得到不同的擬合參數(shù)。對(duì)于相同數(shù)目的數(shù)據(jù)點(diǎn)，F(xiàn)X2、FX3、VG2、VG3的擬合效果優(yōu)于FX1及VG1；FX2、FX3、VG2與VG3在低吸力部分的SWCC曲線一致；在高吸力部分，F(xiàn)X2與VG2的SWCC接近，F(xiàn)X3與VG3的SWCC接近。

3）UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土同屬于黏土，其SWCC曲線形狀較為一致，它們的a值一般較大，n值相對(duì)較小，曲線拐點(diǎn)不明顯，曲線中部的斜率較小。UNSODA砂土的a值較小，n值較大，曲線拐點(diǎn)較為明顯，曲線的斜率相對(duì)較大。

4）敏感性分析結(jié)果表明：參數(shù)a對(duì)歸一化體積含水率θn的影響程度較小，θn對(duì)參數(shù)a的變化不敏感，而對(duì)參數(shù)n及m的變化則較為敏感。

［1］周葆春，孔令偉，陳偉，等.荊門(mén)膨脹土土－水特征曲線特征參數(shù)分析與非飽和抗剪強(qiáng)度預(yù)測(cè)［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010，29（5）：1052－1059.ZHOU Baochun，KONG Lingwei，CHEN Wei，et al.Analysis of characteristic parameters of soil－water characteristic curve（SWCC）and unsatureated shear strength prediction of Jinmen expansive soil ［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2010，29（5）：1052－1059.

［2］Miao L C，Houston S L，Cui Y，et al.Relationship between soil structure and mechanical behavior for an expansive unsaturated clay［J］.Canadian Geotechnical Journal，2007，44：126－137.

［3］Nuth M，Laloui L.Advances in modelling hysteretic water retention curve in deformable soils ［J］.Computers and Geotechnics，2008，35（6）：835－844.

［4］Pedroso D M，Williams D J.A novel approach for modelling soil－water characteristic curves with hysteresis［J］.Computers and Geotechnics，2010，37（3）：374－380.

［5］林鴻州，于玉貞，李廣信，等.土水特征曲線在滑坡預(yù)測(cè)中的應(yīng)用性探討［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2009，28（12）：2569－2576.LIN Hungchou，YU Yuzhen，LI Guangxin，et al.On application of soil－water characteristic curves to landslide forecast ［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2009，28（12）：2569－2576.

［6］Nam S，Gutierrez M，Diplas P，et al.Comparison of testing techniques and models for establishing the SWCC of riverbank soils ［J］.Engineering Geology，2009，110（1／2）：1－10.

［7］Sillers W S，F(xiàn)redlund D G，Zakerzadeh N.Mathematical attributes of some soil－water characteristic curve models［J］.Geotechnical and Geological Engineering，2001，19：243－283.

［8］Puppala A J，Punthutaecha K，Vanapalli S K.Soilwater characteristic curves of stabilized expansive soils［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2006，132（6）：736－751.

［9］Phoon K K.Santoso A，Quek S T.Probabilistic analysis of soil－water characteristic curves［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2010，136（3）：445－455.

［10］Fredlund D G，Xing A.Equations for the soil－water characteristic curve ［J］.Canadian Geotechnical Journal，1994，31：521－532.

［11］van Genuchten M T.A closed form equation predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils［J］.Soil Science Society of America Journal，1980，44：892－898.

［12］孔令偉，李雄威，郭愛(ài)國(guó)，等.脫濕速率影響下的膨脹土工程性狀與持水特征初探 ［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2009，31（3）：335－340.KONG Lingwei，LI Xiongwei，GUO Aiguo，et al.Preliminary study on engineering behaviors and water retention characteristics of expansive soil under influence of drying rate ［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2009，31（3）：335－340.

［13］譚波，鄭健龍，余文成.降雨條件下膨脹土路塹邊坡滲流分析［J］.中外公路，2009，29（2）：28－32.TAN Bo，ZHENG Jianlong，YU Wencheng.Seepage analysis of expansive soil cutting slope subjected to rainfall infiltration［J］.Journal of China and Foreign Highway，2009，29（2）：28－32.

［14］朱維申，何滿潮.復(fù)雜條件下圍巖穩(wěn)定性與巖體動(dòng)態(tài)施工力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1995，128－144.

［15］譚曉慧，王建國(guó)，劉新榮，等.邊坡穩(wěn)定的有限元可靠度計(jì)算及敏感性分析［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2007，26（1）：115－122.TAN Xiaohui，WANG Jianguo，LIU Xinrong，et al.Finite element reliability computation and sensitivity analysis of slope stability［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2007，26（1）：115－122.