多相圈式繞組電機(jī)的定子端部漏感計(jì)算

史振宇 吳旭升 高 嵬 李宗陽(yáng)

（1.海軍駐438廠軍事代表室 武漢 4300332.海軍工程大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 武漢 430033 3.92418部隊(duì) 杭州 311203）

1 引言

端部漏感的計(jì)算結(jié)果不但影響電機(jī)瞬態(tài)和超瞬態(tài)參數(shù)的分析精度，還會(huì)影響電機(jī)電磁場(chǎng)的二維分析結(jié)果的可靠性。然而定子端部漏感的傳統(tǒng)算法存在著依賴經(jīng)驗(yàn)公式和不能用于計(jì)算多相電機(jī)的缺陷，精度較高的三維電磁場(chǎng)解法也有建模復(fù)雜且計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)的不足[1-3]。在引入氣隙電流與鏡像電流的情況下，文獻(xiàn)[4-6]通過(guò)將電流源分段后，疊加計(jì)算各小段電流效果的算法計(jì)算了多相電機(jī)端部漏感。這種離散的處理方式雖然能較好地改善傳統(tǒng)算法與電磁場(chǎng)解法的不足之處，但算法本身是在汽輪機(jī)的條式繞組[4-7]基礎(chǔ)上進(jìn)行的，其模型本身與圈式繞組存在較大差別，直接用來(lái)計(jì)算圈式繞組的定子端部漏感必然會(huì)有誤差。本文通過(guò)建立圈式繞組線圈端部的空間模型，研究了多相電機(jī)的定子端部漏感計(jì)算方法。

2 端部漏感建模與計(jì)算

2.1 端部線圈建模

根據(jù)繞線式異步電機(jī)的端部特性，可將線圈端部分為兩條直線段與一條空間曲線段，該曲線是母線平行于軸線的一條漸開面與母線平行于定子鐵心端面且開口向下的拋物面的交線。綜上，可以得到圖1所示的定子端部在直角坐標(biāo)系xyz內(nèi)的簡(jiǎn)圖。坐標(biāo)系原點(diǎn)位于定子鐵心端面中心處，xOy平面與定子鐵心端面重合，z軸正方向沿軸向從原點(diǎn)指向外，x軸正方向從原點(diǎn)指向一號(hào)槽的中點(diǎn)。線圈與定子鐵心交點(diǎn)分別取在對(duì)應(yīng)槽上、下層邊的中點(diǎn)，其到原點(diǎn)的距離分別為RA與RD。

圖1 電機(jī)端部的模型簡(jiǎn)圖Fig.1 Diagram of motor end-winding

2.2 電流源的分段

在引入鏡像電流與氣隙電流后可將任一通電線圈端部的作用分為八個(gè)部分，分別對(duì)應(yīng)空間的八個(gè)電流段。各電流段及其編號(hào)依次為:線圈端部電流段AB、BC與CD及其鏡像電流段 ''BA 、 ''CB 、 ''DC ，編號(hào)依次為為1～6；氣隙電流及其鏡像在線圈內(nèi)部的AD段與線圈外部的AD段，編號(hào)為7、8。各電流段中的電流方向如圖2所示。

圖2 線圈端部各電流段電流方向Fig.2 Sketch map of every current part directions in coil ends

在假設(shè)電機(jī)鐵心磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，并忽略齒槽效應(yīng)條件下，得到第m段的電流為

2.3 線圈端部面積剖分

利用數(shù)值方法計(jì)算圖1中1號(hào)線圈端部在2號(hào)線圈端部面積內(nèi)產(chǎn)生的磁鏈時(shí)需要對(duì)2號(hào)線圈端部面積進(jìn)行剖分。根據(jù)線圈端部模型，2號(hào)線圈的端部被剖分為如圖3的空間矩行與空間三角形兩種共計(jì)Ns個(gè)面積小塊，對(duì)應(yīng)面積為Si(i = 1,2,3 … Ns)。

圖3 線圈端部面積剖分圖（空間剖分）Fig.3 Section plane of coil end area (special)

2.4 電感計(jì)算

為提高數(shù)值計(jì)算的精度，將1號(hào)線圈各電流段分為Nm個(gè)小段，其中m=1,2,3,…,8。可以得到第m個(gè)電流段的第 n小段在 2號(hào)線圈端部Si的中心點(diǎn)上產(chǎn)生的法向磁通密度為

式中，l1mn表示從 1號(hào)線圈的第 m個(gè)電流段的第 n小段電流矢量段；r21imn表示從l1mn中點(diǎn)指向 Si重心的矢量；n2i表示在規(guī)定磁動(dòng)勢(shì)正方向后Si中心的單位法矢量。

進(jìn)而得到1號(hào)線圈端部在2號(hào)線圈端部面積內(nèi)產(chǎn)生的磁鏈為

則1號(hào)線圈通電后，2號(hào)線圈端部產(chǎn)生的電感為

對(duì)線圈端部沿逆時(shí)針或順時(shí)針統(tǒng)一編號(hào)后，根據(jù)式（2）～式（4）可知對(duì)于兩對(duì)編號(hào)間隔相同的線圈對(duì)（即第x和第y號(hào)與第k號(hào)和第k+x-y號(hào)線圈），由于其相對(duì)位置相同，存在如下關(guān)系

因此，對(duì)于相對(duì)位置相同的任意兩個(gè)線圈，端部互電感有如下關(guān)系

即相對(duì)位置相同的兩個(gè)線圈端部之間的電感相同。所以在求解線圈端部互感矩陣Mz1×z1時(shí)，只需求解其中的電感 Mi1(i =1,2,3,…z1)，共計(jì)z1項(xiàng)，便可得到互感矩陣Mz1×z1。

2.5 各相漏感的計(jì)算

在計(jì)算出各線圈端部的互感與自感后，可根據(jù)電機(jī)繞線方式寫出與之對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣C[5]。結(jié)合互感矩陣Mz1×z1，得到相間漏感矩陣

式中，u、v取法同文獻(xiàn)[5]中相同。

利用互感矩陣Mz1×z1，結(jié)合各相的電流矢量圖，便可求出多相電機(jī)各相的端部漏感。

3 樣機(jī)計(jì)算與分析

3.1 線圈編號(hào)

為便于計(jì)算與分析，將原理樣機(jī)定子槽編號(hào)，令1號(hào)槽中線位于xOz平面，從原點(diǎn)向z軸正方向看，沿順時(shí)針?lè)较驅(qū)⒍ㄗ硬劬帪?～48號(hào)。線圈的編號(hào)與該線圈上層邊所在槽的編號(hào)相同。

3.2 線圈端部間的電感計(jì)算

以1號(hào)線圈為例，將其電流段劃分成各小段，并將其端部面積剖分，利用式（2）可以求出各電流小段在端部面積內(nèi)各小塊上的法向磁通密度。經(jīng)計(jì)算得出其自感引起的端面內(nèi)的法向磁通密度分布如圖4所示。

通過(guò)圖4可以看出:在線圈端部，導(dǎo)線附近的法向磁通密度最大，且由導(dǎo)線所在位置向定子鐵心端面方向逐漸減小。在圖中離C點(diǎn)較近區(qū)域與距離B點(diǎn)較近區(qū)域相比，由于距離氣隙電流遠(yuǎn)近不同，磁通密度大小略有不同。離軸線較近的B點(diǎn)附近區(qū)域，磁通密度衰減相對(duì)較快。

圖4 自感引起的端部面積內(nèi)的法向磁通密度分布Fig.4 Normal flux density distributions produced by self inductance in coil end area

對(duì)不同線圈端部的電流分段和面積剖分，結(jié)合端面內(nèi)各面積小塊的法向磁通密度、式（3）與式（4）可以求出線圈端部互感矩陣M48×48，由于篇幅有限且M48×48中存在式（6）所給關(guān)系，故表1只給出了1號(hào)線圈通電時(shí)，在48個(gè)線圈端部引起的電感值。

表1中，由于端部自身耦合程度最高，1號(hào)線圈端部的自感是最大的；隨著耦合程度的降低，各線圈端部間的電感會(huì)逐漸減小，故表中的電感從 2號(hào)與 48號(hào)線圈開始向遠(yuǎn)離 1號(hào)線圈的兩側(cè)依次衰減；而當(dāng)線圈與1號(hào)線圈距離較大時(shí)，兩線圈間的距離對(duì)電感的絕對(duì)值的影響開始明顯，故表中由12線圈與37號(hào)線圈開始向遠(yuǎn)離1號(hào)線圈的方向，電感的絕對(duì)值略有降低。

表1 線圈端部間的電感Tab.1 Inductance values in coil ends（單位:×10-7H）

利用本文計(jì)算方法與Rmxprt軟件計(jì)算出樣機(jī)在繞成三相，不同短距比條件下的定子端部漏感見表2。

表2 不同條件下定子端部漏感Tab.2 Stator ends leakage inductance with different conditions（單位:×10-4H）

通過(guò)表2可以看出兩種方法計(jì)算出的端部漏感相差不大，說(shuō)明本文所提出的圈式繞組端部漏感計(jì)算方法具有一定的正確性。但同時(shí)，表2中的數(shù)據(jù)還反映出本文所述方法的計(jì)算結(jié)果普遍大于同條件下的傳統(tǒng)方法的結(jié)果。出現(xiàn)這一現(xiàn)象是因?yàn)樵诰€圈端部之間的漏感矩陣中，自漏感占據(jù)著很大的比重。在自漏感中，在線圈匝數(shù)相同的條件下，線圈端部的面積越大，線圈的自感也越大。而在線圈伸出端部的直線段部分長(zhǎng)度和折線段部分長(zhǎng)度相同的條件下，圈式繞組線圈端部的面積明顯大于條式繞組的值。因此，在相同條件下，本文所計(jì)算的圈式繞組的漏感值大于傳統(tǒng)算法的結(jié)果。

根據(jù)本文所述的計(jì)算方法，編制相應(yīng)計(jì)算程序。算出樣機(jī)各相間的端部互漏感見表3。

表3 相間互漏感Tab.3 End leakage inductance between two phases（單位:×10-6H）

可以看出，互漏感矩陣中各相的自電感最大。此外，當(dāng)任意兩相在電流向量圖中相對(duì)位置相同時(shí)，兩線圈端部的互電感相同，如 MA1B1= MA2B2。

利用本文所述方法，計(jì)算出樣機(jī)在不同短距比條件下的端部漏感見表4。

表4 不同短距比下的端部漏感Tab.4 End leakage inductance with different short pitch ratios（單位:×10-4H）

由表4可以看出，樣機(jī)的端部漏感隨著短距比的增大，逐步增加。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

當(dāng)利用Ansoft對(duì)電機(jī)進(jìn)行二維有限元仿真時(shí)，除轉(zhuǎn)子端環(huán)漏感與轉(zhuǎn)子端環(huán)電阻的實(shí)際值、定子端部漏感與定子相電阻以外，不用考慮其他漏電感和電阻參數(shù)。在以上四項(xiàng)中，定子相電阻可以通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得，轉(zhuǎn)子端環(huán)漏感實(shí)際值與端環(huán)電阻實(shí)際值與定子繞線方式無(wú)關(guān)，可以通過(guò)現(xiàn)有的公式計(jì)算得出。因此，當(dāng)錄入由本文計(jì)算得到的六相電機(jī)的定子端部漏感，通過(guò)有二維有限元計(jì)算得到的結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比可以用來(lái)驗(yàn)證為本文所述算法。

計(jì)算得到樣機(jī)定子端部漏感為1.5647×10-4H，將其錄入Ansoft進(jìn)行2D有限元仿真后得到空載條件下，定子相電流波形如圖5所示。

圖5 定子電流隨時(shí)間的變化曲線Fig.5 Graph describing stator current with different time

通過(guò)圖5可以得出電機(jī)運(yùn)行穩(wěn)定后的有效值為9.688A。在電源條件相同的情況下，通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得樣機(jī)空載運(yùn)行穩(wěn)定后定子相電流有效值為9.8A，與仿真得的到得結(jié)果誤差不到1.2%，說(shuō)明本文提出的多相圈式電機(jī)定子端部漏感的計(jì)算方法具有一定的有效性。

5 結(jié)論

本文通過(guò)建立定子繞組為圈式時(shí)的定子線圈端部空間模型，推導(dǎo)了多相圈式感應(yīng)電機(jī)的端部漏感計(jì)算公式。編程計(jì)算了某型樣機(jī)的定子端部的互漏感與不同短距比時(shí)的定子漏感，并對(duì)計(jì)算結(jié)果做出了分析。最后通過(guò)對(duì)比驗(yàn)證了本文所述算法的有效性。

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