Anand本構(gòu)方程在焊點(diǎn)可靠性研究中的應(yīng)用

王旭艷，徐仁春，劉 剛

(1.南京電子技術(shù)研究所，江蘇 南京 210039；2.南京汽車集團(tuán)有限公司，江蘇 南京 210061)

0 前言

在微電子工業(yè)中，隨著手機(jī)、筆記本電腦等便攜式電子產(chǎn)品的微型化需求，促進(jìn)了電子元器件也向微型化、高密度方向轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致焊點(diǎn)的尺寸也越來越小。焊點(diǎn)既承擔(dān)著電子器件與基板之間的電氣連接，同時(shí)也承擔(dān)著電子器件的機(jī)械支撐作用[1]。特別是在電子器件的服役期間，由于材料之間線膨脹系數(shù)的差異，容易在焊點(diǎn)內(nèi)部產(chǎn)生熱應(yīng)力[2]，導(dǎo)致微裂紋的出現(xiàn)，致使電氣功能失效，因此焊點(diǎn)的可靠性直接制約電子產(chǎn)品的使用壽命。

在焊點(diǎn)可靠性研究中，有限元模擬技術(shù)可以解決很多無法只通過試驗(yàn)解決的問題，例如在焊點(diǎn)服役期間的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)等問題。在有限元模擬中，由于焊點(diǎn)的溫度較低，在室溫下焊點(diǎn)的歸一化溫度已經(jīng)超過0.5[3]，說明非線性變形是焊點(diǎn)失效的主要原因。為了描述焊點(diǎn)的非線性變形，諸多研究者選擇構(gòu)建焊點(diǎn)的非線性本構(gòu)方程，并引入有限元模擬，分析焊點(diǎn)的應(yīng)力-應(yīng)變行為。在非線性本構(gòu)方程中，Anand本構(gòu)方程是諸多研究者最受青睞的一種本構(gòu)模型，主要是該模型統(tǒng)一了塑性和蠕變兩種非線性變形來描述焊點(diǎn)的非線性行為。

在此綜合分析了Anand本構(gòu)方程在焊點(diǎn)可靠性中的研究和應(yīng)用，為本構(gòu)模型的進(jìn)一步發(fā)展和應(yīng)用提供理論支持。

1 本構(gòu)方程

Anand 發(fā)展了高溫(0.5Tm～0.8Tm，Tm為材料的熔點(diǎn))下金屬率相關(guān)的本構(gòu)方程。起初Anand主要用于描述高強(qiáng)度的鋁和其他結(jié)構(gòu)金屬的熱性能。該本構(gòu)方程最早由Anand提出，隨后由Brown進(jìn)一步完善[4]。為了應(yīng)用Anand方程模擬電子產(chǎn)品組裝件無鉛焊點(diǎn)的熱-機(jī)械響應(yīng)，必須測(cè)定本構(gòu)關(guān)系的材料參數(shù)。

該本構(gòu)模型應(yīng)用了統(tǒng)一的流動(dòng)式和演化式來描述焊點(diǎn)的蠕變和相關(guān)的塑性變形[5]，Anand本構(gòu)模型[6]具有兩個(gè)基本特征：（1）該模型不需要具體的屈服條件和加載/卸載準(zhǔn)則；（2）采用形變阻抗s作為單一內(nèi)變量，表現(xiàn)材料內(nèi)部狀態(tài)（位錯(cuò)密度、固溶強(qiáng)化以及晶粒尺寸效應(yīng)等）對(duì)宏觀塑性流動(dòng)的平均阻抗。該粘塑性本構(gòu)方程可以反應(yīng)材料的各種特性，如材料的塑形變形、動(dòng)態(tài)回復(fù)等。

變形阻抗與等效應(yīng)力成正比

式中 c為材料參數(shù)，在恒定應(yīng)變率下可表示為

式中 εP為非彈性應(yīng)變速率；ξ為應(yīng)力乘子；A為常數(shù)；Q為激活能；T為絕對(duì)溫度；R為氣體常數(shù)；m為應(yīng)變率敏感指數(shù)。

粘塑性Anand模型的流動(dòng)方程采用雙曲蠕變規(guī)律，可以描述為

針對(duì)內(nèi)變量s的演化方程可以表示為

式中 h（σ，s，T）為硬化函數(shù)，是與材料的動(dòng)態(tài)應(yīng)變硬化和回復(fù)過程有關(guān)。硬化函數(shù)的具體形式為

式中 h0和a為表現(xiàn)材料應(yīng)變硬化參數(shù)。s*為s的飽和值。

聯(lián)合式（4）和式（5），可以得到：

式中 s'和n分別為變形阻力飽和值的系數(shù)和應(yīng)變率敏感度；s0為變形阻力的初始值，用于式（6）的計(jì)算。

聯(lián)合式（1）、式（2）和式（7），及 σ*=cs*可以得到

式（8）和材料飽和應(yīng)力、溫度及應(yīng)變速率有關(guān)。在等溫及 s*＞s條件下，由式（1）和式（6）可以得到

式中 σ0=cs0，s0為s的初始值。Anand本構(gòu)方程共有 9 個(gè)參數(shù)：A，Q/R，ξ，s'，n，m，a，h0以及初始變形阻抗s0。

2 材料參數(shù)

Anand本構(gòu)方程的9個(gè)參數(shù)可以通過以下過程確定[7]：

（1）由試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得所有的飽和應(yīng)力σ*和穩(wěn)態(tài)塑性應(yīng)變率對(duì)應(yīng)值。

（2）基于非線性擬合算法，獲得式（8）中的A，Q/R，s'/ξ，n，m。

（3）由步驟（2）確定的值，選擇參數(shù)ξ使得所有σ/s值小于 1，s'由 s'/ξ決定。

（4）基于非線性擬合算法，由不同溫度、不同應(yīng)變速率下的σ-εP數(shù)據(jù)獲得h0、a和s0的擬合值。擬合過程中，需要用到步驟（1）中獲得的飽和應(yīng)力值。

Chen[8]測(cè)試Sn3.5Ag釬料的Anand本構(gòu)方程，發(fā)現(xiàn)s0隨著溫度的增加而逐漸降低，通過擬合分析，發(fā)現(xiàn)變形阻抗的初始值s0和溫度之間存在明顯的線性關(guān)系，如式（10）所示。

在諸多研究中h0做常數(shù)處理，Chen[8]在研究Sn3.5Ag釬料的過程中，發(fā)現(xiàn)h0和溫度以及應(yīng)變速率有明顯的關(guān)系。

張尚國[9]在研究AuSn釬料Anand本構(gòu)方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)a、s0和h0受溫度及應(yīng)變率影響較大，取均值會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，a、s0、h0與溫度及應(yīng)變率的關(guān)系可擬合為

式中yi（i=1，2，3）分別為Anand參數(shù)a、s0、h0；pi1～pi5為與之對(duì)應(yīng)的系數(shù)。

Bai[10]等人針對(duì)SnAgCu/SnAg/SnCu三種無鉛釬料的Anand本構(gòu)方程進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)h0與溫度和應(yīng)變速率有明顯關(guān)系，其中h0由三個(gè)參數(shù)ah、n1和n2決定，表1給出了SnAgCu和SnCu兩種釬料的三個(gè)參數(shù)。

表1 Sn3Ag0.5Cu和Sn0.7Cu釬料Anand修正模型參數(shù)

還有研究者[11]給出了 Sn4.0Ag0.5Cu 釬料 Anand本構(gòu)方程的s0和h0的具體形式，研究結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為吻合。式（14）和式（15）為兩個(gè)參數(shù)的具體方程

目前針對(duì)Anand本構(gòu)方程的修正多是單一參數(shù)的選擇，為了更好地將Anand本構(gòu)模型應(yīng)用于焊點(diǎn)可靠性的數(shù)值模擬中，主要還是做常數(shù)處理，因?yàn)槟壳暗纳逃糜邢拊浖鏏NSYS/ABQUS等自帶Anand本構(gòu)方程模塊。改變參數(shù)的影響因素?zé)o疑需要編寫相關(guān)的應(yīng)用子程序來滿足焊點(diǎn)可靠性測(cè)試中的實(shí)際應(yīng)用需求。

3 應(yīng)用

在QFP焊點(diǎn)的可靠性研究中，Anand本構(gòu)方程可以很好地表現(xiàn)無鉛焊點(diǎn)的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)。對(duì)QFP64 器件 Sn3.8Ag0.7Cu 無鉛焊點(diǎn)分析，焊點(diǎn)的應(yīng)力集中在焊點(diǎn)內(nèi)側(cè)的尖角處，對(duì)比FR-4、LTCC和PTFE三種基板，發(fā)現(xiàn)FR-4對(duì)應(yīng)焊點(diǎn)的應(yīng)力最小，LTCC對(duì)應(yīng)焊點(diǎn)的應(yīng)力最大，PTFE基板居中，這在一定層次上也說明了Anand本構(gòu)方程結(jié)合相應(yīng)的有限元模擬可以為電子器件的材料選擇提供理論依據(jù)。通過研究QFP焊點(diǎn)可靠性，選擇SnAgCu和SnPb釬料，通過有限元模擬，發(fā)現(xiàn)SnAgCu焊點(diǎn)的應(yīng)力明顯小于SnPb焊點(diǎn)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)了明顯的應(yīng)力松弛，在一定層次上也說明了Anand本構(gòu)方程能夠很好地描述無鉛焊點(diǎn)的力學(xué)性能。有研究者[12]通過拉伸試驗(yàn)擬合SnAgCu/SnAgCuCe兩種材料的Anand本構(gòu)方程9個(gè)參數(shù)，然后驗(yàn)證試驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果基本吻合。同時(shí)針對(duì)QFP100器件的無鉛焊點(diǎn)進(jìn)行研究，有限元模型如圖1所示，發(fā)現(xiàn)SnAgCuCe焊點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變明顯小于SnAgCu，基于該研究也可以說明稀土元素的添加提高了QFP100器件的可靠性。

圖1 QFP100器件1/4有限元模型

對(duì)于BGA器件中的Anand本構(gòu)方程的應(yīng)用目前已有相關(guān)報(bào)道。楊平[13]采用Anand本構(gòu)模型研究了CBGA器件的焊點(diǎn)可靠性，發(fā)現(xiàn)在拐角焊點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變最大，采用BeO基板時(shí)焊點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變較小。基于Anand模型構(gòu)建SnAgCu釬料本構(gòu)方程，可以分析底部填充膠對(duì)FCBGA器件焊點(diǎn)的應(yīng)力-應(yīng)變分布。發(fā)現(xiàn)底部填充膠的使用可以減小焊點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變，同時(shí)使焊點(diǎn)表面的應(yīng)力均勻分布[14]。Anand本構(gòu)方程可以應(yīng)用于球狀焊點(diǎn)界面應(yīng)力分析，能夠很好地解釋界面的疲勞失效機(jī)制[15]。有研究者構(gòu)建納米銀焊膏的Anand本構(gòu)方程，結(jié)合有限元模擬，能夠很好地描述在拉伸過程中材料的力學(xué)行為，同時(shí)也能很好地描述材料在溫度循環(huán)過程中剪切應(yīng)力-應(yīng)變的棘輪效應(yīng)[16]。采用該本構(gòu)方程可以優(yōu)化PBGA焊點(diǎn)陣列，同時(shí)結(jié)合焊點(diǎn)疲勞壽命預(yù)測(cè)方程可以計(jì)算焊點(diǎn)的疲勞壽命，分析發(fā)現(xiàn)芯片尺寸對(duì)焊點(diǎn)疲勞壽命有較大影響。采用該方程進(jìn)行數(shù)值模擬，可以優(yōu)化焊點(diǎn)尺寸，為焊點(diǎn)可靠性的研究提供數(shù)據(jù)支持。結(jié)合相應(yīng)的疲勞壽命預(yù)測(cè)方程可以預(yù)測(cè)焊點(diǎn)的疲勞壽命[17]。

4 結(jié)論

Anand本構(gòu)方程以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)在微電子焊點(diǎn)可靠性研究中獲得廣泛應(yīng)用。針對(duì)傳統(tǒng)的SnPb釬料，Anand本構(gòu)模型已經(jīng)具備相當(dāng)?shù)难芯砍晒菍?duì)無鉛釬料的數(shù)據(jù)卻很少，特別是目前研發(fā)一系列的新型釬料，為了更好地研究新型釬料對(duì)應(yīng)焊點(diǎn)可靠性行為，有必要分析和構(gòu)建Anand方程，滿足無鉛焊點(diǎn)可靠性的研究需求，同時(shí)該系列方程也應(yīng)該有一定的修正，也需要編寫相應(yīng)的程序滿足有限元模擬的需要。

[1]Zhao J，Basaran C，Cartwright A，et al.Thermomechanical behavior of micron scale solder joints under dynamic loads[J].Mechanics of Materials，2000，32（3）：161-173.

[2]Dutta I，Gopinath A，Marshall C.Underfill constraint effects during thermomechanical cycling of flip-chip solder joints[J].Journal of Electronic Materials，2002，31（4）：253-264.

[3]Wu C M L，Huang M L.Creep behavior of eutectic Sn-Cu lead-free solder alloy[J].Journal of Electronic Materials，2002，31（5）：442-448.

[4]Brown S B，Kim K H，Anand L.An internal variable constitutive model for hot working of metals[J].International Journal of Plasticity，1989，5（3）：95-130.

[5]王國忠，程兆年.SnPb釬料合金的粘塑性Anand本構(gòu)方程[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2000，17（3）：133-139.

[6]張 莉，陳 旭，Nose H，等.Anand模型預(yù)測(cè)63Sn37Pb焊錫釬料的應(yīng)力應(yīng)變行為[J].機(jī)械強(qiáng)度，2004，26（4）:447-450.

[7]王 強(qiáng)，劉 勇，梁利華.無鉛材料SnAgCu的Anand參數(shù)測(cè)定和 CSP 焊點(diǎn)壽命預(yù)測(cè)[J].工程力學(xué)，2009，26（10）：177-182.

[8]Chen X，Chen G，Sakane M.Prediction of stress-strain relationship with an improved Anand constitutive model for lead-free solder Sn-3.5Ag[J].IEEE Transactions on Components and Packaging Technologies，2005，28（1）：111-116.

[9]張國尚.80Au/20Sn釬料合金力學(xué)性能研究[D].天津：天津大學(xué)，2010.

[10]Bai N，Chen X，Gao H.Simulation of uniaxial tensile properties for lead-free solders with modified Anand model[J].Materials&Design，2009，30（1）：122-128.

[11]Lai Z B，Loh W K，Mohd N T.Damage mechanics of solder/IMC interface fracture in Pb-free solder interconnects[A].11th Electronics Packaging Technology Conference，731-736.

[12]Zhang L，Xue S B，Gao L L，et al.Determination of Anand parameters for SnAgCuCe solder[J].Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering，2009，17（7）：075014.

[13]Yang P，Shen C J.Finite element analysis on stress/strain in CBGA solder joint with different substrates under thermal cycle[J].International Journal of Manufacturing Technology and Management，2009，18（3）：333-339.

[14]張 亮，薛松柏，韓宗杰，等.FCBGA器件SnAgCu焊點(diǎn)疲勞壽命預(yù)測(cè)[J].焊接學(xué)報(bào)，2008，29（7）：85-88.

[15]Chen S C，Lin Y C，Cheng C H.The numerical analysis of strain behavior at the solder joint and interface in flip chip package[J].Journal of MaterialsProcessing Technology，2006，171(1):125-131.

[16]Yu D J，Chen X，Chen G，et al.Applying Anand model to low-temperature sintered nanoscale silver paste chip attachment[J].Materials&Design，2009，30(10)：4574-4579.

[17]韓 瀟，丁 漢，盛鑫軍，等.CSP封裝Sn-3.5Ag焊點(diǎn)的熱疲勞壽命預(yù)測(cè)[J].半導(dǎo)體學(xué)報(bào)，2006，27(9)：1695-1700.