概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)方法探討

牛銀菊

(東莞理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東東莞 523808)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系與數(shù)量規(guī)律性的一門學(xué)科，是高等院校理、工科及管理學(xué)等專業(yè)必修的一門重要的基礎(chǔ)課程［1］。隨著我國(guó)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的逐步完善，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，特別在經(jīng)濟(jì)學(xué)、質(zhì)量控制、精算數(shù)學(xué)等方面發(fā)揮著重要的作用，凡是有數(shù)據(jù)需要處理的地方，都離不開(kāi)概率統(tǒng)計(jì)。因此，該課程越來(lái)越受到人們的重視，同時(shí)也是全國(guó)碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試的內(nèi)容之一。本文針對(duì)部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的現(xiàn)狀，結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的特點(diǎn)和初學(xué)者遇到的實(shí)際問(wèn)題，從概念引入、案例教學(xué)、規(guī)律總結(jié)等三個(gè)方面進(jìn)行了探索，并取得了良好的教學(xué)效果。

1 課程特點(diǎn)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門高度抽象的學(xué)科，有它獨(dú)特的概念和方法。主要特點(diǎn)是:概念和公式繁多，章節(jié)的關(guān)系松散，應(yīng)用題比較抽象［1］。對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，其感覺(jué)是:基本概念既多又抽象、難懂;公式多且雜、易混淆;內(nèi)容抽象復(fù)雜、難以理解;知識(shí)點(diǎn)太多、遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，思路不清，無(wú)從下手;處理問(wèn)題的方法與其他數(shù)學(xué)課程有很大的差異，因而不易掌握［2］。

2 學(xué)生現(xiàn)狀

學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程時(shí)，通常對(duì)古典概率部分興趣較濃，學(xué)習(xí)尚不覺(jué)困難，但從隨機(jī)變量?jī)?nèi)容起，就感到相當(dāng)難，這是因?yàn)樗麄兊幕A(chǔ)課知識(shí) (特別是高等數(shù)學(xué)知識(shí)與概率計(jì)算知識(shí)的結(jié)合環(huán)節(jié))薄弱，如概率論中用到的分段函數(shù)、非初等函數(shù)的圖象、變線積分等內(nèi)容，均不是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容。從我教的管理學(xué)院的學(xué)生來(lái)看，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比理工科學(xué)生更差，且多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)目的不明確，沒(méi)有養(yǎng)成課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)的習(xí)慣，對(duì)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)不及時(shí)梳理，時(shí)間長(zhǎng)了，連基本的簡(jiǎn)單積分計(jì)算都忘記了，所以學(xué)起來(lái)困難更大。

3 方法探討

根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的特點(diǎn)和學(xué)生的現(xiàn)狀，從概念引入、案例教學(xué)、規(guī)律總結(jié)等方面對(duì)該課程的教學(xué)方法進(jìn)行了探討。下面對(duì)其具體的授課方式作一簡(jiǎn)要介紹，以期與同仁商榷。

3.1 概念引入

首先，在概念教學(xué)中，要使學(xué)生明確為什么要引入這個(gè)概念以及這個(gè)概念是用來(lái)解決什么問(wèn)題的。只有讓學(xué)生明確了這個(gè)概念引入的目的，才能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而積極地溶入整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，使教與學(xué)達(dá)到有機(jī)的統(tǒng)一。例如，我在第一節(jié)課介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課程時(shí)，先將手中拿的書掉在地上，結(jié)果是正面朝上。這時(shí)，我問(wèn)學(xué)生:“如果我再將手中的書掉在地上，你們猜想，結(jié)果是正面朝上還是反面朝上?！睂W(xué)生回答:“可能是正面朝上，也可能是反面朝上。”我又問(wèn):“其結(jié)果是肯定的，還是隨機(jī)的。”學(xué)生回答:“結(jié)果是隨機(jī)的?！蔽矣痔岢鲆恍﹩?wèn)題:“如果你們現(xiàn)在出去乘公交車，等多長(zhǎng)時(shí)間確定不確定，或者去郵局寄郵件等多長(zhǎng)時(shí)間確定不確定，等等?！笔聦?shí)上，這樣的不確定事件在我們身邊隨處可見(jiàn)，要把這樣的事情搞清楚，就必須學(xué)習(xí)研究這些隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。再如，為了讓學(xué)生理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)所研究的問(wèn)題與其它學(xué)科的不同，我提出這樣的問(wèn)題:“在一大氣壓下，把水加熱到100攝氏度，有什么現(xiàn)象發(fā)生?！睂W(xué)生回答:“水會(huì)沸騰。”我又問(wèn):“這個(gè)結(jié)果肯定嗎?”學(xué)生回答:“其結(jié)果是肯定的?！苯又鴱?qiáng)調(diào)我們學(xué)過(guò)的定理，只要條件成立，其結(jié)果是肯定的，像以前學(xué)過(guò)的高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等課程就是研究這些必然現(xiàn)象的學(xué)科。

其次，根據(jù)概念產(chǎn)生的不同背景，應(yīng)選定最佳的引入路徑，讓學(xué)生盡快觸及概念的本質(zhì)，而不應(yīng)為了追求形式上的新穎，淡化概念產(chǎn)生的背景，把簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化。例如，在引入隨機(jī)變量的概念時(shí)，我是這樣引入的:前面，我們都是用一個(gè)字母來(lái)表示隨機(jī)事件，但是，如果考慮一些更加復(fù)雜的情況，用字母表示隨機(jī)事件就不太方便;若想用更多的數(shù)學(xué)知識(shí)解決所研究的問(wèn)題，就必須盡可能的將我們要考慮的問(wèn)題數(shù)量化。在后面的討論中，不是把每一個(gè)事件用不同的字母來(lái)代替，而是要把它數(shù)量化，即用變量的取值來(lái)代表隨機(jī)事件，它的不同的取值就表示不同的隨機(jī)事件，我們就稱這個(gè)變量為隨機(jī)變量。

3.2 案例教學(xué)

《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的內(nèi)容之一假設(shè)檢驗(yàn)所解決的問(wèn)題非常廣泛，涉及的概念、公式較多，解決問(wèn)題的方法也比較獨(dú)特，如果老師不講清它的基本原理，直接將解題過(guò)程寫出來(lái)，學(xué)生就會(huì)覺(jué)得比較混亂，不理解，遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)就會(huì)無(wú)從下手。

首先，讓學(xué)生明白，假設(shè)檢驗(yàn)是基于反正法的思想和小概率原理 (或?qū)嶋H推斷原理)，按照反正法的思想先要提出待檢驗(yàn)的假設(shè)，這一點(diǎn)學(xué)生很容易接受 (多數(shù)情況題目直接給出)。其次，尋找矛盾，這一點(diǎn)和以前學(xué)過(guò)的反正法得到的矛盾不同，它是利用小概率原理得到的，即小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生，根據(jù)這一點(diǎn)，決定拒絕還是接受假設(shè)，以此來(lái)判斷是否得到矛盾，從而對(duì)題目中的問(wèn)題作出合理的判斷，并得出自己認(rèn)為的結(jié)論。這就需要構(gòu)造判斷矛盾的小概率事件，其途徑是借助分布已知的統(tǒng)計(jì)量，得出小概率事件發(fā)生的條件或拒絕域。需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)的是統(tǒng)計(jì)量的確定，依據(jù)假設(shè)中的參數(shù)，即這個(gè)統(tǒng)計(jì)量只能含有假設(shè)中的參數(shù)，其它都要成為已知的或者通過(guò)樣本可以計(jì)算出來(lái)的。以此為基礎(chǔ)，老師講解引例學(xué)生很容易接受，并能按所學(xué)的套路解決現(xiàn)實(shí)生活中的各種問(wèn)題，為學(xué)生更加深刻的理解數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，下面舉例說(shuō)明。

例:要求某種燈泡的使用壽命不得低于1000小時(shí)，生產(chǎn)者從一批這種燈泡中隨機(jī)抽取36個(gè)，測(cè)得壽命的平均值為980小時(shí)，已知該種燈泡壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為100小時(shí)的正態(tài)分布，判斷這批燈泡是否合格?(取顯著性水平α=0.05)

解:(1)設(shè)總體均值為μ，檢驗(yàn)假設(shè)為

以上處理方法得到了學(xué)生的認(rèn)可，調(diào)動(dòng)了他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，提高了綜合分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)的領(lǐng)會(huì)更加深刻。但在實(shí)際問(wèn)題的解決中，有部分學(xué)生覺(jué)得單邊檢驗(yàn)的拒絕域接受起來(lái)仍然比較麻煩。為了讓他們?cè)诶斫獾幕A(chǔ)上掌握并記住單邊檢驗(yàn)拒絕域的公式，為靈活運(yùn)用這部分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。再以“H0:μ≤μ0的拒絕域的推導(dǎo)”為例，說(shuō)明求解單邊檢驗(yàn)拒絕域的過(guò)程。

3.3 規(guī)律總結(jié)

大家都知道，學(xué)習(xí)知識(shí)的目的是為了解決我們身邊遇到的各種各樣的問(wèn)題。解決問(wèn)題的方法雖然多種多樣，但我們希望找到最簡(jiǎn)捷、最易接受的方法，這就需要老師總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生有章可循。如，在隨機(jī)向量一章中，求聯(lián)合密度函數(shù)、邊緣密度函數(shù)及隨機(jī)事件的概率等問(wèn)題，其關(guān)鍵是求積分，而學(xué)生感到難的主要問(wèn)題是確定有效積分區(qū)域和積分線，老師只要將這兩個(gè)問(wèn)題講清楚，剩下的就是學(xué)生熟悉的《高等數(shù)學(xué)》中最簡(jiǎn)單的積分問(wèn)題。下面以有效積分區(qū)域、積分上下線的確定為例予以說(shuō)明。

定義有效積分區(qū)域，就是概率密度函數(shù)非零表達(dá)式的區(qū)域。然后，規(guī)定找積分線的方法:若看作是x型的，就在有效積分區(qū)域內(nèi)畫一條平行于y軸且與y軸同向的有向線，根據(jù)先交的是下線，后交的是上線就可以確定積分的上、下線。具體來(lái)說(shuō)，下線就是從函數(shù)關(guān)系式中求出y等于多少，同樣上線也是從另一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中求出y等于多少。若看作是y型的，就在有效積分區(qū)域內(nèi)畫一條平行于x軸且與x軸同向的有向線，根據(jù)先交的是下線，后交的是上線就可以確定積分的上、下線。具體來(lái)說(shuō)，下線就是從函數(shù)關(guān)系式中求出x等于多少，同樣上線也是從另一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中求出x等于多少。

定義隨機(jī)事件概率的有效積分區(qū)域，就是聯(lián)合概率密度函數(shù)的非零表達(dá)式的區(qū)域與隨機(jī)事件區(qū)域的交集部分或公共部分。然后，利用口訣“后積先進(jìn)線”確定積分時(shí)到底先積誰(shuí)。具體來(lái)說(shuō)，就是先寫x的線，就后積x，先寫y的線，就后積y。盡管學(xué)生剛接觸到這一章內(nèi)容時(shí)感到非常難，如果老師能從學(xué)生的問(wèn)題出發(fā)，找到要解決的問(wèn)題與同學(xué)們熟悉的知識(shí)之間的聯(lián)系，歸納、總結(jié)出具體的辦法，同學(xué)們就可以靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題了。

再如，在講解區(qū)間估計(jì)時(shí)，首先讓學(xué)生明確要構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，使得要估計(jì)的參數(shù)落在這個(gè)區(qū)間的可能性比較大。用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，就是要構(gòu)造參數(shù)落在一個(gè)區(qū)間的概率比較大，其值可表示為1－α(0＜α＜1)，α通常比較小。這樣做，可以讓學(xué)生抓住概念的實(shí)質(zhì)，解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)就會(huì)思路清晰、目的明確。

4 結(jié)語(yǔ)

問(wèn)卷調(diào)查表明90%以上的學(xué)生對(duì)老師的教學(xué)給予肯定，大多數(shù)學(xué)生反映這種教學(xué)方法使他們對(duì)該門課程有了更深的理解，培養(yǎng)了他們聯(lián)系實(shí)際、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，增加了應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，從而為他們后續(xù)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，也為老師繼續(xù)探討新的教學(xué)思路增加了信心。

［1］張忠志，李伯忍，李紹明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.天津:天津大學(xué)出版社，2011.

［2］鄧華玲，傅麗芳，孟軍，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的改革與實(shí)踐［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20(1):34－37.