雙泊松回歸模型在汽車保險索賠次數(shù)中的應用*

徐 昕，郭念國

(1.首都經(jīng)濟貿(mào)易大學金融學院，北京100070;2.河南工業(yè)大學理學院，河南鄭州450001)

1 引言

在擬合汽車保險索賠次數(shù)的模型中，泊松分布模型是擬合索賠次數(shù)的最簡單且常用的模型，具有均值與方差相等的特性。而索賠次數(shù)模型往往具有方差大于均值的性質(zhì)，此時如果繼續(xù)使用泊松分布模型會低估參數(shù)的標準誤差，高估其顯著性水平，導致多余的解釋變量保留在預測模型中，最終導致不合理的保費。

對于此類問題，研究人員通常利用各種不同的混合泊松模型來預測索賠次數(shù)。Ruohonen［1］提出結構函數(shù)為三參數(shù)伽瑪函數(shù)的泊松分布，同時用實際損失數(shù)據(jù)與兩參數(shù)結構函數(shù)泊松模型即負二項模型進行了比較，得到了比較滿意的結果。Panjer［2］運用廣義poisson－pascal分布(即Hofmann分布，含三個參數(shù))來建立汽車索賠次數(shù)模型，擬合效果也比較理想。Norison Ismail和 Aziz Jemain［3］討論了負二項回歸模型和廣義泊松回歸模型的參數(shù)估計及其在索賠頻率預測中的應用，而Denuit Michel［4］等人應用負二項回歸、泊松－逆高斯回歸和泊松－對數(shù)正態(tài)回歸對汽車保險的索賠頻率進行了實證研究。國內(nèi)關于索賠頻率模型的研究主要有孟生旺和袁衛(wèi)［5］用混合Poisson模型研究了非同質(zhì)風險的索賠分布。高洪忠、任燕燕［6］研究了一類更廣泛的分布，即GPSJ類分布，這類分布描述了一次風險事件多種索賠結果的情況。毛澤春和劉錦蕚［7］分析了免賠額及NCD賠付條件對索賠次數(shù)分布的影響，通過比較風險事件與索賠事件的差異引出了一類同質(zhì)集合保單索賠次數(shù)的分布(Poisson－Gamma)。毛澤春和劉錦蕚［8］引出了一類指數(shù)類混合型索賠次數(shù)的分布并研究了其散度(dispersion)的性質(zhì)，同時給出了擬合類分布的矩估計方法。徐昕、袁衛(wèi)、孟生旺［9］將兩參數(shù)負二項回歸模型推廣到三參數(shù)情況，并利用新模型對Yip和Yau［10］中的汽車保險損失數(shù)據(jù)進行了擬合，得到了較好的效果，提出了解決過離散問題的一種新辦法。

學者們的研究大多數(shù)集中在混合泊松分布模型上，而雙泊松分布模型也是一類離散型分布模型，具有方差大于均值的特性，但關于利用雙泊松回歸模型預測汽車保險索賠次數(shù)的文獻并不多見。本文將在下面內(nèi)容中詳細介紹雙泊松回歸模型的性質(zhì)及參數(shù)估計，并且利用該模型來擬合一組實際的汽車保險索賠數(shù)據(jù)，并將其結果與泊松回歸模型的擬合進行比較分析。

2 泊松回歸模型性質(zhì)及參數(shù)估計

為便于討論，假設共有p個分類變量，將所有保單分為n個風險類別，其中第i個風險類別在p個分類變量上的取值用xi=(xi1，xip)T表示，T表示轉置。用wi表示第i個類別包含的風險單位數(shù)(如汽車保險中的車年數(shù))。

令Yi表示第i個風險類別的索賠次數(shù)隨機變量，i=1，2…，n。如果Yi服從泊松分布，則其概率函數(shù)為:

泊松分布的均值與方差相等，即E(Yi)=Var(Yi)=λi。若令 λi=wiexp(xTiβ)，即可得到泊松回歸模型，其中β是p×1階的參數(shù)向量。容易求得泊松回歸模型的對數(shù)似然函數(shù)為:

回歸參數(shù)β的極大似然估計可以通過下述似然方程組求得:

為了求得參數(shù)估計的標準誤差，首先需要計算Hessian矩陣，其中的元素是關于對數(shù)似然函數(shù)的二階偏導數(shù)，即

因此信息矩陣的元素為

對信息矩陣對角線上的元素先求導數(shù)，然后再開方，即可得到參數(shù)估計的標準誤差。

3 雙泊松回歸模型的性質(zhì)及參數(shù)估計

雖然無法確定雙泊松分布是否也是一種混合泊松分布，但由于其具有方差大于均值的特征，因此也可以用于過離散數(shù)據(jù)的處理。雙泊松分布的概率函數(shù)可以表示為:

此處對雙泊松分布形式不同于Yip和Yau文獻中的雙泊松回歸模型。這樣做的目的是使其均值正好等于λi，與其他分布保持一致。如果采用其他的參數(shù)形式，譬如，如果參數(shù)的形式使得雙泊松分布的均值正好為λi/θ(參見Yip和Yau)，則截距項的估計值將發(fā)生變化，但索賠頻率的預測值不會受到影響。

從上述方差和均值的關系可以看出，當θ在區(qū)間(0，1)之間變化時，θ越小，雙泊松分布的過離散程度越嚴重，因此我們將g=q定義為雙泊松分布的離散參數(shù)。當θ→1時，雙泊松分布退化為泊松分布。容易求得雙泊松回歸的對數(shù)似然函數(shù)為:

對上式求偏導，可以得到模型的似然方程組為:

雙泊松回歸的Hessian矩陣H的元素也很容易求得:

因此雙泊松回歸的信息矩陣的元素為

4 模型檢驗

4.1 過離散檢驗

對于索賠數(shù)據(jù)是否具有過離散的特征，通常利用兩種方法來判斷。一是在普通最小二乘回歸模型的基礎上建立的統(tǒng)計量(Cameron 和 Trivedi［11］)，滿足下述條件

其中的λi=exp(xiβ)，ei是隨機誤差項。如果系數(shù)α的t統(tǒng)計量顯著，說明存在過離散特征。

另外一種方法是拉格朗日乘法(Lagrange Multiplier)檢驗(Greene［12］提出的)。LM 統(tǒng)計量可以簡單表示為

其中的 λ =(λ1，…，λn)'，λi=exp(xiβ)，e=y －λ，y=(y1，…，yn)。在零假設為泊松分布的條件下，LM統(tǒng)計量服從自由度為1的x2分布。

4.2 擬合優(yōu)度檢驗

對模型擬合優(yōu)度進行評價可以使用Akaike Information Criteria(AIC)統(tǒng)計量和Bayesian Schwartz Criteria(BIC)統(tǒng)計量。AIC 統(tǒng)計量定義為(Akaike［13］):

其中l(wèi)表示對數(shù)似然值，p為參數(shù)的個數(shù)。AIC的值越小，表明模型的擬合越好。

BIC 統(tǒng)計量定義為(Schwartz［14］):

其中的l也表示對數(shù)似然值，p為模型的參數(shù)個數(shù)，n為觀測值的個數(shù)，BIC的值越小，模型擬合越好。

5 實證分析

5.1 數(shù)據(jù)的描述

本節(jié)選用一組來自SAS Enterprise Miner數(shù)據(jù)庫中的汽車保險數(shù)據(jù)。原始數(shù)據(jù)中有10303個觀測值，其中大約有6%的缺失，數(shù)據(jù)包含索賠概況、駕駛記錄、保單信息、被保險人個人信息。索賠概況記錄了被保險人的索賠頻數(shù)、索賠額、索賠時間等信息;駕駛記錄包括駕駛人的分數(shù)、過去7年中是否被吊銷駕駛執(zhí)照;保單信息有被保險車輛的行駛區(qū)域、行駛時間、汽車價格、顏色、用途等;被保險人的個人信息有年齡、性別、教育程度、工作類型、婚姻狀況、年收入等。選取與Yip和Yau相同的費率因子(見表1)，其中收入為連續(xù)變量，其余為屬性變量，從10303個客戶中隨機抽取了4412個有效記錄。

表1 費率因子

5.2 過離散檢驗

首先依據(jù)第一種方法利用統(tǒng)計軟件SAS的回歸模塊(即PROC REG)得到結果見下表2，很明顯預測變量的P值顯著。

表2 預測值的估計結果

表2 預測值的估計結果

?

同樣，利用拉格朗日乘法(Lagrange Multiplier)，利用SAS中IML模塊求得LM值為128.47816，并且顯著。

從兩種檢驗方法可以判定，損失數(shù)據(jù)存在過離散問題。

5.3 擬合結果

從下表3中的回歸模型擬合結果來看，雙泊松回歸模型和泊松回歸模型的參數(shù)估計值差別不大，顯著性水平因子也相同。但由前面判斷，此數(shù)據(jù)存在過離散特性，泊松回歸模型費率因子參數(shù)估計標準誤差明顯小于雙泊松回歸模型。從整體上看，無論是AIC還是BIC，對于該組索賠數(shù)據(jù)而言，雙泊松回歸模型的擬合效果要明顯優(yōu)于普通泊松回歸模型。

表3 回歸模型擬合結果

6 結語

雙泊松分布模型雖然不能歸為混合泊松模型，但雙泊松分布模型同樣具有方差大于均值特性，從本文中的實證分析也可以看出，對于處理具有過離散特征的損失數(shù)據(jù)，雙泊松分布可以看做為一種解決辦法，也同樣可以達到改善擬合結果的效果。

［1］ Ruohonen，M..On amodel for claim number process［J］.Astin Bulletin，1987(18):57－68.

［2］Panjer，H.H.，Recursive Evaluation of a Family of Compound Distributions［J］.Astin Bulletin，1981(12):22 － 26.

［3］ Noriszura，I.，＆Abdul，A.J..Handling Overdispersion with Negative Binomial and Generalized Poisson Regression Models，2007 CAS Ratemaking Call Papers，2007:103 － 158.www.casact.org/pubs/forum/07wforum/07w109.pdf

［4］ Denuit，M.，Marechal，＝.，Pitrebois，S.，＆Walhin J.F..Actuarial Modeling of Claim Counts:Risk Classification，Credibility and Bonus－ Mallus Scales［M］.NewYork:Wilely，2007.

［5］ 孟生旺，袁衛(wèi).汽車保險的精算模型及其應用［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，2001，20(3):60 －65.

［6］ 高洪忠，任燕燕.二維GPSJ類分布及其在保險中的應用［J］.中國管理科學，2004，12(4):30 －34.

［7］ 毛澤春，劉錦蕚.免賠額和NCD賠付條件下保險索賠次數(shù)的分布［J］.中國管理科學，2005，13(5):1 －5.

［8］ 毛澤春，劉錦萼.指數(shù)類混合型索賠次數(shù)的分布及其應用［J］.應用概率統(tǒng)計，2008，24(1):1 －11.

［9］ 徐昕，袁衛(wèi)，孟生旺.負二項回歸模型的推廣及其在分類費率厘定中的應用［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，2010，29(4):656 －661.

［10］ Yip，K.C.H.，Yau，K.K.W.On Modeling Claim Frequency Data in General Insurance with Extra Zeros［J］.Insurance:Mathematics and Economics.2005 ，Vol 36，153－163.

［11］ Cameron，A.C.and Trivedi，P.K.Count Data Models for Financial Data［J］.Handbook of Statistics，Statistical Methods in Finance，1996，Vol 14，363－392，Amsterdam，North－Holland.

［12］ Greene，W.Econometric Analysis(6th edition)［M］.Prentice Hall:Englewood Cliffs.

［13］ H.Akaike.Information Theory and an Extension of the Maximum Likelihood Principle［J］.Proceedings of the 2nd International Symposium on Information Theory，Akademiai Kiade，Budapest，1973，267 －281.

［14］ G.Schwartz.Estimating the Dimension ofa Model［J］.Annals of Statistics，1978，Vol 6，461 －464.

［15］ SAS Institute Inc.Solving business problems using SA Senter prise miners of eware［J］.SAS Institute White Paper.1998，(Cary，NC:SAS Institute Inc.).