地暖系統(tǒng)的量子遺傳約束廣義預(yù)測控制

吳忠強 郄程飛

(燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

0 引言

地板輻射采暖系統(tǒng)(簡稱地暖系統(tǒng))作為一種新興的采暖末端裝置，以其節(jié)能、舒適、衛(wèi)生等優(yōu)點而逐漸被消費者所接受［1－3］。在理想情況下，可將地暖系統(tǒng)看作一個參數(shù)不確定的線性無約束大慣性系統(tǒng)。在室內(nèi)空氣溫度達(dá)到預(yù)設(shè)值的實際過程中，要求地暖系統(tǒng)控制器的輸入、輸出信號滿足多種約束條件［4－5］。

廣義預(yù)測控制在廣義最小方差控制的基礎(chǔ)上，在優(yōu)化過程中引入多步預(yù)測的思想，具有較強的魯棒性。對于過程參數(shù)慢時變系統(tǒng)，廣義預(yù)測控制易于在線估計參數(shù)，實現(xiàn)自適應(yīng)控制。因此，本文提出一種將約束條件引入廣義預(yù)測控制的方法，并將其應(yīng)用于地暖控制系統(tǒng)中。但將約束廣義預(yù)測控制應(yīng)用于參數(shù)不確定的地暖系統(tǒng)后，會使求解控制量的滾動優(yōu)化問題變得復(fù)雜，導(dǎo)致迭代求解的計算量較大。對此，本文引入量子遺傳算法滾動優(yōu)化廣義預(yù)測控制的控制增量Δu(k)。試驗表明，該算法取得了較好的控制效果。

1 地暖系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立

地暖系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)如圖1所示［6－7］。

圖1 地暖系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Simulative structure of floor heating system

圖1中:標(biāo)號1～4分別為系統(tǒng)的四個熱平衡點;tha為房間空氣溫度;ts為地板溫度;th為水泥砂漿填層的上表面溫度;tst為供暖管表面溫度;tfp為供暖管中的熱水溫度，作為控制量;tbo為保溫層的溫度;tw為室外空氣溫度，設(shè)tw=0℃;trp為室內(nèi)平均輻射溫度;k0為室內(nèi)外空氣傳熱系數(shù);k'0為吊頂與室內(nèi)空氣的傳熱系數(shù)，可近似認(rèn)為k'0=α0;α0為房間內(nèi)空氣的傳熱系數(shù);k1為地面面層材料的傳熱系數(shù)，本文選擇瓷磚作為面層材料;k2為水泥砂漿填層的傳熱系數(shù);k3為保溫層泡沫傳熱系數(shù);k4為供暖管管壁的傳熱系數(shù)。

由平衡點2的熱平衡關(guān)系，得到熱平衡方程如式(2)所示:

由平衡點3的熱平衡關(guān)系，得到熱平衡方程如式(3)所示:

式中:供暖塑料管熱容 c3=cρ3ρ3δ3。

由于泡沫保溫層的熱阻隔作用，可假設(shè)地暖系統(tǒng)不存在向下的熱傳導(dǎo)。

由平衡點4的熱平衡關(guān)系，得到熱平衡方程如式(4)所示:

式中:房間空氣熱容 c0=cρ0ρ0v0，其中，cρ0、ρ0和 v0分別為房間空氣的比熱、密度和房間體積;Fi為各墻壁的面積。

取狀態(tài)變量x=［tsthtsttha］T，系統(tǒng)輸入 u=tfp，系統(tǒng)輸出 y=tha，得到該地暖系統(tǒng)的狀態(tài)方程如式(5)所示:

以某房間為實際研究對象，房間的長、寬、高分別為7.8 m、6.3 m、3.5 m;房間空氣的參數(shù)為cρ0=1.007 kJ/(kg·℃)、ρ0=1.169 1 kg/m3、v0=172 m3、α0=22.5 W/(m2·K)、k0=4.005 W/(m2·K)［8］;瓷磚參數(shù)為cρ1=2 300 kJ/(kg·℃)、ρ1=2 083 kg/m3、δ1=0.01 m、λ1=1.1 W/(m·K);水泥砂漿的參數(shù)為 cρ2=920 kJ/(kg·℃)、ρ2=2 300 kg/m3、δ2=0.03 m、λ2=1.51 W/(m·K);供暖塑料管的參數(shù)為 cρ3=950 kJ/(kg·℃)、ρ3=940 kg/m3、δ3=0.002 m、λ3=0.41 W/(m·K)。

將參數(shù)代入地暖數(shù)學(xué)模型中，得到如式(5)所示的狀態(tài)方程為:b=［0 0 0.114 781 63 0］T、c=［0 0 0 1］。

以T=200 s為采樣周期，將數(shù)學(xué)模型離散化，再轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)形式，整理為受控自回歸積分滑動平均模型的形式，如下式所示:

式中:A(z－1)=1－0.515 1z－1－1.205z－2+0.368 4z－3+0.248 9z－4;B(z－1)=0.002 763+0.011 05z－1+0.016 58z－2+0.011 05z－3+0.002 763z－4;C(z－1)=1;δ=1－ z－1，為差分因子;ω(k)為不確定擾動，包括由冷空氣進入房間所引起的外界干擾量Hr和墻體與室內(nèi)空氣之間的換熱。

2 約束廣義預(yù)測控制

廣義預(yù)測控制是以受控自回歸積分滑動平均模型(controlled auto regressive integrated moving average，CARIMA)為基礎(chǔ)，采用了長時段的優(yōu)化性能指標(biāo)，并結(jié)合辨識和自校正機制的預(yù)測算法［9－10］。

設(shè)預(yù)測步長為P，控制步長為L。系統(tǒng)從第k個采樣時刻起，未來L個控制增量Δu(k+1)，…，Δu(k+i)，…，Δu(k+L)通過量子遺傳算法(quantum genetic algorithm，QGA)得到。這些增量隨著時間的推移不斷向前滾動，最終得到未來L個控制量u(k+1)，…，u(k+i)，…，u(k+L)。其中:

由CARIMA地暖數(shù)學(xué)模型，計算得到系統(tǒng)預(yù)測輸出y(k+1)并反饋到優(yōu)化指標(biāo)。優(yōu)化指標(biāo)中引入了對輸出誤差和控制增量加權(quán)的二次型性能指標(biāo)，并加入了對系統(tǒng)控制量和控制增量的約束，即對地暖系統(tǒng)的輸入量u(k)和輸入變化量Δu(k)的約束。用不等式的形式描述上述性能指標(biāo)，得到在k時刻的優(yōu)化性能指標(biāo)及約束條件如式(8)～式(10)所示。

式中:qi為輸出誤差系數(shù);λi為控制量加權(quán)系數(shù)，一般取常數(shù)值;yd(k+j)為輸出值y(k)至設(shè)定值S的輸入?yún)⒖架壽E。yd(k+j)的表達(dá)式為:

式中:β為柔化系數(shù);S為預(yù)設(shè)室內(nèi)空氣溫度值。

3 量子遺傳算法

量子遺傳算法(QGA)是基于量子比特和量子疊加態(tài)的概念提出的［11－13］。該算法采用了量子比特編碼，|0＞和|＞1表示微觀粒子的兩種基本狀態(tài)，稱為量子比特。一個量子位的狀態(tài)可以描述如下:

式中:|φ＞表示量子位的當(dāng)前狀態(tài);α、β為復(fù)數(shù)，分別對應(yīng)量子態(tài)被觀測為|0＞態(tài)和|1＞態(tài)的概率，且α、β滿足歸一化條件|α|2+|β|2=1。如果一個系統(tǒng)具有m個量子位，則該系統(tǒng)可同時描述2m個狀態(tài)。與傳統(tǒng)的二進制位編碼相比，量子遺傳算法的優(yōu)點在于一個量子位不僅可以處于|0＞態(tài)和|1＞態(tài)，而且還可以處于這兩個量子位中間的任意一個疊加態(tài)。

由于量子系統(tǒng)能夠描述疊加態(tài)，因此，基于量子比特編碼的量子染色體，比傳統(tǒng)進化算法具有更好的種群多樣性，且當(dāng)|α|2或|β|2趨近于0或1時，多樣性消失，量子染色體會收斂到一個確定的狀態(tài)，從而獲得較好的收斂性。這表明了量子染色體同時具有探索和開發(fā)的能力。本文采用量子比特來編碼多狀態(tài)基因作為廣義預(yù)測控制中的控制增量Δu(k)，編碼形式如下所示:

3.1 適應(yīng)度函數(shù)的選擇

量子遺傳算法適應(yīng)度函數(shù)可以由廣義預(yù)測控制優(yōu)化性能指標(biāo)式(8)變換得到，其形式如式(14)所示:

通過該形式的變換，GPC優(yōu)化指標(biāo)J的極小值問題即轉(zhuǎn)化為量子遺傳算法優(yōu)化的極大值問題，且在該優(yōu)化算法運行中，適應(yīng)度函數(shù)值始終位于［0，1］區(qū)間。

3.2 算法的實現(xiàn)

與遺傳算法類似，量子遺傳算法也是一種概率搜索算法，算法優(yōu)化步驟具體如下［14］。

③算法進入循環(huán)迭代階段，隨著迭代的進行，種群的解向最優(yōu)解不斷收斂。在每一次迭代中，先對種群Q(t－1)進行測量，獲得一組確定解P(t);隨后計算符合約束條件的解P(t)的適應(yīng)度值;再根據(jù)當(dāng)前的演化目標(biāo)和調(diào)整策略，利用量子旋轉(zhuǎn)門R(t)更新種群Q(t)。選擇P(t)中的當(dāng)前最優(yōu)解，若該當(dāng)前最優(yōu)解優(yōu)于之前存儲的最優(yōu)解，則用該當(dāng)前最優(yōu)解將其替換。

此外，在利用量子旋轉(zhuǎn)門更新種群的過程中都必須保證新個體滿足約束條件，防止在種群迭代計算中出現(xiàn)不滿足約束條件的個體，從而保證結(jié)果的有效性。同時，由于量子染色體本身具有由量子疊加態(tài)而導(dǎo)致的個體多樣性，沒有必要再使用交叉、變異等遺傳算子。在QGA中，種群規(guī)模即量子染色體的數(shù)量始終是恒定不變的，并且使用了量子疊加態(tài)，所以QGA比普通遺傳算法具有更好的種群多樣性和收斂性，并能夠得到全局最優(yōu)解。

3.3 量子旋轉(zhuǎn)門的選擇

量子染色體qj的更新是通過量子旋轉(zhuǎn)門R(t)來實現(xiàn)的，其中第 ik個量子位(αik，βik)的更新過程如式(15)所示:

式中:旋轉(zhuǎn)角 θik=S(αikβik)·Δθik，其旋轉(zhuǎn)方向 S(αikβik)和旋轉(zhuǎn)大小Δθik根據(jù)事先設(shè)定的調(diào)整策略來確定［15－16］，具體策略如表1所示。

表1 量子旋轉(zhuǎn)門調(diào)整策略Tab.1 Adjustment strategy of quantum rotating gate

表1中:f(x)為目標(biāo)函數(shù);bik和xik分別為最優(yōu)解和當(dāng)前解中的第ik個值。當(dāng)f(x)＞f(b)、xik=1、bik=0時，可將 Δθik設(shè)置為 0.025π。S(αikβik)決定了收斂到全局最優(yōu)解的方向，可依據(jù)αikβik的具體情況分別設(shè)置為+1、－1或0，以增大量子態(tài)|1＞的概率幅值。Δθik的值直接影響收斂速度。如果Δθik取值過大，容易引起早熟收斂，一般它的取值范圍在0.005π～0.05π之間。

4 仿真與試驗

基于量子遺傳算法的約束廣義預(yù)測控制器參數(shù)取P=3、L=2、λ =0.9、β =0.8、q=1。量子遺傳算法設(shè)定參數(shù)為初始種群Q(t)個數(shù)50、遺傳代數(shù)100、控制增量約束Δu∈［－5，5］、室內(nèi)溫度預(yù)設(shè)值25℃。為了說明本算法的有效性，與常規(guī)廣義預(yù)測控制方案進行比較，由梯度法尋優(yōu)得到常規(guī)廣義預(yù)測控制的最優(yōu)控制律如式(16)所示［8］:

式中:ΔU(k+1)=［Δu(k+1) Δu(k+2)］T;Yd(k+1)=［yd(k+1)yd(k+2)yd(k+3)］T;誤差系數(shù)陣Q=diag［1 1 1］;控制系數(shù)陣 R=diag［0.9 0.9 0.9］;ΔV(k－1)=［Δu(k－3) Δu(k－2) Δu(k－1)］T;Y(k)=［y(k－3)y(k－2)y(k－1)y(k)］T。

QGAGPC與GPC控制作用下的輸出仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 輸出仿真曲線Fig.2 Output simulation curves

由圖2可以看出，常規(guī)廣義預(yù)測控制反應(yīng)時間較短，具有快速性，但是超調(diào)較大，而且在控制過程中振蕩過程時間較長，恒溫環(huán)境的舒適度較差;在控制初始過程中需要較高的輸入值u，即需要較高的供暖熱水溫度，能源消耗較大。而采用基于量子遺傳算法的約束廣義預(yù)測控制方法的系統(tǒng)輸出反應(yīng)時間稍長，但室內(nèi)空氣溫度變化超調(diào)小且振蕩少，能夠較快地達(dá)到預(yù)設(shè)溫度值，符合人體對空氣溫度的舒適度的要求;控制輸入u的變化也較為平穩(wěn)，即對供暖水的溫度要求較低，從而實現(xiàn)了節(jié)約能源目的。此外，控制輸入u的振蕩也會相應(yīng)減少，避免了設(shè)備的頻繁動作，從而延長了設(shè)備的使用壽命。

在實際生活中，許多不確定的因素導(dǎo)致房間空氣溫度的急劇變化。例如門窗突然打開一段時間，再關(guān)上門窗，導(dǎo)致室內(nèi)空氣溫度驟降。因此，為了驗證控制器的魯棒性，假設(shè)在室內(nèi)空氣溫度穩(wěn)定后，在T=4×104s時對系統(tǒng)施加一個脈沖擾動，脈沖作用時間為Tr=400 s。QGAGPC與GPC控制的魯棒性比較仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 魯棒性仿真曲線Fig.3 Robustness simulation curves

從圖3可以看出，實際輸出值在受到冷空氣干擾后，以對流方式與室內(nèi)空氣進行熱交換，導(dǎo)致室內(nèi)空氣溫度下降，而在系統(tǒng)控制作用下，室內(nèi)空氣溫度又逐漸恢復(fù)到期望的溫度值。在溫度恢復(fù)過程中，與常規(guī)廣義預(yù)測控制相比較，基于量子遺傳算法的約束廣義預(yù)測控制的系統(tǒng)輸出較為平緩，動態(tài)降落量小，不會使人感覺到劇烈的溫差變化。

考慮到地暖模型參數(shù)的不確定性，本文對產(chǎn)生參數(shù)攝動的被控對象也進行了仿真研究。

此時，在本文控制方法下的系統(tǒng)輸出如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)輸出曲線Fig.4 Output curves of system

由圖4可以看出，當(dāng)模型參數(shù)產(chǎn)生攝動時，系統(tǒng)在本文所采用的控制方法的作用下同樣能夠較快地達(dá)到穩(wěn)定輸出。當(dāng)一個不確定擾動作用于穩(wěn)定輸出的系統(tǒng)時，系統(tǒng)同樣表現(xiàn)出了較強的魯棒性。

5 結(jié)束語

量子遺傳算法是一種新興的優(yōu)化算法，與其他優(yōu)化算法相比較，它具有高度的種群多樣性、收斂速度快等優(yōu)勢。本文將量子遺傳算法應(yīng)用于地暖控制系統(tǒng)的約束廣義預(yù)測控制中，仿真結(jié)果表明，基于量子遺傳算法的約束廣義預(yù)測控制的控制效果優(yōu)于常規(guī)廣義預(yù)測控制。優(yōu)越性主要表現(xiàn)在超調(diào)量明顯減少和振蕩較少，能夠使實際輸出值較快的達(dá)到預(yù)設(shè)溫度值，并滿足人體對溫度舒適度的要求。此外，控制系統(tǒng)具有較強的魯棒性，在實際應(yīng)用中具有重要意義。

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