淺談初中幾何證明“四階段”教學(xué)模式

[摘 要]

經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，筆者將初中幾何證明教學(xué)總結(jié)為四個階段的教學(xué)模式：其中，第一階段教學(xué)都是針對學(xué)生在學(xué)習(xí)中所遇到的問題而設(shè)計，有效地解決了學(xué)生如逆向思維能力差、對條件和結(jié)論混淆不清等問題，提高了課堂教學(xué)效率，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)能力。

[關(guān)鍵詞]

幾何直覺;規(guī)范語言;變式教學(xué);一題多解

第一階段——以實驗幾何為主，逐步向說理過渡再到簡單的推理

這一階段主要在初一、初二上學(xué)期，這一期間以實驗幾何為主逐步向說理過渡再到簡單的推理，在教學(xué)中分組活動，組織學(xué)生動手操作，從實驗結(jié)果中觀察、歸納、猜想，得出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺。要注意學(xué)生培養(yǎng)學(xué)生對文字語言、圖形語言、符號語言三種語言的轉(zhuǎn)化，熟記幾何術(shù)語，提高使用幾何語言的準(zhǔn)確性和規(guī)范性。如圖1在進(jìn)行平行線的性質(zhì)教學(xué)時，教材使用了猜一猜、量一量、拼一拼、看一看得出兩直線平行內(nèi)錯角相等的結(jié)論，用符號語言表示為[∵a∥b，∴∠2=∠3]。例如：如圖已知a∥b，那么[∠2與∠3]相等嗎？為什么？

解：∵a∥b（已知），∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）

又[∵∠1=∠3]（對頂角相等）[∴∠2=∠3]（等量代換）

第二階段——初二到初三階段從簡單推理向證明過渡

在初二剛接觸一個新內(nèi)容時，筆者先采用分點式（西南師大數(shù)學(xué)系陳重穆教授在內(nèi)地版幾何教材中提出的）表達(dá)，在利用綜合式表達(dá)，最終實現(xiàn)幾何語言的規(guī)范性。

例如：圖2，已知AB=CD，AD=CD，[∠1=∠2]，求證：BE=BF。

<F：＼TM＼中小學(xué)＼2015＼3期＼t3q-30.tif>[圖2]

“綜合式”證明：連接BD，在△ABD和△CBD中

[∵]AB=BC，AD=CD（已知），BD=BD（公共邊），

[∴][△ABD]≌[△][CBD]（SSS）

[∴][∠]A=[∠]C（全等三角形的對應(yīng)角相等）

而[∠]1=[∠]2（已知）[∴][△]ABE≌[△]CBF（ASA）

[∴]BE=BF（全等三角形對應(yīng)邊相等）

以上兩個階段已在初一、初二完成。

第三階段——初三階段邏輯證明形成的重要階段

這一階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)完圖形的性質(zhì)，大部分證明題都是綜合題，是幾何證明的難點，在教學(xué)中做到如下幾點：

首先課前準(zhǔn)備：加強(qiáng)師生情感，對學(xué)生進(jìn)行心理疏導(dǎo)，克服學(xué)生對幾何證明的畏難情緒，將學(xué)生分為幾個學(xué)習(xí)小組（4人一組），實行生幫生。并要求準(zhǔn)備筆記本和改錯本，收集一些典型的錯題。

其次是課堂教學(xué)：

1.在初三幾何證明一、二、三中，大部分知識是已經(jīng)學(xué)過的圖形知識，我先將已學(xué)的相關(guān)性質(zhì)和判定做總結(jié)歸納，形成一定的知識結(jié)構(gòu)，再將一些重要的定理進(jìn)行證明，在這期間可結(jié)合證明的內(nèi)容進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，得出結(jié)論，使學(xué)生達(dá)到知其然還知其所以然。

2.培養(yǎng)學(xué)生劃分幾何命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”將文字?jǐn)⑹龅拿}改為符號語言，并畫出圖形。由于學(xué)生在證明幾何問題時總是分不清問題的題設(shè)和結(jié)論，因此會劃分命題的題設(shè)和結(jié)論是解決問題的保證。將文字語言圖形化，符號化的意識應(yīng)貫穿幾何教學(xué)的始終，這樣，有利于為幾何證明的學(xué)習(xí)建立良好的基礎(chǔ)。

3.強(qiáng)化分析過程，逐步加大題目的難度。學(xué)生不能解決幾何問題的主要原因是不會分析，不知道為什么這樣去想，在幾何證明教學(xué)時，多在分析問題上下功夫，力求教會學(xué)生分析方法，提高學(xué)生幾何知識的有效性，如在證明三角形全等的題目中，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到哪些是已知的可以直接用作三角形全等的條件，那些需要變?yōu)槿切蔚倪吔呛蟛拍苁褂?。判定中還缺什么條件應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)行推理，防止學(xué)生把所有的條件都寫到一起，等學(xué)生有了推理能力后再適當(dāng)?shù)丶哟箅y度。

4.是進(jìn)行變式教學(xué)，使學(xué)生在變式中找到問題的本質(zhì)，體會萬變不離其宗的道理。例如：圖3已知在△ABC中，如果[∠C=90°]，[∠A=30°]，

AB的中垂線分別交AB，AC于D、E。

求證：BE=2CE。

變式1：把已知條件[∠A=30°]，

與AB=2CE互換，命題成立嗎？

變式2：在△ABC中，如果

[∠]B=2[∠]A，AB=2BC，求證：△ABC是直角三角形。

5.及時了解學(xué)情，充分收集反饋信息。學(xué)習(xí)幾會導(dǎo)致不少學(xué)生的弱化，他們本來就聽不懂，需要看老師和同學(xué)的過程，時間一長就出現(xiàn)了抄襲。為避免這種現(xiàn)象出現(xiàn)，對中下的學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行面批，對其進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，而對于不能及時批改的作業(yè)，把他們分成7個小組，每組每次抽一人交換批改，再要求他們將每組的信息收集起來，教學(xué)時就針對有問題的學(xué)生提問。

第四階段——復(fù)習(xí)階段

在這一階段，平時講的一般都是歷年中考題或是與中考題類似的題：

分割中考題，抽取基本圖形劃歸題目類型。

不但要注重正向思維的培養(yǎng)，還要注重逆向思維的培養(yǎng)，如在認(rèn)真讀完一道題后，不知道從何入手，可引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，例如，要證明某兩邊相等，那么可以結(jié)合圖形可以看出只要證明兩個三角形全等即可;要證明三角形全等，結(jié)合圖形和所給的條件，看看還需要什么條件，證明這個條件需要做什么輔助線，這樣思考，就會找到證明思路，再把過程寫下來。

注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透。在初三的復(fù)習(xí)中題目繁多，有一部分同學(xué)今天做了明天忘，出現(xiàn)搞題海戰(zhàn)術(shù)的現(xiàn)象。因此，在教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的滲透。第一輪復(fù)習(xí)要注意學(xué)生對概念的理解和形成，概念是數(shù)學(xué)思想方法的萌芽階段，在每一部分復(fù)習(xí)完后及時小結(jié)，形成知識的網(wǎng)絡(luò)，再次提煉其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。在專題復(fù)習(xí)階段，對某一類問題的數(shù)學(xué)思想方法，專門設(shè)計一些練習(xí)，以強(qiáng)化這一思想方法。

注重反思，利用一題多解培養(yǎng)思維的廣闊性。

①在上課時教會學(xué)生如何反思。如在講解下列題目時可以這樣處理：

例：圖4在梯形ABCD中，AB∥CD，[∠A=90?]，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點。求證：CE[⊥]BE

證明：

如圖5，過點C作[CF⊥AB]，垂足為F，因為在梯形ABCD中，AB∥CD，[∠A=90?]，

所以[∠D=∠A=∠CFA]=90[?]，所以四邊形AFCD是矩形，AD=CF.BF=AB-AF=1，在Rt△BCF中，[CF2=BC2-BF2=8].所以AD=CF=[22].

因為E是AD中點，所以DE=AE=[12AD]=[2]

在Rt△ABE和Rt△DEC中，[EB2=AE2+AB2]=6，

[EC2=DE2+CD2=3]，[EB2+EC2=9=BC2]

所以[∠CEB=90?]，所以CE[⊥]BE

以上參考答案的證明過程無可挑剔。但是下面的證明方法似乎更具一般性：

證明：如圖6，取BC的中點F，連結(jié)EF，

因為AB=2，DC=l，BC=3

所以中位線[EF=AB+DC2=2+12=1.5=BC2]

所以△BEC為直角三角形.所以CE[⊥]BE。

證明過程沒有用到[∠A=90?]（直角梯形）這一條件。當(dāng)然，還有以下證法也沒有用到[∠A=90?]這一條件。輔助線如圖7所示。

證明：延長CE，與BA交于F，

因為在梯形ABCD中，AB∥CD

所以[∠]DCE=[∠]AFE

因為E是AD中點，所以DE=AE，在△DCE和△AFE中

[∠]DCE=[∠]AFE，DE=AE，[∠]DEC=[∠]AEF

所以△[DCE?△AFE（ASA）]所以CE=FE，CD=FA

因為AB=2，DC=1，BC=3.所以FB=FA+AB=CD+AB=1+2=3=BC，

所以△BFC是等腰三角形，所以CE=FE， 所以CE[⊥]BE。

②督促學(xué)生在課后進(jìn)行反思。每節(jié)課后留給學(xué)生思考回顧，并要求學(xué)生把當(dāng)天的知識總結(jié)在家庭作業(yè)前。在每次的作業(yè)或試卷發(fā)下來后將錯題收集在錯題集中，并把錯的原因和正確的解答寫在后面。

③每學(xué)完一節(jié)，或一章，要求學(xué)生做出這一章的知識結(jié)構(gòu)圖，并帶領(lǐng)學(xué)生回顧本章中的主要數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。找出學(xué)生存在的問題，適當(dāng)?shù)丶訌?qiáng)相關(guān)的練習(xí)。

利用精心準(zhǔn)備的小試卷，提高學(xué)生的解題速度和解題質(zhì)量。

在中考前復(fù)習(xí)期間，先告知學(xué)生第二天的復(fù)習(xí)內(nèi)容要求學(xué)生先回去復(fù)習(xí)該部分的課本，然后在講課前發(fā)放之前準(zhǔn)備的相關(guān)內(nèi)容的試卷，一般有6至8題，（主觀客觀相結(jié)合），要求學(xué)生在12分鐘內(nèi)完成，然后相互小組交換批改，收集問題。再結(jié)合問題繼續(xù)復(fù)習(xí)相關(guān)知識。這樣，既能加強(qiáng)學(xué)生課后復(fù)習(xí)的監(jiān)控力度，又能提高學(xué)生的解題速度和質(zhì)量。

事實上，不管是在哪個階段，有一些方法都是相通的，只是在某些階段一些方法比較突出，另一些方法起到輔助作用。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]陳應(yīng)明.“分點式”證明是幾何證明的良好途徑[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1993（2）.

[2]張麗珍.復(fù)習(xí)幾何證明題的幾點建議[J].《新課程.上旬》，2011（12）.

[3]郭興淑.反思與回顧在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)周報教研版，2012（22）.

（責(zé)任編輯：張華偉）