基于改進(jìn)不動(dòng)點(diǎn)的多操縱面飛機(jī)重構(gòu)控制分配

池程芝，章衛(wèi)國(guó)，高亞奎，2，劉小雄，張競(jìng)凱

（1.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安 710072；2.中航工業(yè)西安飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所總師辦，陜西西安 710089）

引言

在航空航天領(lǐng)域中，越來(lái)越多的飛行器由于多操縱面以及推力矢量技術(shù)的應(yīng)用，具備了較多的氣動(dòng)控制余度，飛行器操縱面的控制方式和組合方式也不再唯一［1］，這使得控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)難度和復(fù)雜性大大增加，但也給重構(gòu)飛行控制帶來(lái)了冗余性。控制分配通過(guò)合理、有效地分配多種操縱面，使飛機(jī)能夠適應(yīng)不同的飛行條件和完成不同的飛行任務(wù)，實(shí)現(xiàn)不同的飛行控制系統(tǒng)性能目標(biāo)；同時(shí)在飛機(jī)操縱面發(fā)生故障的情況下，仍然能夠通過(guò)對(duì)剩余多操縱面的重新協(xié)調(diào)分配來(lái)實(shí)現(xiàn)控制飛機(jī)運(yùn)動(dòng)，保持飛機(jī)的正常動(dòng)態(tài)性能，提高飛機(jī)對(duì)故障及損傷的魯棒性。該技術(shù)是解決冗余控制量最優(yōu)分配的有效方法，已被廣泛應(yīng)用于先進(jìn)戰(zhàn)斗機(jī)、民用客機(jī)、導(dǎo)彈、航天器等領(lǐng)域［2］。

在控制分配的幾類(lèi)方法［3］中，偽逆法具有計(jì)算量小和易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但沒(méi)有考慮操縱面的飽和（位置和速率）約束限制。近年來(lái)的研究熱點(diǎn)越來(lái)越集中于考慮操縱面飽和約束的情況［4-5］。不動(dòng)點(diǎn)迭代是一種基于二次規(guī)劃的控制分配方法，在多操縱面飛機(jī)的控制分配問(wèn)題中應(yīng)用較多，且已取得了良好的效果［6-7］。但是，考慮到飛控系統(tǒng)對(duì)控制分配尤其是容錯(cuò)重構(gòu)控制分配算法的實(shí)時(shí)性要求，有必要對(duì)不動(dòng)點(diǎn)迭代的快速改進(jìn)方法進(jìn)行研究。本文在不動(dòng)點(diǎn)迭代過(guò)程中探索其沿最大梯度下降方向修正和偽逆法混合的策略，并將改進(jìn)方法應(yīng)用于多操縱面飛機(jī)的重構(gòu)控制分配。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證，表明了該改進(jìn)方法的快速性和有效性。

1 混合最大方向?qū)?shù)不動(dòng)點(diǎn)迭代

本節(jié)首先對(duì)基本不動(dòng)點(diǎn)和最大方向?qū)?shù)（Max Direction Derivative，MDD）不動(dòng)點(diǎn)方法進(jìn)行論述，進(jìn)而闡述混合MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代方法及其收斂性。

1.1 基本不動(dòng)點(diǎn)迭代方法

基于二次規(guī)劃的控制分配問(wèn)題可描述為［3，6-7］:

設(shè)對(duì)任意的u=［u1，…，um］T∈Rm，滿(mǎn)足

式中，i=1，2，…，m；s（·）代表操縱面約束限制。則式（1）的二次規(guī)劃問(wèn)題的解滿(mǎn)足以下不動(dòng)點(diǎn)等式:

這樣，可得到不動(dòng)點(diǎn)迭代格式為:

1.2 MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代方法

MDD不動(dòng)點(diǎn)法的基本思想是對(duì)一組迭代點(diǎn)沿其中的最大梯度下降方向進(jìn)行修正，以加快迭代的收斂速度。

定義 2:對(duì)于u0∈Rn，d∈Rn，函數(shù)f在點(diǎn)u0關(guān)于方向d的方向?qū)?shù)定義為:

用Df（u0；d）表示f在點(diǎn)u0關(guān)于方向d的方向?qū)?shù)。當(dāng)f的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微時(shí)，方向?qū)?shù)可用下式計(jì)算:

由上面的定義可得，用于不動(dòng)點(diǎn)迭代的f（u）在u點(diǎn)的梯度定義為:

式中，等式左側(cè)左上角的f表示不動(dòng)點(diǎn)迭代；Δt為迭代步數(shù)的間隔，一般取為1。因此，f在迭代點(diǎn)u0關(guān)于方向d的方向?qū)?shù)可用下式計(jì)算:

因此，MDD即為

所對(duì)應(yīng)的單位方向ei。

定義3:對(duì)于uk，uk+1∈Rn和單位向量ei，函數(shù)f在點(diǎn)uk+1關(guān)于方向ei的增量定義為:

在MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代算法中，將當(dāng)前迭代點(diǎn)及其前一個(gè)迭代點(diǎn)在MDD上的迭代增量作最小二乘擬合，得到下一迭代點(diǎn)在該MDD上的估計(jì)迭代增量作為當(dāng)前迭代點(diǎn)的更新迭代增量。那么，對(duì)于MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代（k≥1，k∈N），其算法步驟如下:

（1）取f（uk），f（uk+1）；

（3）計(jì)算 Δf（uk+1；em），Δf（uk；em）（k≥2，k∈N）并進(jìn)行最小二乘擬合，得到當(dāng)前迭代點(diǎn)uk+1估計(jì)的下一迭代點(diǎn)在em方向上的迭代增量Δ*f（uk+1；em）；

（4）更新f（uk+1）=f（uk+1）+Δ*f（uk+1；em）em；

（5）以u(píng)k+2=f（uk+1）作為新的迭代點(diǎn)，計(jì)算f（uk+2），f（uk+3）；

（6）若滿(mǎn)足k＜K（K∈N）且‖▽ff（uk+1）‖ ＞ξ（ξ＞0），重復(fù)步驟（1）～ （5）；否則，轉(zhuǎn)為基本不動(dòng)點(diǎn)迭代算法。

需要注意，對(duì)于存在約束條件的控制分配問(wèn)題，步驟（4）更新的f（uk+1）還應(yīng)滿(mǎn)足其約束條件。

1.3 混合MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代方法

由于偽逆法具有計(jì)算量小和易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。但是，其并沒(méi)有直接考慮到操縱面的飽和（位置和速率）約束限制，不能避免操縱面進(jìn)入飽和。因此，考慮將偽逆法和MDD不動(dòng)點(diǎn)法結(jié)合，在求解控制分配問(wèn)題時(shí)，先用偽逆法求解，若結(jié)果在約束限制內(nèi)，則采用偽逆法結(jié)果；若結(jié)果超出約束限制，則用MDD不動(dòng)點(diǎn)法求解，這種混合MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代方法兼顧了兩種方法的優(yōu)點(diǎn)。

1.4 混合MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代方法的收斂性

在討論混合MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂性之前，先討論基本不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂性［7］。將控制分配問(wèn)題變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃問(wèn)題，如下:

當(dāng)代價(jià)函數(shù)為凸函數(shù)時(shí)，任意優(yōu)化算法都應(yīng)滿(mǎn)足庫(kù)恩-塔克（Kuhn－Tucker）［8］條件，基于二次規(guī)劃的優(yōu)化算法也不例外。對(duì)于凸規(guī)劃，庫(kù)恩-塔克條件既是必要條件，也是充分條件。點(diǎn)u*是正定二次規(guī)劃問(wèn)題的全局最優(yōu)解的充要條件為u*為 Kuhn－Tucker點(diǎn)［8］。由文獻(xiàn)［9］可知，不動(dòng)點(diǎn)等式（4）的解也是二次規(guī)劃問(wèn)題（14）的唯一解，從而可以得出不動(dòng)點(diǎn)迭代法可以精確求解二次規(guī)劃問(wèn)題［10］。這也就說(shuō)明了基本不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂性。

由此，設(shè)u*是該二次規(guī)劃控制分配問(wèn)題的全局最優(yōu)解。設(shè)基本不動(dòng)點(diǎn)的迭代序列為{un}，則該數(shù)列收斂于u*。由上文給出的MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代設(shè)計(jì)步驟可知，該算法僅改變了不動(dòng)點(diǎn)迭代序列{un}的有限項(xiàng)，因此不影響該序列的收斂性。進(jìn)一步，由數(shù)列極限的唯一性可知，MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代序列也收斂于u*。由此，易知混合MDD不動(dòng)點(diǎn)迭代序列也是收斂的。

2 仿真實(shí)例及分析

2.1 混合MDD不動(dòng)點(diǎn)法的正?？刂品峙?/h3>

采用ADMIRE模型進(jìn)行仿真，仿真中所用主要數(shù)據(jù)如下:

操縱面定義如下:

其飽和約束限制如表1所示。

表1 操縱面的位置限制與速率限制

仿真中，在0.5 s輸入兩組虛擬階躍信號(hào)V1和V2。對(duì)兩組輸入信號(hào)進(jìn)行基于偽逆法（PINV）、內(nèi)點(diǎn)法（Interior Point，IP）、不動(dòng)點(diǎn)（FXP）方法和混合MDDFXP方法的控制分配對(duì)比，每種方法各進(jìn)行100次仿真，其各自平均運(yùn)行時(shí)間如表2所示。

表2 不同方法的平均運(yùn)行時(shí)間對(duì)比 （s）

從表2中可知，在兩組仿真中，混合MDDFXP均是除PINV方法外運(yùn)行時(shí)間最少的方法，并且PINV方法的運(yùn)行時(shí)間相比混合MDDFXP方法并沒(méi)有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)。此外，在兩組仿真中，混合MDDFXP方法比FXP方法分別提高了12.46%和5.35%。限于篇幅，僅給出了V2輸入下的對(duì)比圖（見(jiàn)圖1），并且由于混合MDDFXP方法與FXP方法在分配輸出上是一樣的，所以?xún)H給出了混合MDDFXP方法與其他方法的對(duì)比輸出。

圖1 V2輸入下不同控制分配方法的對(duì)比

由圖1可知，對(duì)于第2組虛擬輸入，混合MDDFXP方法的控制分配效果完全達(dá)到了期望的輸入；并且在PINV方法的控制分配輸出中，v1，v2和v3均存在著明顯的穩(wěn)態(tài)誤差；尤其是PINV方法沒(méi)有考慮操縱面的飽和約束限制的致命缺點(diǎn)，更將限制其應(yīng)用；此外，IP方法對(duì)于v1，v3的分配結(jié)果也存在些較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

以上分析說(shuō)明了混合MDDFXP方法在控制分配中的可行性，相比基本FXP方法具有快速性。

2.2 基于混合MDD不動(dòng)點(diǎn)法的故障重構(gòu)控制

上文中已驗(yàn)證了混合MDD不動(dòng)點(diǎn)方法在正?？刂品峙鋯?wèn)題中的有效性和快速性。下面，進(jìn)一步研究該方法在多操縱面飛機(jī)故障情況下的重構(gòu)控制分配效果。沿用文獻(xiàn)［11］中故障時(shí)的分配器設(shè)計(jì)，對(duì)右外升降副翼?yè)p傷50%的故障進(jìn)行重構(gòu)控制分配，在2 s設(shè)置相應(yīng)故障，并在2.5 s進(jìn)行重構(gòu)，其仿真曲線(xiàn)如圖2所示。

圖2 右外升降副翼?yè)p傷50%重構(gòu)前后仿真圖

由圖2可以看出，重構(gòu)后的其他正常操縱面很好地補(bǔ)償了損傷的故障操縱面對(duì)輸出信號(hào)的影響，獲得了良好的控制分配效果，而且在1 s之內(nèi)重構(gòu)輸出即可跟蹤上正常輸出，這說(shuō)明了該方法在重構(gòu)控制分配中的有效性和快速性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一種基于改進(jìn)不動(dòng)點(diǎn)迭代的容錯(cuò)控制分配方法，結(jié)合了偽逆法和MDD不動(dòng)點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)，并應(yīng)用于多操縱面飛機(jī)的重構(gòu)控制分配。在正常和故障重構(gòu)控制分配中，算法不僅考慮了操縱面的飽和約束限制，并且在運(yùn)行時(shí)間上比基本的不動(dòng)點(diǎn)算法更快速，適合應(yīng)用于多操縱面飛機(jī)的故障重構(gòu)控制分配。MDDFXP方法步驟（6）中的跳出條件對(duì)迭代速度的影響情況是進(jìn)一步的研究方向。

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