一種新的LMS自適應(yīng)濾波算法分析仿真研究

賀洪江，王春霞

（河北工程大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，河北邯鄲 056038）

0 引言

最小均方（LMS）算法是由Widrow和Hoff兩人在1960年提出的，由于其計(jì)算復(fù)雜度低、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)［1］，廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)控制、系統(tǒng)辨識(shí)、信號(hào)處理和噪聲抵消等領(lǐng)域，同時(shí)自適應(yīng)濾波器在通信、雷達(dá)、工業(yè)控制、地震預(yù)報(bào)及生物醫(yī)學(xué)電子學(xué)等領(lǐng)域也已經(jīng)有了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。初始收斂速度、對(duì)時(shí)變系統(tǒng)跟蹤能力、穩(wěn)態(tài)誤差以及抗噪聲干擾能力是衡量LMS算法優(yōu)劣的重要性能指標(biāo)［2，3］。傳統(tǒng)LMS算法中固定步長(zhǎng)的取值不同會(huì)影響算法的性能。減小步長(zhǎng)取值可以降低穩(wěn)態(tài)誤差，但會(huì)降低算法的收斂速度和對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤能力;增大步長(zhǎng)取值可以提高收斂速度，但會(huì)增大穩(wěn)態(tài)誤差。傳統(tǒng)的固定步長(zhǎng)的LMS算法的大收斂速度和小穩(wěn)態(tài)誤差不能同時(shí)滿(mǎn)足，這就要求在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差2個(gè)性能指標(biāo)之間權(quán)衡。為此，人們提出了多種變步長(zhǎng) LMS 自適應(yīng)濾波算法［3～10］。

文獻(xiàn)［4］中提出的SVSLMS算法的收斂速度較快，但在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段的步長(zhǎng)變化較大，穩(wěn)態(tài)誤差也較大。文獻(xiàn)［5］中提出的G-SVSLMS算法是在SVSLMS的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，穩(wěn)態(tài)步長(zhǎng)變化比較緩慢，收斂速度也較快。文獻(xiàn)［6］提出一種新的變步長(zhǎng)函數(shù)，具有在初始階段和未知系統(tǒng)時(shí)變時(shí)步長(zhǎng)自動(dòng)增大而在穩(wěn)態(tài)時(shí)步長(zhǎng)很小的特點(diǎn)，但收斂速度需要進(jìn)一步提高。SVSLMS和G-SVSLMS算法的步長(zhǎng)受誤差調(diào)節(jié)，抗噪聲能力比較低。

本文算法采用輸入信號(hào)與誤差信號(hào)不相關(guān)的特點(diǎn)，用誤差信號(hào)的自相關(guān)時(shí)間均值來(lái)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，并用絕對(duì)估計(jì)誤差的擾動(dòng)量以更新自適應(yīng)濾波器的抽頭向量，算法性能較上述算法有較大的優(yōu)越性。

1 自適應(yīng)濾波算法原理

LMS算法的基本原理是基于最速下降法，即沿著權(quán)值的梯度估值的負(fù)方向搜索，達(dá)到權(quán)值最優(yōu)，實(shí)現(xiàn)濾波器的輸出信號(hào)與期望輸出信號(hào)之間的LMS誤差。自適應(yīng)濾波的原理框圖［7］如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)濾波器原理框圖Fig 1 Principle diagram of adaptive filter

圖1中，x（n）為n時(shí)刻的輸入信號(hào)矢量;y（n）為輸出信號(hào);v（n）為噪聲信號(hào);d（n）為期望輸出信號(hào);e（n）為d（n）和y（n）之間的誤差信號(hào)估計(jì);通過(guò)誤差信號(hào)e（n）調(diào)節(jié)自適應(yīng)濾波器抽頭權(quán)向量，使自適應(yīng)濾波器收斂至穩(wěn)定狀態(tài)。基于最速下降法的LMS算法公式［8］如下

式中w（n）為n時(shí)刻N(yùn)階自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù);μ為控制穩(wěn)定性和收斂性能的參量即步長(zhǎng)因子。LMS算法收斂時(shí)，步長(zhǎng)因子μ的取值范圍為:0＜μ＜1/λmax，λmax為輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的最大特征值。

2 新的變步長(zhǎng)LMS算法與性能分析

變步長(zhǎng)LMS算法的基本思想［9，10］是:在初始收斂階段或者系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生時(shí)變的時(shí)候，最優(yōu)權(quán)值與自適應(yīng)濾波器的權(quán)值相距較遠(yuǎn)，為了保證能有較快的收斂速度和對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤速度，選取較大的步長(zhǎng)μ;在算法接近收斂時(shí)，濾波器的權(quán)值接近最優(yōu)權(quán)值，為了減少算法的穩(wěn)態(tài)誤差，選取較小的步長(zhǎng)μ?；谶@種思想，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)在步長(zhǎng)參數(shù)μ（n）與誤差信號(hào)e（n）之間建立一種新的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系來(lái)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，提出一種新的變步長(zhǎng)LMS算法，本文算法步長(zhǎng)因子函數(shù)和權(quán)系數(shù)更新公式如下

式中α為控制函數(shù)形狀的常數(shù)，決定曲線(xiàn)上升的快慢;β為控制函數(shù)取值范圍的常數(shù)。α，β分別變化時(shí)步長(zhǎng)因子μ（n）和誤差e（n）的關(guān)系曲線(xiàn)如圖2和圖3所示。

圖2 α=1，β變化時(shí)μ（n）與e（n）的關(guān)系曲線(xiàn)Fig 2 Relation curves with μ（n）and e（n）when α =1 and different β

圖3 β=1，α變化時(shí)μ（n）與e（n）的關(guān)系曲線(xiàn)Fig 3 Relation curves with μ（n）and e（n）when β =1 and different α

由圖2可知，當(dāng)α固定時(shí)，β取值越大，步長(zhǎng)初始值也越大，收斂速度也越快，同時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差也越大;β取值越小，步長(zhǎng)初始值也越小，收斂速度也越慢，穩(wěn)態(tài)誤差也越小。由圖3可知，當(dāng)β固定時(shí)，α取值變化時(shí)也具有同樣的特點(diǎn)，同時(shí)，在|e（n）|＞1.3時(shí)步長(zhǎng)變化不明顯，但α越大時(shí)步長(zhǎng)也越大，收斂速度也越快。e（n）趨近于0時(shí)，步長(zhǎng)變化也較緩慢。由以上分析可知，新算法穩(wěn)態(tài)時(shí)步長(zhǎng)變化平滑，克服了SVSLMS算法e（n）接近0時(shí)步長(zhǎng)變化太大的缺點(diǎn)。算法性能由α和β共同決定，當(dāng)要求較快的收斂速度時(shí)，2個(gè)參數(shù)的取值都應(yīng)該較大，當(dāng)要求較小的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，2個(gè)參數(shù)的取值都應(yīng)該較小，在實(shí)際應(yīng)用中根據(jù)環(huán)境的不同來(lái)確定最佳取值。

式（4）中的kγ（n）（|e（n）|－|e（n－1）|）為本文算法絕對(duì)估計(jì)誤差的擾動(dòng)量。傳統(tǒng)算法采用隨機(jī)梯度調(diào)整抽頭權(quán)向量，每次迭代時(shí)的估計(jì)誤差e（n）的正負(fù)并不確定，抽頭權(quán)向量的調(diào)整只能?chē)@w0震蕩。本文用絕對(duì)估計(jì)誤差能更好地表示估計(jì)信號(hào)偏離期望信號(hào)的程度，擾動(dòng)量可以對(duì)w（n）進(jìn)行正反向調(diào)節(jié)來(lái)加快算法的初始收斂速度。通過(guò)γ（n）擾動(dòng)量幅度因子，把擾動(dòng)量對(duì)w（n）的調(diào)節(jié)控制在一個(gè)最佳水平。γ（n）以式（5）的指數(shù)形式衰減，其中，p＜1。在迭代次數(shù)比較少時(shí)，擾動(dòng)量對(duì)w（n）的影響較大，隨著迭代次數(shù)的增加，γ（n）趨近于0，e（n）的波動(dòng)幾乎不會(huì)對(duì)w（n）造成影響，從而使穩(wěn)態(tài)誤差抑制在較低的水平。為了加強(qiáng)算法的抗噪性能，本文算法中用式（3）的誤差向量自相關(guān)值e（n）e（n－1）來(lái)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)。設(shè)自適應(yīng)濾波器抽頭權(quán)向量的維納解為w0，令Δw=w（n）－w0為n時(shí)刻權(quán)系數(shù)矢量與最佳值之差，期望信號(hào)的介入噪聲為ξ（n），與x（n）不相關(guān)，則有

由式（6）、式（7）得

設(shè)噪聲功率為σ2，由系統(tǒng)特性可知

由式（12）和式（13）可知，誤差自相關(guān)函數(shù)只與輸入信號(hào)有關(guān)，而與噪聲無(wú)關(guān)。SVSLMS算法用誤差調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，GSVSLMS算法用誤差功率調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，導(dǎo)致在低信噪比條件下性能惡化。本文算法的噪聲抑制能力優(yōu)于上述算法。

3 算法仿真結(jié)果分析比較

3.1 仿真條件

1）自適應(yīng)濾波器階數(shù)L=2;

2）未知系統(tǒng)的 FIR 系數(shù)為w1=［0.8，0.5］T;

3）參考輸入信號(hào)x（n）是均值為0，方差為1的高斯白噪聲;

4）v（n）為與x（n）不相關(guān)的高斯白噪聲，其均值為0，方差為1;

5）在本文實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)三種算法進(jìn)行了大量的仿真，測(cè)定了三種算法性能最優(yōu)時(shí)的參數(shù)取值范圍，參數(shù)取值如下:SVSLMS算法中α=150，β=0.07;G-SVSLMS算法中α=450，β=0.06;本文算法中α=1500，β=0.05，γ（0）=0.4，p=0.4;

6）采樣點(diǎn)數(shù)為1000，分別做500次獨(dú)立仿真，然后通過(guò)求其統(tǒng)計(jì)平均，得出學(xué)習(xí)曲線(xiàn)。

3.2 仿真結(jié)果分析比較

本文算法和SVSLMS算法及G-SVSLMS算法收斂曲線(xiàn)的比較如圖4所示。

圖4 三種不同算法收斂曲線(xiàn)Fig 4 Convergence curve of three different algorithm

圖4中的三條收斂曲線(xiàn)從上到下依次為SVSLMS算法、G-SVSLMS算法和本文算法的收斂曲線(xiàn)。由圖3可知，本文算法的收斂速度快于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法，穩(wěn)態(tài)誤差小于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法的穩(wěn)態(tài)均方誤差較接近，本文算法有效抑制了隨機(jī)噪聲對(duì)信號(hào)的干擾，在綜合性能上優(yōu)于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法，驗(yàn)證了前文對(duì)算法性能的分析。

4 系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變時(shí)算法分析

系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變時(shí)的總采樣點(diǎn)數(shù)為1000，系統(tǒng)在第500個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻未知系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變，未知系統(tǒng)的FIR系數(shù)由原來(lái)的w1=［0.8，0.5］T變?yōu)閣2=［0.7，0.5，0.2］T，做500次獨(dú)立仿真，求其統(tǒng)計(jì)平均，得出系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變時(shí)本文算法收斂曲線(xiàn)如圖5所示。

圖5 本文算法發(fā)生時(shí)變時(shí)收斂曲線(xiàn)Fig 5 Convergence curve when this algorithm have time-varying

由圖可以看出:本文算法在系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變時(shí)同樣具有很快的收斂速度，因此，本文算法在綜合性能上優(yōu)于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法的同時(shí)仍具有較好地對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤能力。

5 結(jié)論

本文通過(guò)在步長(zhǎng)因子與誤差信號(hào)之間建立一種新的非線(xiàn)性函數(shù)數(shù)，同時(shí)引入絕對(duì)估計(jì)的擾動(dòng)量，提出了一種新的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法，較好地解決了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。理論分析與仿真驗(yàn)證顯示，本文算法不僅初始收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和抗噪性能均優(yōu)于傳統(tǒng)的幾種算法，而且具有較好的對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤能力。

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