基于遙感圖像壓縮的最佳小波分解層數(shù)研究

李卓凡

(韓山師范學院，潮州521041)

1 引言

隨著航天科學技術(shù)的高速發(fā)展，遙感器的分辨率不斷提高，遙感圖像的數(shù)據(jù)量必然不斷增加，這給有限的傳輸信道帶寬帶來沉重的傳輸壓力。如何對遙感圖像數(shù)據(jù)進行高保真、高壓縮地傳輸，成為了當今一個重要的課題。

遙感圖像的空間冗余較小，容量大，細節(jié)豐富。小波變換具有優(yōu)異的時頻局域性、多分辨性，以及良好的去相關(guān)能力，因此采用了基于小波變換的圖像壓縮技術(shù)。在基于小波變換的圖像壓縮算法中，嵌入式零樹小波編碼(EZW)是一種高效且簡單的小波圖像編碼方法。在EZW算法的基礎(chǔ)上，Said和Pearlman提出了分層樹集合分裂算法(SPIHT)。它繼承了小波系數(shù)的零樹結(jié)構(gòu)，針對消除樹間冗余進行了改進，是一種更為高效的小波圖像編碼算法。在基于小波的圖像壓縮SPIHT算法的研究中，大多是針對于算法本身的改進研究，但忽略了小波分解層數(shù)對壓縮效果的影響。小波分解的層數(shù)并不是越多越好，要根據(jù)圖像的特征，及所選取的小波基來確定。

2 小波基的選取

小波變換，實質(zhì)上是將圖像信號投影到由小波基函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間中，得到小波分解系數(shù)，從理論上講，由小波分解系數(shù)通過小波逆變換可準確重構(gòu)信號。但實際上，并不是所有的小波基都適合圖像分解，小波基必須依據(jù)以下的條件來選取:①正交性;②對稱性及線性相位;③正則性;④消失矩階數(shù);⑤緊支撐性。

通常，在選擇小波基時，首先考慮其對稱性和正交性，一般會放棄一部分正交性而選擇具有線性相位的雙正交小波基，以減少感官誤差;然后考慮其正則性和消失矩。正則性相同的情況下，消失矩階數(shù)越高越好，在消失矩相同的情況下正則性階數(shù)越高越好;最后，考慮其緊支性［2］。在文獻［1-2］中，對常用于小波圖像壓縮的幾個小波基進行詳細的分析和對比，從文獻的實驗結(jié)果得出D9/7和D5/3最適合作為遙感圖像壓縮的小波基。

D9/7小波具有良好的能量集中性，消失矩較大，適用于有損壓縮，算法如下:

其中 α≈-1.586134342，β≈-0.05298011854，γ≈0.8829110762，δ≈0.4435068522，k≈1.149604398。

D5/3小波的支撐寬度小，緊支撐性好，適用于有損及無損壓縮。其小波變換僅靠整數(shù)加法和移位完成，運算速度快，內(nèi)存需求低。算法如下:

表1為這兩個小波基各種參數(shù)的列表。本文采用D9/7小波及D5/3小波進行圖像分解及重構(gòu)。

表1 D9/7、D5/3小波基性質(zhì)參數(shù)

3 小波變換分解層數(shù)的選擇

小波變換的級數(shù)越多，圖像的頻帶就劃分得越細，就越有利于圖像的編碼。但是由于上一級(較高層)頻帶分解的信號輸出又作為下一級(較低層)頻帶分解的輸入，級數(shù)增加意味著級聯(lián)的濾波器越多，造成的信號移位也越大。另一方面，由于每次小波系數(shù)分解/重構(gòu)都要進行邊界延拓，級數(shù)越多引起的邊界失真也越大。而且級數(shù)越多，硬件實現(xiàn)的復雜度和存儲量都要增加。所以實際應用中，確定小波分解/重構(gòu)的級數(shù)要兼顧不同方面的影響。

一幅圖像經(jīng)過小波變換以后，可分解為一個低頻子帶和水平、垂直、對角三個方向的高頻子帶，而低頻子帶又可以進一步地分解為四個子帶。若分解層數(shù)為k，則總的子帶數(shù)為3k+1。那么，圖像分解成多少層才是合適的呢?這取決于三方面的因素:即圖像的復雜程度;濾波器的長度;子圖信息量。

理論上，若一副大小為M*N(假設M＞N)的圖像，濾波器長度為n，則小波分解的最大層數(shù)k必須滿足關(guān)系式:

但是圖像分解并不是越多層壓縮效果越好，分解層數(shù)合理選擇還關(guān)系到影響運算量和復雜度。從信息論的觀點來看，熵的大小反映了信源的信息量，信源的熵值越大，壓縮的可能性也越大。信號S的熵定義為:

小波變換的一個重要目的就是減少熵，每一級離散小波變換將圖像數(shù)據(jù)分成LL、LH、HL、HH四個子帶。設第j層的低頻子帶為LLj，分解后的四個子帶分別為:LLj+1、LHj+1、HLj+1、HHj+1，其熵值分別為:HLLj+1、HLHj+1、HHLj+1、HHHj+1，由于熵與編碼所需的平均比特數(shù)直接對應，當一個子圖分成四個子圖，要求四個子圖熵值的和應該變小，這樣才能繼續(xù)分解，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的壓縮。分解后四個子帶編碼所需的平均比特應小于分解前低頻子帶的平均比特數(shù)，即:

4 實驗結(jié)果

為了更全面地分析不同分解層數(shù)對圖像壓縮的影響，本文選擇了7種不同的圖像大小為256×256像素的遙感圖像進行實驗:map1(城市建筑)、map2(城市建筑)、map3(水域和建筑)、map4(山峰和森林)、map5(水域和農(nóng)田)、map6(水域和山)、map7(建筑和農(nóng)田)。表2為7幅圖像的熵:

表2 7幅不同圖像的熵

用D9/7、D5/3小波對各幅圖像進行小波分解，然后根據(jù)式(2)計算各層分解圖像的熵，最后根據(jù)(3)式計算每層分解后四個子帶編碼的熵值和分解前低頻子帶編碼的熵值，并進行比較。計算出每次分解熵值的減小，并畫出曲線，如圖1、圖2所示。圖1為用D9/7小波分解得到的曲線圖，圖2為用D5/3小波分解得到的曲線圖。圖1中除了map6、map7外，從第5層開始，熵值減小趨于平緩，曲線變得平穩(wěn);圖2則從第6層開始，熵值減小趨于平緩，曲線變得平穩(wěn)。

接著，用D9/7和D5/3小波對7幅圖像進行圖像分解，用SPIHT算法對圖像進行壓縮、解壓并重構(gòu)，計算不同分解層數(shù)重構(gòu)圖像的峰值信噪比(PSNR)，實驗結(jié)果如圖3、圖4所示。從數(shù)據(jù)圖表可以看出，用D9/7小波分解，隨著分解層數(shù)的增加，重構(gòu)圖像的PSNR明顯增大，但從第5層分解開始，重構(gòu)圖像的PSNR變化并不明顯;用D5/3小波分解，同樣各幅圖像在前面幾個層次分解重構(gòu)后，PSNR增大，從第4層到第6層、第8層分解后重構(gòu)的PSNR是趨于平穩(wěn)的，只有在第7層時有點波動。

數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，對于遙感圖像小波分解層數(shù)為5-6層為最佳分解層數(shù)，作更多的分解并不能明顯改善圖像效果。從圖3、圖4中可以看出，D9/7更適用于遙感圖像的小波變換，其信噪比更優(yōu)于D5/3。圖5-圖7為map6分別用兩種小波作5層分解，用SPIHT算法壓縮圖像，解壓重構(gòu)后的圖像效果。從視覺效果看，作5層小波分解重構(gòu)后的圖像與原圖區(qū)別不大，而圖6要比圖7光滑，噪聲較小。

5 結(jié)束語

不同類型的圖像經(jīng)過小波變換后，其系數(shù)的分布特性是不同的，于是從理論上分析了不同圖像對小波基的選擇條件，綜合各方面的性能，選擇綜合性能最好的雙正交小波基的D9/7和D5/3小波對遙感圖像進行小波變換。并從信息熵的角度分析了熵對小波分解層數(shù)的影響，小波分解后只有圖像的熵減小了，分解才有意義，才能達到壓縮的效果。最后通過實驗結(jié)果，得出了遙感圖像壓縮的小波分解層數(shù)為5-6層壓縮效果最好。

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