中考中有關(guān)動(dòng)態(tài)圓問題解析

☉江蘇省南京市江寧區(qū)銅井初級(jí)中學(xué) 朱寶慶

圓一直是中考考核的重點(diǎn)內(nèi)容，近年來有關(guān)圓的動(dòng)態(tài)變化已成為中考熱門考點(diǎn)內(nèi)容之一.在解題過程中只要抓住圖形的變化規(guī)律與變化特點(diǎn)，靈活運(yùn)用多種知識(shí)不難解決問題.下面分幾種情況舉例分析.

一、有關(guān)圓的滾動(dòng)過程中特殊點(diǎn)的路線長

在中考中圓的滾動(dòng)變化時(shí)，常會(huì)求某些特殊點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的路線長，其求解方法是能夠描繪出該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程的軌跡圖形.

例1（2011年甘肅蘭州市）已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖1所示，直徑平行于地面放置，搬動(dòng)時(shí)為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖1所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50m，半圓的直徑為4m，則圓心O所經(jīng)過的路線長是_______.（結(jié)果用π表示）

圖1

分析：圓的運(yùn)動(dòng)包括三個(gè)部分，第一部分圓心平行移動(dòng)；第二部分圓心圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；第三部分圓心沿地面再次進(jìn)行平行移動(dòng)，所以圓心O經(jīng)過的路線長為三部分之和.

點(diǎn)評：此類問題關(guān)鍵要分析、掌握所求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化軌跡，并運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.在本題中圓心兩次圍繞點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)它們各自特點(diǎn)進(jìn)行求解.

二、有關(guān)圓的運(yùn)動(dòng)過程中圖形的位置關(guān)系

有關(guān)圓的位置關(guān)系是中考考點(diǎn)中的重點(diǎn)內(nèi)容，此類問題中要注意分類討論思想的運(yùn)用，考慮多種可能性的存在.

例2（2010年江蘇泰州市）如圖2在8×6的網(wǎng)格圖（每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度）中，⊙A的半徑為2個(gè)單位長度，⊙B的半徑為1個(gè)單位長度，要使運(yùn)動(dòng)的⊙B與靜止的⊙A內(nèi)切，應(yīng)將⊙B由圖示位置向左平移_____個(gè)單位長度.

圖2

分析：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，在⊙B的運(yùn)動(dòng)過程中，有兩次機(jī)會(huì)與⊙A相內(nèi)切.當(dāng)⊙B由圖示位置向左平移4個(gè)單位時(shí)，第一次內(nèi)切；6個(gè)單位時(shí)，第二次內(nèi)切，所以本題答案為4或6.

點(diǎn)評：在圓與圓的位置關(guān)系中，相切是比較重要的概念，是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，它包括外切與內(nèi)切.本題由于大圓半徑為小圓半徑的2倍，所以在運(yùn)動(dòng)過程中相內(nèi)切時(shí)有兩種可能，需要分類討論.

分析：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，在圓的運(yùn)動(dòng)過程中，圓的位置及大小都在變化，滿足一定的變化規(guī)律.當(dāng)圓與直線相切時(shí)，可以借助相似三角形的知識(shí)來求解線段的長度，最后根據(jù)線段長度和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度得到圓運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.另外，在圓的運(yùn)動(dòng)過程中，圓有兩次機(jī)會(huì)與直線相切，所以本題需要分類討論進(jìn)行求解.

但與工程管理專業(yè)的其他課程相比，該課程具有較強(qiáng)的專業(yè)知識(shí)綜合性和復(fù)雜性，知識(shí)體系具有顯著的系統(tǒng)性和抽象性。特別是對于一些砌體結(jié)構(gòu)和鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的構(gòu)造設(shè)計(jì)，這些需要靠實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)積累的，就需要學(xué)生具有一定的工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)，因此，這就給學(xué)生在工程結(jié)構(gòu)課程中的學(xué)習(xí)帶來了一定的難度。

圖4

圖5

點(diǎn)評：本題結(jié)合圓的運(yùn)動(dòng)、直線與圓的位置關(guān)系與相似知識(shí)求解.本題圓的運(yùn)動(dòng)變化不僅是圓的位置發(fā)生變化，圓的半徑也同時(shí)變化，圖形的變化比較靈活.

三、有關(guān)圓滾動(dòng)的路程

求圓滾動(dòng)的路程也是中考常會(huì)出現(xiàn)的題型，解決此類問題要綜合分析圓在數(shù)學(xué)情境中的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，結(jié)合幾何圖形性質(zhì)綜合求解.

例4（2010年山東威海市）如圖6，在?ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm.已知⊙O的半徑等于3cm，AB，AD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn).⊙O在?ABCD內(nèi)沿AB方向滾動(dòng)，與BC邊相切時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.試求⊙O滾過的路程.

分析：求圓滾動(dòng)過的路程，只要求出兩圓心間的距離即可.由于圓與平行四邊形兩邊相切，所以過圓心作平行四邊形的一邊的垂線即可得出⊙O滾過的路程的線段.

因?yàn)锳B，AD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，

所以O(shè)E⊥AB，OE=3.

由∠DAB=60°可得∠OAE=30°.

圖7

因?yàn)锳D∥BC，∠DAB=60°，所以 ∠ABC=120°.

設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，⊙O與BC，AB分別相切于點(diǎn)M，N，連接ON，OB.

點(diǎn)評：把求圓的滾動(dòng)路程問題轉(zhuǎn)化為求線段的長度，綜合運(yùn)用平行四邊形、直線與圓相切、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)求解，體現(xiàn)中考命題的綜合性特點(diǎn).

綜上所述，解決與圓有關(guān)的滾動(dòng)變化問題的關(guān)鍵要明確圓運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn)，巧妙結(jié)合圖形性質(zhì)特點(diǎn)綜合進(jìn)行求解.