一種基于3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的六維控制器運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

肖 霄，宮金良，張彥斐

（山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東淄博255091）

在用戶與計(jì)算機(jī)的交互過程中，鼠標(biāo)是典型的二維控制器，通過它可以實(shí)現(xiàn)對(duì)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的各種操作，但是對(duì)于三維空間來說，它們并不太合適，因?yàn)槿S空間中物體具有6個(gè)自由度，目前很難找出比較直觀的辦法把鼠標(biāo)的平面運(yùn)動(dòng)映射成三維空間運(yùn)動(dòng)［1－3]．然而隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，對(duì)能夠?qū)崿F(xiàn)多自由度移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)控制的多維控制器需求越來越廣泛，如虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)、遙操作技術(shù)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)三維動(dòng)畫設(shè)計(jì)以及數(shù)據(jù)可視化等，這些領(lǐng)域都需要一個(gè)多維控制設(shè)備來有效實(shí)現(xiàn)三維空間中物體的多自由度控制［4－5]．基于文獻(xiàn)［6] 提出的六維控制器設(shè)計(jì)方案，本文著重對(duì)其機(jī)械本體3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，從而為該六維控制器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)以及控制電路設(shè)計(jì)提供必要的理論依據(jù)．圖1所示為3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型，它由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)以及3個(gè)相同的UPS支鏈構(gòu)成，其中虎克鉸U由繞垂直于靜平臺(tái)平面的軸線和平行于靜平臺(tái)平面的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成，且兩軸線交于一點(diǎn)．圖2給出了3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖．

3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析包括兩個(gè)方面：一方面是在已知機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)變量的情況下求解動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)，稱為3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解；另一方面是在已知機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)以及動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系位置和姿態(tài)的情況下求解達(dá)到該位置和姿態(tài)時(shí)所需的關(guān)節(jié)變量，稱為3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解［7]．動(dòng)平臺(tái)的位置求解較為簡單，而姿態(tài)求解較為復(fù)雜．通常用旋轉(zhuǎn)矩陣、RPY角和歐拉角等來描述機(jī)器人末端姿態(tài)，由于采用旋轉(zhuǎn)矩陣描述動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)時(shí)需要9個(gè)參數(shù)，而采用RPY角和歐拉角描述只需要3個(gè)參數(shù)，同時(shí)歐拉角的所有轉(zhuǎn)動(dòng)都是相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系描述的［8]，這在計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)六維控制器虛擬控制時(shí)極為方便，因此本文將采用歐拉角來描述動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的姿態(tài)．

圖1 3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型

圖2 3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

1 3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

如圖2機(jī)構(gòu)簡圖所示，其中Ai（i＝1，2，3）為構(gòu)成虎克鉸U兩轉(zhuǎn)動(dòng)副中心軸線的交點(diǎn)，Bi（i＝1，2，3）為球鉸S的中心點(diǎn)，且A1、A2、A3及B1、B2、B3所圍成的三角形均為等邊三角形，設(shè)兩等邊三角形中心點(diǎn)分別為O1和O2，Bi0（i＝1，2，3）為Bi在A1、A2、A3所確定平面上投影，li（i＝1，2，3）為Ai、Bi兩點(diǎn)間距離，αi（i＝1，2，3）為AiBi在A1、A2、A3所確定平面上投影與AiO1所夾銳角，βi（i＝1，2，3）為AiBi與A1、A2、A3所確定平面的夾角．為了便于分析計(jì)算，分別建立了如圖2所示靜坐標(biāo)系O1X1Y1Z1及動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2Z2，其中確立O1、O2分別為靜、動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)，沿A1A2、B1B2方向?yàn)閄軸方向，沿O1A3、O2B3方向?yàn)閅軸方向，過平臺(tái)中心點(diǎn)且垂直于平臺(tái)平面方向?yàn)閆軸方向．設(shè)Bi（i＝1，2，3）在靜坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（xi，yi，zi），O2點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z）．

設(shè)等邊三角形A1A2A3邊長為a，則A1、A2、A3在坐標(biāo)系O1X1Y1Z1中坐標(biāo)分別為：（－a／2，／6，0），（a／2，－／6，0），（0／3，0）．又AiBi（i＝1，2，3）在A1、A2、A3所確定平面上投影為AiBi0，且有‖AiBi0‖＝licosβi，則由O1Bi0＝（O1Ai＋AiBi0）（i＝1，2，3）可知B10、B20、B30在坐標(biāo)系OX1Y1Z1中坐標(biāo)分別為

因?yàn)椤珺iBi0‖＝lisinβi（i＝1，2，3），即zi＝lisinβi，則O2點(diǎn)坐標(biāo)為

由機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)用Z－Y－X歐拉角描述動(dòng)坐標(biāo)系時(shí)有

進(jìn)一步，由式（3）可以逆解得到α、β、γ為

其中：

式（2）和式（4）即為3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解．顯然，當(dāng)已知機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量時(shí)便可確定動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)，當(dāng)給定各關(guān)節(jié)變量變化范圍時(shí)，便可求得動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)范圍，也即六維控制器的工作空間，它是六維控制器操作性能評(píng)價(jià)指標(biāo)之一．

2 3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

在求解3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解時(shí)，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z）以及α、β、γ為已知變量，而機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)變量αi、βi、li為待求未知量．由坐標(biāo)變換公式可知靜坐標(biāo)系O1X1Y1Z1中點(diǎn)與動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中及存在以下關(guān)系：

設(shè)等邊三角形B1B2B3邊長為b，則B1、B2、B3在動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中坐標(biāo)分別為：（－b／2，－，（b／2，－，（0

將坐標(biāo)代入（5）式可得B1、B2、B3在靜坐標(biāo)系O1X1Y1Z1中坐標(biāo)（xi，yi，zi）（i＝1，2，3）．

因?yàn)閘i＝‖AiBi‖（i＝1，2，3），則

進(jìn)一步，由zi＝lisinβi可得

又由AiBi0（i＝1，2，3）與X1軸夾角與其在X1軸上投影關(guān)系可以求解得到：

（6）、（7）、（8）三式即為3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，當(dāng)已知?jiǎng)悠脚_(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位姿時(shí)，便可確定各個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的變量大小．由于六維控制器各關(guān)節(jié)變量通過安裝在虎克鉸U兩轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副P處的傳感器獲得，因此3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解對(duì)傳感器量程及分辨率的選擇具有很大的指導(dǎo)意義．

3 MATLAB仿真實(shí)例

圖3 沿X軸移動(dòng)15mm

圖4 沿Y軸移動(dòng)15mm

圖5 沿Z軸移動(dòng)15mm

表1給出了3種不同機(jī)構(gòu)位形時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算的對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)變量．將關(guān)節(jié)變量重新代入正解計(jì)算公式，得到表2的位形參數(shù)．結(jié)果表明：與已知位形參數(shù)相比，誤差均小于10－5，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)正反解的正確性．

表1 a＝時(shí)機(jī)構(gòu)反解

表1 a＝時(shí)機(jī)構(gòu)反解

［x，y，z；α，β，γ] ［α1，α2，α3，β1，β2，β3，l1，l2，l3] ［0，0，70；0，0，0] ［0．000，0．000，0．000，71．075，71．075，71．075，74．000，74．000，74．000] ［15，0，70；0，0，0] ［11．462，－34．264，32．005，61．667，79．225，67．986，79．527，71．256，75．505] ［0，15，70；0，0，0] ［－22．411，－22．411，0．000，64．045，64．045，82．674，77．852，77．852，70．576]

表2 a＝時(shí)機(jī)構(gòu)正解及誤差

表2 a＝時(shí)機(jī)構(gòu)正解及誤差

［__________________________________x，y，z；α，β，γ] δ_______［0．000，－1．184×10－15，70．000；0．000，0．000，0．000] ≤10－15［15．000，－2．768×10－5，70．000；－1．936×10－5，7．298×10－6，－7．093×10－6] ≤10－15［____________________0．000，15．000，70．000；0．000，－4．505×10－6] ≤10－6

圖6 繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)15°

圖7 繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)15°

圖8 繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)15°

4 結(jié)束語

本文對(duì)六維控制器主體機(jī)構(gòu)3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，求出了其運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解．通過運(yùn)動(dòng)學(xué)正解一方面可以求解機(jī)構(gòu)工作空間，進(jìn)而確定六維控制器可操作范圍及操作靈活性，另一方面可以用于上位機(jī)虛擬環(huán)境中物體的控制，因此運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的正確性尤為重要．為了驗(yàn)證正解的可靠性，本文采用MATLAB軟件對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，仿真結(jié)果顯示所求正反解是完全正確的．3－UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析為六維控制器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)以及控制電路的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)．

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