全方位移動(dòng)平臺(tái)模糊滑模軌跡跟蹤控制

王雙雙，張?jiān)ツ希鹾驮?，?鵬，李瀚飛

(1．裝甲兵工程學(xué)院，北京100072;2．浙江信陽(yáng)實(shí)業(yè)有限公司，浙江金華321025;3．66222部隊(duì)，北京102202)

0引 言

全方位移動(dòng)機(jī)構(gòu)是機(jī)器人領(lǐng)域的研究方向之一［1］。相比于傳統(tǒng)的輪式移動(dòng)機(jī)構(gòu)，全方位移動(dòng)機(jī)構(gòu)具有平面內(nèi)完全的三個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度，即沿X、Y方向的平動(dòng)和繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)?？梢詫?shí)現(xiàn)平面上任意方向的平動(dòng)或繞任意點(diǎn)進(jìn)行任意半徑的轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)，具有非常靈活的機(jī)動(dòng)性能，非常適用于狹窄空間和高精度軌跡跟蹤的場(chǎng)合，在航空航天、軍事安全［2］、倉(cāng)儲(chǔ)運(yùn)輸和社會(huì)服務(wù)等領(lǐng)域具有廣泛的用途。

全方位移動(dòng)技術(shù)在輪組結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)規(guī)劃、運(yùn)動(dòng)控制等方面一直受到國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注，并進(jìn)行了相關(guān)內(nèi)容的研究。文獻(xiàn)［3］分析給出了一般結(jié)構(gòu)形式的Mecanum四輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，優(yōu)選出四輪全方位運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的最佳結(jié)構(gòu)布局形式;文獻(xiàn)［4］根據(jù)工作環(huán)境和任務(wù)要求的不同，研究了全方位移動(dòng)機(jī)器人的自主、尋跡和遙控等3種控制方式;文獻(xiàn)［5］利用模型參考模糊自適應(yīng)控制方法構(gòu)建了運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿環(huán)控制器，結(jié)合動(dòng)力學(xué)PID控制，形成全方位機(jī)器人的位姿閉環(huán)控制系統(tǒng);文獻(xiàn)［6］采用多傳感器融合技術(shù)，組成智能式模糊邏輯邏輯控制系統(tǒng)，使全方位移動(dòng)機(jī)器人具有自主導(dǎo)航和運(yùn)動(dòng)控制的功能;文獻(xiàn)［7］通過(guò)外置CCD攝像頭，對(duì)全方位機(jī)器人的位姿進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)過(guò)程中位姿的校正控制;文獻(xiàn)［8］使用采用模糊方位角估計(jì)器，對(duì)全方位機(jī)器人進(jìn)行跟蹤控制;文獻(xiàn)［9］將摩擦影響和動(dòng)力學(xué)考慮在內(nèi)，描述了時(shí)間最優(yōu)軌跡算法，實(shí)現(xiàn)了全方位足球機(jī)器人的路徑生成和運(yùn)動(dòng)控制。

滑模變結(jié)構(gòu)控制本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制方法，具有對(duì)系統(tǒng)的非線性、不確定因素和外界干擾的不變性，在工程實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用。但滑模控制的缺點(diǎn)是控制律固有的抖振現(xiàn)象，會(huì)造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定［10］。

本文通過(guò)建立Mecanum輪型全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，針對(duì)全方位輪的滑移和平臺(tái)的重心偏移等非線性和不確定因素，利用多體動(dòng)力學(xué)軟件RecurDyn建立了平臺(tái)的虛擬樣機(jī)模型;設(shè)計(jì)了基于等效控制的滑?？刂破?，通過(guò)模糊切換增益，降低了輸出抖振;采用虛擬樣機(jī)模擬重心不斷變化的情況，通過(guò)聯(lián)合仿真實(shí)現(xiàn)了良好的軌跡跟蹤效果，為實(shí)際全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)控制研究提供了有效的方法。

1運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

本文研究的Mecanum輪型全方位移動(dòng)平臺(tái)如圖1所示，該平臺(tái)采用四輪縱向?qū)ΨQ式布局結(jié)構(gòu)，斜向的兩個(gè)輪子是相同的，而兩側(cè)的輪子是鏡像對(duì)稱的，輥?zhàn)拥钠媒菫椤?5°。

對(duì)全方位移動(dòng)平臺(tái)的定義如圖2所示，為了便于建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，設(shè)定假設(shè)條件如下:

(1)全方位移動(dòng)平臺(tái)在理想的平面上運(yùn)動(dòng)，車體、輪子和路面均為剛體。

(2)輪子與路面之間具有足夠大的摩擦力，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)發(fā)生輪子的打滑現(xiàn)象。

(3)平臺(tái)的重心與平面幾何中心重合。

在此輪組布局結(jié)構(gòu)下，通過(guò)對(duì)輪子的運(yùn)動(dòng)解析，得到平臺(tái)的逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程［3］:

2動(dòng)力學(xué)建模

2．1拉格朗日動(dòng)力學(xué)建模

對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模，通常采用動(dòng)力學(xué)基本理論，即牛頓-歐拉方程。這是一種力的動(dòng)態(tài)平衡法，對(duì)于較為復(fù)雜的系統(tǒng)，此種方法十分復(fù)雜和麻煩。而拉格朗日力學(xué)不必求出內(nèi)作用力，是一種功能平衡法，適用于復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模［11］。

拉格朗日方程可表示如下:

式中:qj為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo);L為拉格朗日函數(shù)，等于系統(tǒng)的動(dòng)能減去勢(shì)能;Φ為系統(tǒng)的耗散函數(shù);Qj為系統(tǒng)的廣義力。

由于在平面上運(yùn)動(dòng)，全方位移動(dòng)平臺(tái)的勢(shì)能Ep=0，忽略輥?zhàn)拥淖杂尚D(zhuǎn)，因此其拉格朗日函數(shù)和耗散函數(shù)分別:

式中:m為平臺(tái)的質(zhì)量;Ek為平臺(tái)的動(dòng)能;Dw為輪子的黏性摩擦系數(shù);Iz和Iw分別為平臺(tái)和輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

對(duì)于全方位移動(dòng)平臺(tái)，定義廣義力為輪子的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩Ti，廣義坐標(biāo)為輪子的角位移 θi，將式(1)、式(3)、式(4)代入式(2)中，得到拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程如下:

其 中: θ = ［θ1θ2θ3θ4］T∈ R4，T =［T1T2T3T4］T∈R4，Dw=diag(Dw1，Dw2，Dw3，Dw4);為輪子的角加速度;M為運(yùn)動(dòng)慣量陣，其中的元素是由平臺(tái)的參數(shù)決定的。

因此，全方位移動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間模型可表示為:

2．2虛擬樣機(jī)動(dòng)力學(xué)建模

對(duì)于實(shí)際的全方位移動(dòng)平臺(tái)及其工程應(yīng)用(如全方位叉車和運(yùn)載平臺(tái))，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)受到輪子的滑移和平臺(tái)的重心偏移等非線性和不確定因素的影響，而式(6)作為動(dòng)力學(xué)名義模型，不能完全包含上述影響因素。

本文建立了基于多體動(dòng)力學(xué)軟件RecurDyn的全方位移動(dòng)平臺(tái)虛擬樣機(jī)模型。通過(guò)添加輥?zhàn)优c地面之間的面面接觸以及輥?zhàn)拥男D(zhuǎn)約束，模擬平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中輪子的滑移問(wèn)題。設(shè)置平臺(tái)上的負(fù)載物塊緩慢運(yùn)動(dòng)，使得平臺(tái)重心不斷變化，進(jìn)而模擬平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性和輪子負(fù)載擾動(dòng)的情況，如圖3所示。將虛擬樣機(jī)模型和控制系統(tǒng)模型結(jié)合起來(lái)，進(jìn)行聯(lián)合仿真分析，可以為運(yùn)動(dòng)控制策略的研究提供更為有效的驗(yàn)證方法。

圖3 全方位移動(dòng)平臺(tái)虛擬樣機(jī)側(cè)視圖

3模糊滑?？刂破?/h2>

3．1 總體結(jié)構(gòu)

本文將滑模控制與模糊控制結(jié)合起來(lái)，設(shè)計(jì)基于等效控制的模糊滑模控制器，總體結(jié)構(gòu)如圖4所示。由期望位姿和實(shí)際位姿得到位姿誤差及其變化率，利用模糊規(guī)則對(duì)切換控制中的切換增益進(jìn)行有效估計(jì)。在相點(diǎn)接近滑模面時(shí)，應(yīng)減小切換增益，以減小相點(diǎn)穿越滑模面時(shí)的速度;在遠(yuǎn)離滑模面的地方，應(yīng)該增大切換增益，以保證系統(tǒng)的快速性。通過(guò)模糊切換增益，減小滑?？刂坡傻亩墩瘢玫礁鱾€(gè)輪子的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中抑制非線性因素、不確定量和外界干擾的影響，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)全方位移動(dòng)平臺(tái)精確的軌跡跟蹤控制。

圖4 模糊滑模軌跡跟蹤控制總體結(jié)構(gòu)

3．2滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

以全方位移動(dòng)平臺(tái)的位姿為廣義坐標(biāo)，由式(1)和式(6)得到動(dòng)力學(xué)模型:

式中:X=［x y θz］為平臺(tái)的位姿;為 X、Y 方向的線加速度和繞 Z軸的角加速度;dt=［dt1dt2dt3］T為輪子受到的外界干擾。

系統(tǒng)輸入為平臺(tái)的期望位姿 Xr=［xryrθzr］，則位姿誤差定義:

設(shè)計(jì)切換函數(shù):

對(duì)于等效控制，不考慮平臺(tái)的外界干擾，可以得到:

定義S=［S1S2S3］T，通過(guò)取=0，得到等效控制律:

式中:C=diag(c11c21c31)。

式中:切換增益 η =diag(η1η2η3)，ηi≥(J+M-1dt)i。

結(jié)合式(11)和式(12)，得到滑?？刂坡蔀?

因此系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3．3模糊控制器設(shè)計(jì)

其中，μ(s)=diag(μ1μ2μ3)，當(dāng) μi=1 時(shí)，此時(shí)控制律為傳統(tǒng)的等效滑?？刂?當(dāng)μi≠1時(shí)，通過(guò)μi的變化實(shí)現(xiàn)降低抖振的目的。

圖5 模糊控制器結(jié)構(gòu)圖

本文的模糊控制器屬于 Mamdani型二維模糊控制器，結(jié)構(gòu)如圖5所示，輸入變量為和，輸 出變 量 為μi，是切換控制增益 ηi的模糊系數(shù)值，K1、K2是輸入變量的量化因子，K3是輸出變量的比例因子［12］。

采用重心法將模糊輸出清晰化，可以得到模糊控制查詢表。軌跡跟蹤控制時(shí)，根據(jù)si和的實(shí)際值，通過(guò)查詢模糊控制表即可得到切換增益模糊系數(shù)值μi，實(shí)現(xiàn)對(duì)切換增益的模糊估計(jì)，進(jìn)而可以降低滑?？刂频妮敵龆墩瘛?/p>

4仿真與分析

全方位移平臺(tái)仿真模型的參數(shù):平臺(tái)質(zhì)量m=1 703．5 kg，幾何中心點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Iz=692．1 kg·m2，單個(gè)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Iw=1．749 5 kg·m2，輪子半徑 R=0．23 m，l=0．675 m，w=0．525 m。

采用PD控制和模糊滑?？刂七M(jìn)行對(duì)比，其中，PD控制參數(shù)Kpi=500，Kdi=400;滑?？刂茀?shù)Ci=［10 1］。

對(duì)全方位移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行平動(dòng)的圓軌跡跟蹤仿真分析，圓軌跡公式:

式中:r為圓軌跡的半徑;ωr為圓軌跡的角速度，設(shè)置 r=1，ωr=0．3。

4．1解析模型仿真結(jié)果及分析

采用全方位平臺(tái)的狀態(tài)空間模型作為被控對(duì)象，考慮系統(tǒng)干擾為高斯函數(shù)的形式，即:

取 Di=100，bi=0．5，ci=10，比較 PD 控制和模糊滑模控制的圓軌跡跟蹤效果，部分仿真結(jié)果如圖6～圖9所示。

由仿真結(jié)果可以得到，采用模糊滑模控制可以基本消除控制量的抖振，在受到擾動(dòng)時(shí)，模糊滑?？刂频乃俣群臀灰普`差均小于PD控制的誤差，因此具有更高的軌跡跟蹤精度。

4．2聯(lián)合仿真結(jié)果及分析

采用全方位平臺(tái)的虛擬樣機(jī)模型，結(jié)合上述控制方法，建立Simulink/RecurDyn聯(lián)合仿真模型。在虛擬樣機(jī)模型中，設(shè)置負(fù)載物塊以vL=0．125×sin(0．25t)的速度沿車體縱向中心線做緩慢往復(fù)運(yùn)動(dòng)，模擬平臺(tái)重心不斷變化的情況，驗(yàn)證控制方法的效果，結(jié)果如圖10、圖11所示。

由聯(lián)合仿真結(jié)果可知，采用模糊滑模控制的位移誤差小于PD控制位移誤差，且基本趨近于零。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，消除了重心不斷變化對(duì)姿態(tài)的影響，使平臺(tái)始終保持原姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)了平動(dòng)的圓軌跡跟蹤。

5結(jié) 語(yǔ)

本文以Mecanum輪型全方位移動(dòng)平臺(tái)為研究對(duì)象，建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型;結(jié)合全方位輪的滑移和平臺(tái)的重心偏移等非線性因素，采用多體動(dòng)力學(xué)分析軟件RecurDyn構(gòu)建了虛擬樣機(jī)模型;設(shè)計(jì)了基于等效控制的模糊滑?？刂破?，通過(guò)模糊估計(jì)切換增益，降低了輸出抖振;分別使用解析模型和聯(lián)合仿真模型對(duì)圓軌跡進(jìn)行跟蹤，通過(guò)與PD控制相比較，表明模糊滑?？刂凭哂懈玫能壽E跟蹤效果。

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