基于灰色馬爾科夫鏈模型的交通量預(yù)測

劉宗明，賈志絢，李興莉

（太原科技大學(xué)1.電子信息工程學(xué)院；2.交通與物流學(xué)院；3.應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西太原030024）

利用道路交通量調(diào)查資料對(duì)未來交通量進(jìn)行合理準(zhǔn)確的預(yù)測是決策部門制定發(fā)展規(guī)劃的重要依據(jù)［1］?；疑到y(tǒng)理論具有所需樣本少，不需要計(jì)算統(tǒng)計(jì)特征量等特點(diǎn)?；疑到y(tǒng)理論在預(yù)測方面應(yīng)用十分廣泛，如電力負(fù)荷的灰色預(yù)測，城市噪聲的灰色預(yù)測，以及自然災(zāi)害的灰色預(yù)測等。近些年來，交通領(lǐng)域的科研人員，也將灰色系統(tǒng)理論引入并應(yīng)用交通系統(tǒng)的某些部分，比如在城市交通生成總量預(yù)測、道路交通流量預(yù)測，城市道路交通噪聲預(yù)測，鐵路貨運(yùn)量預(yù)測和公路客運(yùn)量預(yù)測等方面。在交通量的預(yù)測方面國內(nèi)科研人員也做了相應(yīng)的研究［2-8］，主要有灰色經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，交通量演變模式檢索方法，灰色殘差GM（1，1）模型以及一些改進(jìn)的灰色模型等。

灰色馬爾科夫模型是一種結(jié)合灰色系統(tǒng)理論和馬爾科夫鏈的理論的預(yù)測模型。首先灰色預(yù)測方法用于預(yù)測變化趨勢較為明顯的時(shí)間序列，對(duì)隨機(jī)波動(dòng)性大的時(shí)間序列則效果不是太好，馬爾科夫鏈的理論適用于隨機(jī)過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移行為，正好可以彌補(bǔ)灰色預(yù)測的局限，但馬爾科夫鏈的預(yù)測對(duì)象要求具有平穩(wěn)過程、等均值的特點(diǎn)，交通系統(tǒng)的變化多屬于非平穩(wěn)過程，如果采用GM（1，1）模型擬合系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)波動(dòng)大的殘差序列進(jìn)行馬爾科夫預(yù)測，實(shí)現(xiàn)兩者優(yōu)勢互補(bǔ)。運(yùn)用灰色馬爾科夫預(yù)測模型進(jìn)行對(duì)太原市某街道15 min交通量進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果表明，該模型在交通量預(yù)測方面具有很好的精度。

1 建模

利用灰色馬爾科夫預(yù)測建模過程如下：即先用灰色GM（1，1）對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，在此基礎(chǔ)上對(duì)殘差進(jìn)行GM（1，1）建模，然后結(jié)合馬爾科夫鏈理論根據(jù)殘差符號(hào)建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

1.1 建立原始數(shù)據(jù)的GM（1，1）的預(yù)測模型

式中：a，u為待辨識(shí)的參數(shù)。

解該微分方程為

由最小二乘法求解待辨識(shí)的參數(shù)a，u表示為

式中Y和B為

由于

因此得到原始數(shù)據(jù)模型值為

1.2 建立殘差絕對(duì)值序列的GM（1，1）模型

由上面的分析得到殘差絕對(duì)值序列為

式中：u1，a1為待辨識(shí)的參數(shù)。

得到的微分方程為

由最小二乘法求解待辨識(shí)的參數(shù)a，u，估計(jì)值a，u，系數(shù)，Y1和B1如下式

得到改進(jìn)后的原始數(shù)據(jù)的預(yù)測值為

式中：符號(hào)函數(shù)

由上面的分析可知，1≤t≤n時(shí)，sgn(t)的值可由原殘差的符號(hào)確定，因此提高灰色預(yù)測精度的關(guān)鍵是正確預(yù)測t＞n時(shí)sgn(t)值的概率。

根據(jù)馬爾可夫理論，對(duì)于時(shí)間和狀態(tài)都是離散的馬爾科夫過程，稱為馬爾科夫鏈，馬爾科夫的過程是研究系統(tǒng)的狀態(tài)及狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率組成馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣如下

本文用馬爾科夫過程來求解殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率，從而確定計(jì)算預(yù)測值時(shí)殘差的符號(hào)，這里確定3種狀態(tài)，殘差為零時(shí)狀態(tài)取為1，殘差為正時(shí)狀態(tài)取為2，殘差為負(fù)時(shí)狀態(tài)取為3，然后構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

2 應(yīng)用實(shí)例

以太原市漪汾橋斷面為例，實(shí)地調(diào)查其交通量數(shù)據(jù)，從早7：00－9：30，每15分鐘作為一個(gè)調(diào)查時(shí)間單位，測得交通流量數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 交通量數(shù)據(jù)表Tab.1 Data of traffic volume

取表1中時(shí)間段7：00－9：00的數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，取9：00－9：30時(shí)間段的兩組數(shù)據(jù)作為預(yù)測數(shù)據(jù)對(duì)照值，令X(0)(t)={503，558，630，637，702，622，861，676}建立灰色的馬爾科夫鏈預(yù)測模型，步驟如下：

累加序列：{X(1)(t)}={503，1 061，1 691，2 328，3 030，3 652，4 513，5 189}

構(gòu)造矩陣B和向量Y：

由最小二乘法求得

通過計(jì)算得到模型值及殘差如表2所示。

表2 模型值及殘差值Tab.2 Value of model and residuals

通過該模型得到的結(jié)果如表3所示：

表3 模型值及殘差值Tab.3 Value of model and residuals

根據(jù)原始?xì)埐畹姆?hào)殘差符號(hào)狀態(tài)劃分如表4所示。

由表2中殘差的符號(hào)狀態(tài)構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率矩陣：

通過以上得到預(yù)測模型預(yù)測時(shí)間段9：00－9：30的交通量，結(jié)果如表5、6所示，可以看出：灰色馬爾科夫鏈預(yù)測模型交通量的預(yù)測精度較高，相對(duì)誤差較小。

表4 狀態(tài)劃分表Tab.4 Status partition

表5 GM（1，1）結(jié)果表Tab.5 Results of GM（1，1）

表6 灰色馬爾科夫鏈模型結(jié)果表Tab.6 Results of Gray-Markov Chain model

4 結(jié)論

1）灰色馬爾科夫鏈模型是一種結(jié)合灰色系統(tǒng)理論和馬爾科夫鏈的理論的預(yù)測模型，在此基礎(chǔ)上，通過對(duì)原始數(shù)據(jù)的序列和殘差絕對(duì)值序列二次建立GM（1，1）預(yù)測模型，引進(jìn)馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣建立了交通量預(yù)測模型。

2）當(dāng)預(yù)測長期交通量時(shí)，可以根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)，重新選取原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，然后重構(gòu)馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，達(dá)到長期預(yù)測的目的。

3）結(jié)合太原市漪汾橋斷面的實(shí)際交通量數(shù)據(jù)，建立了其交通量預(yù)測模型，研究結(jié)果表明：與灰色GM（1，1）模型相比，相對(duì)誤差明顯減小，該模型在交通量預(yù)測精度上有了很大的改進(jìn)。

[1]STEPHEN C.Traffic prediction using multivariate nonparametric regression[J].Journal of Transportation Engineering，2003，129（2）：161-168.

[2]徐沖，孫曉燕，王海龍，等.灰色經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)模型在交通量預(yù)測中的應(yīng)用[J].公路工程，2010，35（5）：34-38.

[3]靳引利.基于交通量演變模式檢索的高速公路交通量預(yù)測方法[J].公路交通科技，2010，27（1）：116-121.

[4]陳淑燕，陳家勝.一種改進(jìn)的灰色模型在交通量預(yù)測中的應(yīng)用[J].公路交通科技，2004，21（2）：81-83.

[5]周榮康，徐永，李若靈.基于灰色殘差GM（1，1）模型的道路交通量預(yù)測的研究[J].交通運(yùn)輸工程與信息學(xué)報(bào)，2008，21（3）：49-53.

[6]孫燕，陳森發(fā)，周振國.灰色系統(tǒng)理論在無檢測器交叉口交通流量預(yù)測中的應(yīng)用[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，32（2）：256-258.

[7]嚴(yán)磊.基于灰色理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的交通量組合預(yù)測模型研究[D].重慶：重慶大學(xué).2010：32-37.

[8]許倫輝，傅惠.交通信息智能預(yù)測理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，2009：135-142.