信息、熵與黑洞

當(dāng)今世界，信息已經(jīng)成為我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠?。信息的存在性是毋庸置疑的，但它又不是一般意義下的實(shí)體。如何從物理學(xué)的角度給信息下一個(gè)定義，這件事著實(shí)讓物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)學(xué)家們費(fèi)了一番斟酌。人們最后是從信息的存儲(chǔ)入手，將信息“實(shí)體化”的。一條信息不論是記憶在人的大腦里，還是記錄在書(shū)本上，或是存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中，總之它都必須依附于某個(gè)物質(zhì)的實(shí)體。沒(méi)有承載信息的實(shí)體，信息就無(wú)法存在。這就提出了一個(gè)非常有意思的問(wèn)題：對(duì)于一個(gè)給定大小的空間，能夠存儲(chǔ)于其中的信息是否有一個(gè)極限？如果有，這個(gè)極限是多少？如何計(jì)算？要回答這個(gè)問(wèn)題，首先需要把信息“數(shù)量化”。這倒不難，因?yàn)槿魏我粭l信息都可以被等價(jià)于一組特定的0/1的組合，就像存儲(chǔ)于計(jì)算機(jī)里的數(shù)據(jù)一樣。所以構(gòu)成信息的最小單位就是0/1，稱(chēng)作位元（或比特）。這樣一來(lái)，上面的問(wèn)題就簡(jiǎn)化為“對(duì)于一個(gè)給定大小的空間，最多有多少個(gè)位元能夠存儲(chǔ)于其中”。

要回答這個(gè)問(wèn)題，需要借助一個(gè)十分重要也非常有趣的物理量——熵。熵是用來(lái)衡量一個(gè)系統(tǒng)有序與無(wú)序程度的量，熵越大，系統(tǒng)就越無(wú)序（通俗地說(shuō)，就是越亂）。熵本身是一個(gè)宏觀物理量，但描述的卻是一個(gè)系統(tǒng)微觀的有序、無(wú)序程度。如果把你的臥室看做一個(gè)宏觀系統(tǒng)，臥室里的床、椅、鞋、襪等則是構(gòu)成這個(gè)系統(tǒng)的微觀元素，臥室里面越亂，它的熵就越大。從在物理學(xué)中占有重要地位的熱力學(xué)第二定律出發(fā)，可以得出熵增加原理：一個(gè)孤立系統(tǒng)（即與外界沒(méi)有能量交換的系統(tǒng)）的熵是永不減少的。仍以臥室為例，如果沒(méi)有任何人花力氣去整理它（在這里“整理”可以被看做從外界輸入能量），從某種意義上說(shuō)這個(gè)臥室就可以被看成是一個(gè)孤立系統(tǒng)，它的熵就永遠(yuǎn)不會(huì)減少，即只可能變得越來(lái)越亂。

信息論之父香農(nóng)（Claude Shannon，1916-2001）于一九四八年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》被視為現(xiàn)代信息論研究的開(kāi)山之作，在該文中他首次提出了信息熵的概念。信息熵描述的是隨機(jī)變量的不確定性，也就是不可預(yù)測(cè)性。它不但在數(shù)學(xué)表達(dá)形式上與物理熵一致，在實(shí)質(zhì)上也與物理熵有著緊密的聯(lián)系。不難想象，一個(gè)系統(tǒng)越無(wú)序，對(duì)它就越難準(zhǔn)確描述，當(dāng)然也就越不可預(yù)測(cè)。兩間放有相同東西的房間，比如說(shuō)里面都有十本雜志，一間很亂（物理熵高），雜志東一本西一本，床上、地上哪兒都有。一間很整齊（物理熵低），所有的雜志都摞在床頭柜上。如果有人進(jìn)來(lái)隨手拿起一本雜志向某個(gè)方向胡亂一扔（雜志位置變動(dòng)的信息），對(duì)前者來(lái)說(shuō)，幾乎無(wú)法判斷出房間里面有什么變化（難以得到信息），而對(duì)后者，變化則是一目了然的（容易得到信息）。

信息與熵的關(guān)聯(lián)是比較顯而易見(jiàn)的，但信息與黑洞之間能有什么聯(lián)系呢？在回答這個(gè)問(wèn)題之前，讓我們先來(lái)看看黑洞的一些重要性質(zhì)。

黑洞最初是被作為廣義相對(duì)論的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論而提出。它的發(fā)現(xiàn)本身就頗有戲劇性。愛(ài)因斯坦在一九一五年提出廣義相對(duì)論的引力場(chǎng)方程，這個(gè)非線(xiàn)性的方程是廣義相對(duì)論的核心，但在數(shù)學(xué)上卻很難解。在廣義相對(duì)論發(fā)表之初，那些引起舉世轟動(dòng)的預(yù)測(cè)，都是愛(ài)因斯坦在對(duì)該方程進(jìn)行了一些近似之后才最終得到的。然而就在引力場(chǎng)方程問(wèn)世之后不久，極具天才的天體物理學(xué)家史瓦西（Karl Schwarzschild，1873—1916）就得到了第一個(gè)精確解。史瓦西出生于德國(guó)法蘭克福，十六歲時(shí)就發(fā)表了一篇關(guān)于行星軌道的論文。他在斯特拉斯堡與慕尼黑大學(xué)求學(xué)，一八九六年獲得博士學(xué)位，一九一二年成為普魯士科學(xué)院的會(huì)員。一九一四年第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)，史瓦西盡管已年過(guò)四十，居然投筆從戎參加了德軍，并成了一名炮兵上尉。一九一五年在俄國(guó)前線(xiàn)的戰(zhàn)壕里，他寫(xiě)了一篇關(guān)于相對(duì)論的重要論文(完成于一九一六年初)，得到了一般性引力理論方程的第一組精確解。其中一個(gè)解是關(guān)于“非轉(zhuǎn)動(dòng)性、球?qū)ΨQ(chēng)的天體”，另外一個(gè)解的對(duì)象則是關(guān)于在真空中任意質(zhì)量的星體周?chē)目臻g特性。正是這第二個(gè)解奠定了經(jīng)典黑洞研究的基礎(chǔ)，在天體物理學(xué)和宇宙學(xué)中具有里程碑的意義。他把論文寄給了愛(ài)因斯坦，并由愛(ài)因斯坦協(xié)助發(fā)表在普魯士科學(xué)院會(huì)刊上。然而當(dāng)論文發(fā)表時(shí)，史瓦西已經(jīng)因病去世了。

史瓦西的經(jīng)典黑洞的結(jié)構(gòu)其實(shí)十分簡(jiǎn)單。它有一個(gè)邊界（事件視界），包括光在內(nèi)的任何東西一旦越過(guò)了事件視界就有去無(wú)回，從那一瞬間起，它們與外界就斷絕了所有的聯(lián)系，當(dāng)然也無(wú)法與外界交換信息。事件視界的大?。ㄒ簿褪俏覀兺ǔＵf(shuō)的黑洞的大?。┯珊诙吹馁|(zhì)量決定。事件視界并不是實(shí)體，在那兒其實(shí)什么都沒(méi)有，它只是代表有去無(wú)回的分界線(xiàn)。黑洞的中心是一個(gè)密度無(wú)限大的“奇點(diǎn)”，任何掉進(jìn)黑洞的物體最后都會(huì)消失于這個(gè)“奇點(diǎn)”。在“奇點(diǎn)”與事件視界之間也是什么都沒(méi)有。事件視界具有很奇特的性質(zhì)：對(duì)于一個(gè)被吸入黑洞的物體，當(dāng)它穿過(guò)事件視界時(shí)，不同的觀測(cè)者會(huì)看到完全不同的現(xiàn)象。在一艘飛船被吸入黑洞的過(guò)程中，如果讓它每秒鐘都發(fā)出一次無(wú)線(xiàn)電信號(hào)，在外界的觀測(cè)者看來(lái)，飛船越靠近事件視界，信號(hào)到達(dá)的間隔會(huì)變得越長(zhǎng)，當(dāng)它穿過(guò)事件視界時(shí)，信號(hào)就再也收不到了——飛船徹底消失了。但是對(duì)飛船里的觀測(cè)者，飛船穿過(guò)事件視界時(shí)，任何特殊的事情都不會(huì)發(fā)生，真正的毀滅只發(fā)生于飛船到達(dá)“奇點(diǎn)”的那一瞬間。

在我們的宇宙里，天文學(xué)家已經(jīng)觀測(cè)到了很多各式各樣的黑洞。銀河系的中心就是一個(gè)非常巨大的黑洞。通常當(dāng)一顆質(zhì)量很大的恒星將它可以用來(lái)進(jìn)行核聚變的物質(zhì)消耗殆盡時(shí)，就會(huì)發(fā)生由引力引起的“坍塌”，恒星的密度會(huì)變得極大而形成黑洞。

黑洞在物理學(xué)中從來(lái)就是一個(gè)“麻煩制造者”。讓我們來(lái)做一個(gè)想象中的實(shí)驗(yàn)：劃定一個(gè)半徑為一米的球形區(qū)域，然后不斷往里面扔書(shū)、手機(jī)、電腦等等，這些東西都帶有一定數(shù)量的信息（當(dāng)然也都有一定數(shù)量的熵）。假設(shè)我們有辦法控制這個(gè)區(qū)域使其不能增大，隨著越來(lái)越多的東西被扔進(jìn)去，該區(qū)域中物質(zhì)的密度就會(huì)越來(lái)越大。當(dāng)密度最終達(dá)到了一個(gè)臨界值，這個(gè)區(qū)域就將成為一個(gè)黑洞。此后再往里面扔?xùn)|西，就無(wú)論如何也沒(méi)辦法保持區(qū)域不增大了，因?yàn)楹诙吹陌霃脚c它的質(zhì)量成正比。由于任何東西都不可能從黑洞里逃出來(lái)，所以這部分信息也就再也不能為外界所知了。更糟糕的是，經(jīng)典黑洞是沒(méi)有溫度的，沒(méi)有溫度的物體的熵是零，而熵是零意味著信息不存在。也就是說(shuō)，經(jīng)典黑洞會(huì)讓宇宙的熵減少（這與熱力學(xué)第二定律相悖）并使信息消失。這就在理論上產(chǎn)生了極大的危機(jī)。我們都知道能量守恒是物理世界的根本定律之一，能量可以傳輸、轉(zhuǎn)換，但不能消失。信息也一樣，可以傳輸、轉(zhuǎn)換，甚至被掩蓋、隱藏，但不能徹底消失。

第一個(gè)在黑洞熵的研究上獲得實(shí)質(zhì)性突破的，是柏肯斯坦（Bekenstein）。他那時(shí)還在普林斯頓大學(xué)讀研究生（一九七三），師從大名鼎鼎的惠勒（John Wheeler，1911—2008，“黑洞”這個(gè)名詞就是他創(chuàng)造的）。柏肯斯坦基本上憑的是物理直覺(jué)和唯象的分析，他雖然得到了一個(gè)重要結(jié)論——黑洞的熵與黑洞的表面積成正比，卻沒(méi)能計(jì)算出正確的比例常數(shù)。由于柏肯斯坦的結(jié)論缺少堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起太多人的重視。直到霍金于一九七四年非常巧妙地將量子效應(yīng)應(yīng)用于黑洞的研究，得出了黑洞具有溫度的重要結(jié)論，才徹底解決了物理學(xué)上的這一“危機(jī)”。

在量子理論中，真空并不是真的什么都沒(méi)有，而是不斷有正粒子和反粒子對(duì)（比如電子和正電子）在生成和湮滅。只是這個(gè)過(guò)程極為短暫，從宏觀上看就像什么都沒(méi)發(fā)生一樣。但如果正-反粒子對(duì)恰好是在黑洞的事件視界上生成，情況就會(huì)大不一樣。黑洞會(huì)“優(yōu)先”將反粒子吸入，而正粒子則飛向外界。于是從外界看起來(lái)，黑洞就像一個(gè)生成源，會(huì)輻射正粒子。另一方面，由于反粒子帶有負(fù)能量，吸入反粒子會(huì)使黑洞的能量減少，再通過(guò)著名的E=mc2就推斷出黑洞的質(zhì)量會(huì)變小。此一過(guò)程在整體上看就像黑洞會(huì)輻射粒子并逐漸縮小，換句話(huà)說(shuō)就是黑洞會(huì)蒸發(fā)。這項(xiàng)結(jié)論在物理界引起極大的轟動(dòng)，被命名為霍金蒸發(fā)。能夠輻射的物體有溫度，也就允許有熵。以霍金蒸發(fā)為基礎(chǔ)，不但可以導(dǎo)致柏肯斯坦的結(jié)論，而且能計(jì)算出黑洞熵與黑洞表面積之間的正確的比例常數(shù)。

在霍金的論文發(fā)表后，黑洞具有熵已成為不爭(zhēng)的事實(shí)。但是黑洞是否會(huì)吞噬信息的問(wèn)題還遠(yuǎn)沒(méi)有解決。霍金和卡特爾（Carter）等人在一九七三年曾嚴(yán)格證明了“黑洞無(wú)毛定理”：“無(wú)論什么樣的黑洞，其最終性質(zhì)僅由幾個(gè)物理量（質(zhì)量、角動(dòng)量、電荷）唯一確定。”即當(dāng)黑洞形成之后，只剩下這三個(gè)不能變?yōu)殡姶泡椛涞氖睾懔浚渌磺行畔ⅲā懊l(fā)”）都喪失了，黑洞幾乎沒(méi)有形成它的物質(zhì)所具有的任何復(fù)雜性質(zhì)，對(duì)前身物質(zhì)的形狀或成分都沒(méi)有記憶。也就是說(shuō)黑洞雖然有熵，但被帶入的信息終究還是被毀滅了，即使從理論上講也無(wú)法“復(fù)原”?；艚鸬倪@一觀點(diǎn)當(dāng)時(shí)被物理界的絕大多數(shù)人所接受，只有特霍夫特（Gerard，t Hooft，獲一九九九年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)）和沙氏金(Leonard Susskind)等少數(shù)幾個(gè)人提出質(zhì)疑。他們認(rèn)為信息和能量一樣是不可毀滅的，即使黑洞也不能讓信息消失。

特霍夫特是一個(gè)很有想象力的人，他在一九九三年猜測(cè)，信息并沒(méi)有被黑洞吞噬，而是像熵一樣“留”在了黑洞的表面。這是一種全息效應(yīng)，與我們通常說(shuō)的全息攝影的原理頗為相似：將描述一個(gè)三維空間物體的全部信息存儲(chǔ)在一個(gè)二維的表面上。一九九四年沙氏金把這個(gè)猜測(cè)提升為全息原理，它不但適用于黑洞，對(duì)任何給定的空間，其內(nèi)的所有信息都可以由邊界面上的信息來(lái)完整描述。推而廣之，宇宙中的所有信息全都反映在宇宙的邊界上。沙氏金甚至認(rèn)為真實(shí)的物理實(shí)際是在邊界的表面上，我們生活的三維空間不過(guò)是全息影像而已。這個(gè)原理實(shí)在有點(diǎn)太過(guò)玄乎，所以盡管沙氏金提供了一些直觀的論證，特霍夫特也曾嘗試通過(guò)建構(gòu)某種模型來(lái)支持該原理，但開(kāi)始時(shí)基本上沒(méi)什么人相信?；艚鸬热诉€從理論上對(duì)全息原理提出了強(qiáng)烈質(zhì)疑。直到一九九七年底，智利物理學(xué)家馬德西納提出了在超弦理論研究中占重要地位的馬德西納猜想，情況才發(fā)生了根本的變化。馬德西納猜想大體上是說(shuō)描述某種較高維空間的物理性質(zhì)的弦論可以等價(jià)為低一維的空間中的量子場(chǎng)論，也就是在空間與包圍它的表面之間建立起了某種對(duì)偶關(guān)系。這個(gè)猜想雖然還沒(méi)有被完整證明，但已在弦論研究的很多方面得到了驗(yàn)證，今天幾乎沒(méi)有人懷疑它的正確性。馬德西納猜想為全息原理奠定了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，沙氏金最終利用超弦理論得以回答本文最開(kāi)始提出的問(wèn)題。他的結(jié)論是：在一個(gè)給定大小的空間中，能夠存儲(chǔ)于其內(nèi)的信息確實(shí)是有限的，這個(gè)極限就是該空間的表面面積除以普朗克面積（普朗克長(zhǎng)度約為1.6x10-35米，普朗克面積則約為2.6x10-70平方米）。值得注意的是，該極限是與給定空間的表面積成正比，而不是像通常直觀想象的那樣與其體積成正比。以一個(gè)半徑為一米的球體為例，其表面積大約為十二平方米，可存于其內(nèi)的信息的極限差不多是4x1070個(gè)位元。這是一個(gè)理論上存在、實(shí)際上可能永遠(yuǎn)接近不了的極限。