ARIMA模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

趙 亮,蘭孝奇,盛建岳

(1.河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京 210098;2.上海港申建設(shè)管理有限公司,上海 200135)

ARIMA模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

趙 亮1,蘭孝奇1,盛建岳2

(1.河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京 210098;2.上海港申建設(shè)管理有限公司,上海 200135)

為提高GPS精密單點(diǎn)定位的精度(PPP),需要有高精度的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)。針對(duì)衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)在衛(wèi)星導(dǎo)航定位中的重要作用,利用時(shí)間序列模型與灰色模型對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行1d和120 d的預(yù)報(bào)。結(jié)果表明,基于時(shí)間序列預(yù)報(bào)模型的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于灰色模型,更適用于實(shí)際應(yīng)用,Rb鐘的精度和穩(wěn)定性優(yōu)于Cs鐘。

時(shí)間序列;灰色模型;衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào);精度分析;原子鐘精度

GPS的衛(wèi)星鐘是影響整個(gè)衛(wèi)星定位系統(tǒng)精度的重要因素之一,時(shí)間同步的精度直接決定導(dǎo)航定位的精度。為提高精密單點(diǎn)定位的精度,必須及時(shí)獲取精密衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)。精密單點(diǎn)定位中一般采用IGS提供的等間隔為15 min的精密星歷,其中最終星歷能達(dá)到小于5 cm的軌道誤差和0.1 ns的衛(wèi)星鐘差[1-2],能夠滿足精密單點(diǎn)定位的需要,但是最終星歷是事后處理數(shù)據(jù),有13 d的時(shí)間延遲,而IGS提供的實(shí)時(shí)廣播星歷和預(yù)報(bào)星歷中的衛(wèi)星鐘差的精度達(dá)不到要求,因此對(duì)精密鐘差的預(yù)報(bào)是非常重要的。

目前常用的鐘差預(yù)報(bào)模型有線性模型、二次多項(xiàng)式模型、灰色模型等。其中二次多項(xiàng)式模型以時(shí)間為變量,通過(guò)對(duì)往期的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合確定系數(shù)進(jìn)行預(yù)報(bào),適用于衛(wèi)星鐘差的短期預(yù)報(bào),預(yù)報(bào)誤差隨著時(shí)間的增加而積累。二次多項(xiàng)式模型所用的數(shù)據(jù)量大,計(jì)算量大,在實(shí)際應(yīng)用中不方便。線性模型的精度和二次多項(xiàng)式模型精度相當(dāng)?；疑Ｐ突谳^少的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè),無(wú)法充分利用已有數(shù)據(jù)建模提高預(yù)測(cè)精度[3]。

1 時(shí)間序列的原理

任何時(shí)間序列經(jīng)過(guò)合理的函數(shù)變換后都可以被認(rèn)為是由趨勢(shì)項(xiàng)部分、周期項(xiàng)部分和隨機(jī)噪聲項(xiàng)三個(gè)部分疊加而成。其中趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)可以用非隨機(jī)的函數(shù)進(jìn)行刻畫(huà),隨機(jī)噪聲項(xiàng)部分往往表現(xiàn)出某種平穩(wěn)波動(dòng)性,即平穩(wěn)時(shí)間序列。時(shí)間序列一般分為4種不同的模型:自回歸(AR)模型,滑動(dòng)平均(MA)模型,自回歸滑動(dòng)平均(ARMA)模型,自回歸綜合滑動(dòng)平均(ARIMA)模型。自回歸綜合滑動(dòng)平均(ARIMA)模型是應(yīng)用最廣泛的模型,是Box和Jenkins于20世紀(jì)70年代提出的,是將自回歸模型與滑動(dòng)平均模型有機(jī)組合起來(lái)的高級(jí)模型,該模型引入了差分方法來(lái)處理非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)序列[4-5]。

2 預(yù)測(cè)模型的建立

基于差分處理的ARIMA(p,d,q)模型,記為{Xt}～ARIMA(p,d,q),其中,{Xt}是數(shù)據(jù)序列,p,q為模型的階,d為差分的次數(shù)。

當(dāng)d為0時(shí),ARIMA模型即為ARMA模型,定義為:

式中:ai,bj為相應(yīng)的待估參數(shù),{εt}～WN(0,σ2),當(dāng)p,q分別為0時(shí),模型即為MA和AR模型。

2.1 模型的識(shí)別與定階

用ARIMA建模預(yù)測(cè),對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理后,首先需要通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)ACF和偏相關(guān)函數(shù)PACF計(jì)算,正確地確定相應(yīng)的模型及適當(dāng)?shù)碾A數(shù)。

對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列{Xt},有

通過(guò)判斷^ρk、^αk的截尾性來(lái)初步判斷模型的階數(shù),結(jié)構(gòu)的判斷準(zhǔn)則見(jiàn)表1。確定模型之后,利用AIC函數(shù)可以較準(zhǔn)確的確定模型的階數(shù)。

表1 平穩(wěn)時(shí)間序列ARMA模型識(shí)別準(zhǔn)則

式中:k為模型的階數(shù),為殘差方差,N為處理的數(shù)據(jù)序列的長(zhǎng)度。

2.2 參數(shù)的估計(jì)

ARIMA模型中的參數(shù)采用最小二乘估計(jì),估計(jì)參數(shù)a1,a2,…ap,b1,b2,…bq使殘差平方和

達(dá)到最小值。其中,B為相應(yīng)的延遲算子,{Xt}為經(jīng)過(guò)處理后的平穩(wěn)序列。

2.3 模型的檢驗(yàn)

殘差序列白噪聲檢驗(yàn):殘差序列白噪聲檢驗(yàn)就是要檢驗(yàn)序列的自相關(guān)函數(shù)^ρk與零有無(wú)顯著性差異,構(gòu)造box-pierce的修正統(tǒng)計(jì)量Q:

3 數(shù)據(jù)分析

本文采用的數(shù)據(jù)是2011-01-01 00∶00∶00起至2011-05-01 23∶45∶00的121 d的 IGS精密星歷中的鐘差數(shù)據(jù),采用時(shí)間序列(ARIMA)模型和灰色(GM)模型對(duì)精密鐘差進(jìn)行1 d和120 d的預(yù)報(bào),預(yù)報(bào)時(shí)間從2011-01-02 00∶00∶00開(kāi)始,并將預(yù)報(bào)值與IGS最終星歷進(jìn)行比較,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)報(bào)精度。

為分析GPS衛(wèi)星鐘類(lèi)型和鐘差變化特征,本實(shí)驗(yàn)選取具有代表性的Block IIR Rb鐘(PRN 02)、Block IIA Cs鐘(PRN 10)、Block IIR-M Rb鐘(PRN 12)和Block IIA Rb鐘(PRN 25)[6]作比較,其中時(shí)間序列建模的數(shù)據(jù)為2011-01-01 00∶00∶00～23∶45∶00的24 h的96個(gè)歷元,對(duì)于灰色模型,建模數(shù)據(jù)為2011-01-01 22∶00∶00～ 23∶45∶00的 2 h 的 8 個(gè)歷元。

方案1:分別利用ARIMA模型和GM模型對(duì)上述四顆衛(wèi)星進(jìn)行1 d的短期預(yù)測(cè)。

方案2:分別利用ARIMA模型和GM模型對(duì)PRN 02和PRN 10兩顆衛(wèi)星進(jìn)行120 d的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

表2、表3分別表示預(yù)報(bào)1 d和預(yù)報(bào)120 d的預(yù)測(cè)精度分析,圖1、圖2分別表示預(yù)報(bào)1 d和預(yù)報(bào)120 d的預(yù)測(cè)值與最終星歷的差值。

表2 方案1:預(yù)報(bào)誤差絕對(duì)值的最大值、平均值和均方根/ns(預(yù)報(bào)1 d)

由表2、表3和圖1、圖2分析可以看出:

(1)無(wú)論在短期預(yù)報(bào)還是在長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中,時(shí)間序列的預(yù)報(bào)誤差曲線的波動(dòng)幅度均小于灰色模型。時(shí)間序列(ARIMA)模型充分利用了歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,可以更好地反映鐘差的整體變化規(guī)律,提高了預(yù)報(bào)精度。

表3 方案2:預(yù)報(bào)誤差絕對(duì)值的最大值、平均值和均方根/μ s(預(yù)報(bào)120 d)

(2)在1 d的短期預(yù)報(bào)中,時(shí)間序列(ARIMA)模型的穩(wěn)定性要優(yōu)于灰色(GM)模型?；疑?GM)模型由于其本身的模型特點(diǎn),采用少數(shù)的歷元數(shù)據(jù)建模,因此預(yù)測(cè)精度比時(shí)間序列整體低1～2個(gè)數(shù)量級(jí)。Block IIR-M Rb鐘的預(yù)報(bào)精度最高,Block IIR Rb、Block IIA Rb鐘預(yù)報(bào)精度次之,但都能達(dá)到亞納秒級(jí),Block IIA Cs鐘精度最低,達(dá)到幾個(gè)納米。因此,Rb鐘的精度和穩(wěn)定性在整體上要優(yōu)于Cs鐘。

圖1 四顆衛(wèi)星的預(yù)測(cè)值與最終星歷的差值(預(yù)報(bào)1 d)

圖2 兩顆衛(wèi)星的預(yù)測(cè)值與最終星歷的差值(預(yù)報(bào)120 d)

(3)在120 d的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中,隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的延長(zhǎng),兩種模型的精度都有不同程度的降低,且誤差曲線沒(méi)有明顯的分布規(guī)律性,并有誤差發(fā)散的趨勢(shì)。

4 結(jié) 語(yǔ)

基于時(shí)間序列(ARIMA)模型的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)充分利用了歷史數(shù)據(jù)[7],更能反映衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)間的相關(guān)性,建模迅速,計(jì)算方便,相比于灰色(GM)模型能得到更高的預(yù)測(cè)精度,在短期預(yù)報(bào)中能滿足精密單點(diǎn)定位的需要。不同種類(lèi)的衛(wèi)星所搭載的衛(wèi)星鐘的精度和穩(wěn)定性不同,本文計(jì)算結(jié)果顯示Rb鐘的精度和穩(wěn)定性要優(yōu)于Cs鐘。

[1]李征航,黃勁松.GPS測(cè)量與數(shù)據(jù)處理[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2005:46-50.

[2]李瑋,程鵬飛,秘金鐘.灰色模型在快速衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[J].測(cè)繪科學(xué),2010,35(3):43-45.

[3]鄭作亞,盧秀山.幾種GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法比較及精度分析[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,27(4):6-15.

[4]何書(shū)元.應(yīng)用時(shí)間序列[M].北京:北京大學(xué)出版社,2003:200-224.

[5]徐君毅,曾安敏.ARIMA(0,2,q)模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2009,29(5):116-118.

[6]黃觀文,張勤,王繼剛.GPS衛(wèi)星鐘差的估計(jì)與預(yù)報(bào)研究[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2009,29(6):118-122.

[7]劉大杰,陶本藻.實(shí)用測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法[M].北京:測(cè)繪出版社,2003:72-99.

Application of ARIMA Model in Satellite Clock Error Forecasting

ZHAO Liang1,LAN Xiao-qi1,SHENG Jian-yue2
(1.College of Earth Science and Engineering,Hohai University,Nanjing,Jiangsu210098,China;2.Shanghai Gangshen Construction Management Co.,Ltd.,Shanghai200135,China)

To improve the precision of precise point positioning(PPP),the satellite clock erroe forecasting with high precision must be obtained and applied.With focus on the important role of the satellite clock error forecasting in precise point positioning,the time series theory andGM model were used to predict 1d and 120ds'satellite clock error.The final results show that the forecasting accuracy of ARIMA model is better than that of GM model,so it is fitter to be used in practice,at the same time,the precision and stability of Rb clock are better than those of Cs clock.

time series;grey model;satellite clock error forecasting;precision analysis;atomic clock's precision

V474.9

A

1672—1144(2012)01—0135—03

2011-10-25

2011-12-07

趙 亮(1985—),男(漢族),江蘇南通人,碩士研究生,研究方向?yàn)镚PS理論和數(shù)據(jù)處理。