梯形斷面均勻流水深的近似計算公式

劉 剛,滕 凱

(1.齊齊哈爾市防汛指揮部辦公室,黑龍江齊齊哈爾 161006;2.齊齊哈爾市水務(wù)局,黑龍江齊齊哈爾 161006)

梯形斷面均勻流水深的近似計算公式

劉 剛1,滕 凱2

(1.齊齊哈爾市防汛指揮部辦公室,黑龍江齊齊哈爾 161006;2.齊齊哈爾市水務(wù)局,黑龍江齊齊哈爾 161006)

梯形斷面均勻流水深計算需進(jìn)行高次方程求解,無法直接完成。針對目前傳統(tǒng)算法及近似算法存在的計算繁瑣、精度不高等問題,通過對其均勻流方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換,采用優(yōu)化擬合的方法,以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù),在實用參數(shù)范圍內(nèi),經(jīng)逐次逼近擬合獲得了計算較為簡捷、最大相對誤差小于0.36%的近似公式,具有一定的推廣意義。

梯形斷面;均勻流水深;優(yōu)化擬合;近似計算

由于梯形斷面渠道現(xiàn)場施工放樣及開挖尺寸容易控制,施工方法相對簡單,因此在水利水電灌溉排水及城市供排水工程中得到廣泛應(yīng)用。而在該種斷面設(shè)計中,均勻流水深則是設(shè)計工作者必須獲取的一個基本水力要素。由于梯形斷面渠道均勻流水深計算需完成高次方程求解,無法直接獲得。而傳統(tǒng)的圖表法及試算法不但過程繁復(fù)且成果精度難以保證[1-3],而由計算機(jī)編程求解又不便基層工程技術(shù)人員實際工作[4-6]。為了改進(jìn)傳統(tǒng)計算方法存在的這些問題,有關(guān)學(xué)者開展了大量的研究工作,并相繼提出了多種計算公式[6-13],按計算方法可歸納為兩大類,一類為迭代法,該方法首先在大量分析工作的基礎(chǔ)上提出較合理的迭代初值計算式,經(jīng)反復(fù)迭代計算完成求解,由于初值及迭代式比較復(fù)雜,一般要進(jìn)行3次以上迭代,因此計算過程繁瑣,不便實際應(yīng)用。另一類為近似法,該方法是在對均勻流水深計算公式進(jìn)行優(yōu)化擬合的基礎(chǔ)上,整理提出近似直接計算式,但由于這些擬合算式仍不夠簡單,且替代精度不高,實際應(yīng)用尚不理想。為進(jìn)一步簡化梯形斷面渠道均勻流水深的計算過程,提高求解精度,本文采用優(yōu)化擬合的方法,以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù),獲得了一種表達(dá)式較為簡捷、計算精度較高的近似公式。

1 梯形斷面均勻流水深基本方程

求解明渠均勻流水深的基本方程為:

式中:Q為過水流量(m3/s);A為過水?dāng)嗝婷娣e(m2);n為渠床糙率;i為渠底坡降;X為過水濕周(m)。

對梯形斷面渠道:

式中:b為梯形渠道底寬(m);m為梯形渠道的邊坡比;h為渠道的均勻流水深(m);B為對應(yīng)于均勻流水深時的水面寬度(m);λ為對應(yīng)于均勻流水深時的無量綱水面寬。

將式(2)、式(3)及式(5)代入式(1),并設(shè)

經(jīng)進(jìn)一步整理即可獲得求解梯形斷面渠道均勻流水深的計算公式為:

2 梯形斷面均勻流水深近似公式

2.1 擬合公式的建立

式(7)為高次方程,無法直接獲解。為避免利用式(7)求解高次方程問題,現(xiàn)假定:λ=f(k)函數(shù)在工程實用范圍內(nèi)(即1.05≤λ≤5.5,0.5≤m≤7)可以替代式(7),考慮式(7)中m～λ～k的對應(yīng)關(guān)系,展繪m～ λ及λ～k關(guān)系曲線,經(jīng)數(shù)值相關(guān)回歸分析,以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)[14],即

式中:N為擬合計算的數(shù)組數(shù)。

經(jīng)逐次逼近擬合[15]即可獲得如下替代函數(shù),即

式中:B、C均為中間變量。

2.2 擬合公式的精度分析

考慮在實際工程中,當(dāng)m小于0.5時,多采用整體襯砌式的矩形、U形或拋物線形斷面;當(dāng)m大于4時(多用于過水流量較大的渠道邊坡),由于工程占地面積較大,實際應(yīng)用較少,因此將式(8)與式(7)擬合精度的參數(shù)比較范圍取為:0.5≤m≤7,1.05≤λ≤5.5,在此范圍內(nèi)取不同的mi、λi值即可由式(7)求得ki,再將 λi、ki分別代入式(9)及(10)求得Bi、Ci,進(jìn)而由式(8)計算出與之相對應(yīng)的 λ′i,并由下式完成式(8)替代式(7)的擬合相對誤差計算:

計算結(jié)果見表1所示。

由表1可見,在工程實用范圍內(nèi),用式(8)替代式(7)的最大擬合相對誤差為0.36%。其中相對誤差小于0.10%的計算點(diǎn)占總點(diǎn)數(shù)的48%,相對誤差在0.20%～0.36%范圍內(nèi)的計算點(diǎn)數(shù)僅占總點(diǎn)數(shù)的23%,可見,本文公式具有較好的計算精度。

2.3 與其它典型公式的比較

在現(xiàn)有的梯形斷面均勻流水深近似計算公式中,就公式的表達(dá)形式、通用性及精度三方面而言,文獻(xiàn)[7]及[13]所提出的近似計算公式形式較簡單,擬合精度相對較高,在0.5≤m≤7,1.05≤λ≤5.5范圍內(nèi),最大相對誤差分別為 2.060%和0.822%。而本文公式在表達(dá)形式上要簡單于文獻(xiàn)[7]及[13],在精度上文獻(xiàn)[7]及[13]的最大擬合相對誤差分別是本文的5.72倍和2.28倍(見表2),可見,本文式(8)具有更好的實用性。

3 應(yīng)用舉例

選文獻(xiàn)[7]算例:現(xiàn)有一梯形渠道,已知通過流量Q=3.0 m3/s,渠底坡降i=0.0049,渠道糙率n=0.0225,邊坡比系數(shù)m=1.0,渠底設(shè)計寬度b=1.0 m,試計算渠道均勻流水深h值。

解:根據(jù)已知參數(shù),由本文式(6)、式(9)及(10)可得:

將C=0.5780,B=1.0052分別代入式(8)可得

將λ=2.7191代入式(5)即可求得均勻流水深為:

表1 式(8)擬合精度比較成果表

表2 式(8)與其它典型公式比較

利用微機(jī)編程經(jīng)逼近計算可求得均勻流水深的精確解為:h=0.861 m,本文公式計算值的相對誤差為0.116%。

4 結(jié) 語

本文針對目前梯形斷面均勻流水深計算方法存在的問題,通過采用優(yōu)化擬合的方法,經(jīng)逐次逼近計算,獲得了公式表達(dá)形式相對簡單且具有較高擬合精度的替代函數(shù),在工程實用范圍內(nèi),計算誤差不超過0.36%。通過應(yīng)用舉例計算分析表明,本文公式計算方法簡捷,成果精度可靠?？稍趯嶋H工程的設(shè)計中推廣應(yīng)用。

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Approximate Calculation Formula for Uniform Flow Depth of Trapezoidal Cross-section

LIU Gang1,TENG Kai2
(1.Qiqihar City Flood Control HeadquartersOffice,Qiqihar,Heilongjiang161006,China;2.Qiqihar City Water Conservancy Affairs Bureau,Qiqihar,Heilongjiang161006,China)

The calculation for the uniform flow depth of trapezoidal cross-section should be done by completing the solution of high-order equations,and could not be done directly.According to some problems in the traditional algorithmsand approximate algorithms,through the mathematical transformation for the uniform flow equations and optimization fitting method,and taking the minimum standard remaining deviation for objective function,the approximate formula is achieved by approximating and fitting successively in the range of practical parameters,the maximum relative error of which is less than 0.36%,and which has a certain significance for promoting and spreading.

trapezoidal cross-section;uniform flow depth;optimal fitting;approximate calculation

TV131.4

A

1672—1144(2012)01—0039—04

2011-11-21

2011-12-20

劉 剛(1969—),男(漢族),齊齊哈爾人,高級工程師,主要從事防汛及減災(zāi)工作。

滕 凱(1957—),男(漢族),齊齊哈爾人,高級工程師,主要從事防汛及減災(zāi)研究及管理工作。