碟形砂輪磨削面齒輪的數(shù)控規(guī)律

彭先龍，李建華，方宗德，蘇進展，裴杉杉

（1.西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院，710072 西安;2.西北機電工程研究所，712099 陜西咸陽）

碟形砂輪磨削面齒輪的數(shù)控規(guī)律

彭先龍1，李建華1，方宗德1，蘇進展1，裴杉杉2

（1.西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院，710072 西安;2.西北機電工程研究所，712099 陜西咸陽）

為制造高精度面齒輪，對用碟形砂輪加工面齒輪的數(shù)控磨齒方法進行研究.由插齒刀的齒面確定適用于磨削直齒、斜齒面齒輪的碟形砂輪曲面，分析碟形砂輪磨削面齒輪的展成原理，通過坐標變換建立碟形砂輪磨削面齒輪的齒面方程.根據(jù)不同加工方法中刀具位置和運動的等價原則確定磨削面齒輪的數(shù)控機床運動規(guī)律，為方便編程，將該運動規(guī)律用二元Taylor展開式表示.計算數(shù)控加工齒面與理論齒面的偏差，計算實例的最大偏差為0.071 9 μm，表明用碟形砂輪磨削面齒輪是可行的，數(shù)控規(guī)律是正確的，能夠達到理想的磨齒精度.

面齒輪;碟形砂輪;磨齒;數(shù)控

面齒輪在國外已成功應(yīng)用于直升機的主傳動系統(tǒng)，能減輕齒輪箱重量和提高承載能力［1］，并能簡化分流－匯流傳動結(jié)構(gòu)［2］.用于面齒輪的加工方法有插齒［3－5］、蝸桿刀具滾齒或磨齒等加工技術(shù).由于插齒加工的齒面精度較低，不能用于航空面齒輪傳動.蝸桿刀具滾切、磨削面齒輪加工效率高［3，6－7］，但蝸桿齒面受奇異性影響，導(dǎo)致某些參數(shù)的插齒刀不存在對應(yīng)蝸桿，且滾刀或砂輪制造復(fù)雜，磨損后的修整困難.

至今，國內(nèi)外只有格林森公司的H.J.Stadtfeld論述過碟形砂輪磨削面齒輪的方法［8］.采用碟形砂輪磨削面齒輪具有砂輪結(jié)構(gòu)簡單，設(shè)計制造和修整方便且不受面齒輪設(shè)計參數(shù)限制的優(yōu)點.

本文將主要研究碟形砂輪的設(shè)計，研究采用碟形砂輪加工面齒輪的磨齒方法及其數(shù)控規(guī)律.

1 小齒輪和碟形砂輪的齒面

1.1 小齒輪和插齒刀的齒面方程

圖1是插齒刀的坐標系，齒面位矢如式(1)所示.

式中:下標s指定插齒刀，下文亦同;ψs為齒輪展成轉(zhuǎn)角，計算方法見文獻［4 － 5，7，9］;β 為螺旋角;α是壓力角;us、ls是齒面參數(shù);S0=πm/2是分度圓處齒槽寬.插齒刀的單位法矢可由下式表示:

圖1 小齒輪和插齒刀的坐標系

1.2 碟形砂輪的設(shè)計

碟形砂輪的齒面為一旋轉(zhuǎn)曲面，其產(chǎn)形線是碟形砂輪與插齒刀的接觸線［1，9－11］.對于斜齒插齒刀，為了獲得接觸線的方程必須推導(dǎo)碟形砂輪與斜齒插齒刀的嚙合方程，這種方法比較復(fù)雜.碟形砂輪的產(chǎn)形線可以通過斜齒插齒刀的端面截線表示，如圖2中粗實線所示.將式(1)中的法面壓力角α和齒槽寬S0替換為斜齒插齒刀的端面參數(shù)，并且令ls和Rs的第三分量為零，即可得到斜齒插齒刀的端面截線.這樣處理后，無論是斜齒還是直齒都是適用的.

圖2 碟形砂輪的確定

圖2中的坐標系Ss、Sg和Sk分別與插齒刀、碟形砂輪和機架固聯(lián).Eg=rg－rps為碟形砂輪和插齒刀軸線間的距離，其中rg為碟形砂輪的平均半徑;rps為插齒刀的分度圓半徑.ψg為產(chǎn)形線繞砂輪軸線xg的轉(zhuǎn)角.由坐標變換可導(dǎo)出碟形砂輪的齒面位矢為

式中，Rsx、Rsy為式(1)中Rs在x軸和y軸上的分量，Mgk、Mks分別表示坐標系Sk到Sg和Ss到Sk的坐標變換矩陣，下文類同.砂輪的法矢為

式中Lgk、Lks為由Mgk、Mks刪除最后一行和最后一列得到的變換矩陣，下文亦類同.

2 面齒輪

2.1 面齒輪的磨齒原理

碟形砂輪加工面齒輪的磨齒原理如圖3所示.圖中面齒輪1與插齒刀2嚙合，插齒刀2同時與碟形砂輪3嚙合，因此碟形砂輪能夠與面齒輪正確嚙合.在加工過程中，面齒輪繞其回轉(zhuǎn)軸z2旋轉(zhuǎn)，同時砂輪繞插齒刀軸線zs懸擺，砂輪的懸擺模擬了插齒刀的回轉(zhuǎn)運動，這就是面齒輪磨齒的展成運動.砂輪懸擺速度ωs，懸擺角度φs與面齒輪轉(zhuǎn)速ω2和轉(zhuǎn)角φ2滿足下式:

式中Ns、N2、m2s分別是插齒刀的齒數(shù)，面齒輪的齒數(shù)和插齒刀與面齒輪的傳動比.

圖3 面齒輪磨齒原理

碟形砂輪、插齒刀和面齒輪三者同時嚙合，它們之間的瞬時接觸線如圖4所示，Lgs是碟形砂輪與插齒刀的接觸線，Ls2為插齒刀和面齒輪的接觸線.Lgs與Ls2相交于P點，因此碟形砂輪與面齒輪在每個瞬時為點接觸.故碟形砂輪繞zs懸擺一個周期，只能在面齒輪上磨出一個帶狀區(qū)域，要磨削出整個面齒輪的齒面，碟形砂輪還必須做平行于zs的直線運動，這就是碟形砂輪的進給運動.當?shù)紊拜喌奈灰茷長g時，斜齒插齒刀的轉(zhuǎn)角Δφs為

式中ps是斜齒插齒刀的螺旋參數(shù).則斜齒面齒輪的轉(zhuǎn)角Δφ2為

對于直齒插齒刀和直齒面齒輪Δφs、Δφ2均為零.

圖4 插齒刀齒面上的接觸線

用碟形砂輪磨削面齒輪可以看成為雙參數(shù)包絡(luò)過程，兩組獨立的運動參數(shù)分別為(φs，φ2)和(Δφ2，Lg).另外，面齒輪磨削的切削運動是砂輪繞軸xg的高速旋轉(zhuǎn)ωg.當切制完一個輪齒后，面齒輪分度，切制下一個輪齒，實行逐齒加工，完成面齒輪所有輪齒的磨削.

2.2 面齒輪的齒面方程

面齒輪展成坐標系如圖5所示，Sg、S2和Ss分別與碟形砂輪、面齒輪和原插齒刀固聯(lián)，其余坐標系為輔助坐標系，L0為面齒輪齒寬中點.

圖5 面齒輪展成坐標系

為了簡化面齒輪齒面方程的推導(dǎo)，先推導(dǎo)用碟形砂輪表示插齒刀的齒面方程，在坐標系Ss中有

式中，Msg=MstMtg為坐標變換矩陣，上標g表示該插齒刀是由碟形砂輪齒面推導(dǎo)的.碟形砂輪與插齒刀的嚙合方程如下:

式中vgsg是碟形砂輪與插齒刀在Sg中的相對速度.

聯(lián)立式(2)和式(3)即可用碟形砂輪齒面表示插齒刀的齒面方程，并且嚙合方程式(3)可以顯式表示，即 ψg= ψg(us，Lg)，這種方法比文獻［1，9］中的方法簡單，但插齒刀齒面法矢需用式(4)確定:

面齒輪的齒面方程由下述方法確定:

式中:M2s=M2pMpmMms為坐標變換矩陣，插齒刀與面齒輪的嚙合方程為

式中vss2為在Ss中插齒刀與面齒輪的相對速度.聯(lián)立式(5)和式(6)即可表示面齒輪齒面.

3 面齒輪磨齒數(shù)控規(guī)律

由于用碟形砂輪磨削面齒輪的運動比較復(fù)雜，在普通磨齒機床上難以完成.圖6是秦川機床廠制造的六軸聯(lián)動數(shù)控機床，由圖6可知，平移X、Y和B軸的旋轉(zhuǎn)相當于使砂輪軸繞插齒刀軸線做懸擺運動，與A軸的旋轉(zhuǎn)共同完成展成運動.平移Z相當于進給運動.砂輪軸線的自轉(zhuǎn)是切削運動，不參與齒面的形成過程.

圖6 數(shù)控機床

由第2節(jié)的論述可知，碟形砂輪磨削面齒輪的運動和位置可以表述為

式中(i，j=1，2，3，4)，上標 G 表示面齒輪抽象磨削的坐標變換.

圖7是根據(jù)圖6所示機床定義的數(shù)控坐標系，其中xg和z2分別是砂輪和面齒輪的回轉(zhuǎn)軸分，λ、μ是B和A軸的轉(zhuǎn)角.在數(shù)控系統(tǒng)中有

圖7 數(shù)控機床坐標系

數(shù)控方法與抽象方法加工出相同齒面的等價原則是工件與刀具間的相對位置和運動不變［12］，即

最終解得:

為了方便編程，可對式(7)在參考點φs=0、Lg=0處用二元函數(shù)的Taylor展開式表示.例如對λ有

4 算例

以直齒面齒輪和斜齒面齒輪為計算實例，設(shè)計參數(shù)如表1所示.當n=4時，它們的數(shù)控規(guī)律分別由式(8)、(9)表示.

定義為數(shù)控加工齒面與理論齒面的偏差，斜齒面齒輪的偏差如圖8，最大齒面誤差為0.071 9 μm.

表1 面齒輪設(shè)計參數(shù)

由式(8)和式(9)可以看出，斜齒面齒輪的數(shù)控規(guī)律要比直齒面齒輪的數(shù)控規(guī)律復(fù)雜得多，由于B軸不重合于砂輪懸擺軸，導(dǎo)致X、Y向運動復(fù)雜.由圖8可以看出，用該數(shù)控規(guī)律加工面齒輪可以達到較高的精度，說明了該加工方法的可行性和數(shù)控規(guī)律的正確性.

圖8 數(shù)控加工齒面誤差

5 結(jié)論

1)設(shè)計了直齒、斜齒通用的碟形砂輪.對于斜齒，改進和簡化了碟形砂輪的設(shè)計，避免了碟形砂輪設(shè)計過程中嚙合方程的推導(dǎo).

2)分析了碟形砂輪磨削面齒輪的展成原理，通過坐標變換，建立了碟形砂輪磨削直齒、斜齒面齒輪的齒面方程.

3)根據(jù)抽象加工與數(shù)控加工中位置和運動的等價原則，建立了面齒輪雙參數(shù)包絡(luò)法數(shù)控加工模型，因此該模型也適用于蝸桿刀具加工面齒輪的場合.將數(shù)控規(guī)律用二元Taylor展開式近似表示，以便編程.

4)計算了直齒、斜齒面齒輪的數(shù)控規(guī)律，數(shù)控加工斜齒面齒輪的齒面誤差為0.071 9 μm，說明了該數(shù)控規(guī)律的正確性.

［1］LITVIN F L.Gear geometry and applied theory［M］.Second edition.New York:Cambridge University press，2004:508－546.

［2］BILL R C.Summary highlights of the advanced rotorcraft transmission(ART)program［R］.Washington:American Institute ofAeronautics， 1992:AIAA Paper，92－3362.

［3］LITVIN F L，F(xiàn)UENTES A.Face gear drive with helical involute pinion:geometry，generation by a shaper and a worm，avoidance of singularities and stress analysis［R］.Washington:NASA Center for Aerospace Information，2005:NASA/CR—2005－213443.

［4］沈云波，方宗德，趙寧，等.斜齒面齒輪幾何傳動誤差的設(shè)計［J］.航空動力學(xué)報，2008，23(11):2147－2152.

［5］趙寧，曾曉春，郭輝，等.斜齒面齒輪齒面仿真及輪齒接觸分析［J］.航空動力學(xué)報，2008，23(10):1927－1932.

［6］LITVIN F L，F(xiàn)UENTES A，ZANZI C，et al.Face gear drive with spur involute pinion geometry，generation by aworm，stress analysis［J］.computer methods in applied mechanics and engineering，2002，191(25/26):2785－2813.

［7］郭輝.面齒輪滾齒加工方法及其嚙合性能研究［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院，2009:11－53.

［8］STADTFELD H J.Coniface face gear cutting and grinding［CB/OL］.Kassel:Gleason Corporation，(2010)［2011 －07 －15］.http://www.gearsolutions.com/article/detail/6020/coniface-face-gear-cutting-and-grinding.

［9］LITVIN F L，F(xiàn)UENTES A，GONZALEZ-PEREZ I，et al.Modified involute helical gears:Computerized design，simulation of meshing and stress analysis［J］.computer methods in applied mechanics and engineering，2003，192(33/34):3619－3655.

［10］ZANZI C，PEDRERO J I.Application of modified geometry of face gear drive［J］.computer methods in applied mechanics and engineering，2005，194(27/28/29):3047－3066.

［11］LITVIN F L，F(xiàn)UENTES A，ZANZI C.Design，generation，and stress analysis of two version of geometry of face gear drives［J］.Mechanism and Machine theory，2002，37(10):1179－1211.

［12］LITVIN F L，CHEN N X.Generation of gear tooth surface by application of CNC machines［R］.Washington:NASA center for aerospace information，1995:NASA/CR 1995－195306.

Computer numerical controlling rules for applying grinding disk in face gear grinding

PENG Xian-long1，LI Jian-hua1，F(xiàn)ANG Zong-de1，SU Jin-zhan1，PEI Shan-shan

(1.School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，710072 Xi'an，China;2.Northwest Institute of Mechanical＆ Electrical Engineering，712099 Xianyang，Shanxi，China)

To manufacture face gear with high precise，computer numerical controlled(CNC)grinding method and grinding disk in face gear machining was investigated.The tooth surface equation of face gear machined by grinding disk was determined by coordinate transformation.The motion laws of CNC machine were established by the equivalence principle of position and movement of tool in different machining method，and then the laws were transformed into Taylor expansion for convenient programming.The deviation of CNC machining tooth surface from that of theoretical was calculated，in an illustrated example the maximal deviation was 0.0719 micrometers.The result shows that the grinding method of face gear is feasible，the CNC motion laws are correct and the desired precision is easy to meet.

Face gear;Grinding disk;Grinding;Computer numerical controlling

TH132.41

A

0367－6234(2012)11－0101－04

2011－07－23.

國家自然科學(xué)基金資助項目(50875211).

彭先龍(1982—)，男，博士研究生;

方宗德(1942—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

彭先龍，pxljsh@126.com.

book=196,ebook=345

(編輯 楊 波)