基于單擺的自動平板控制系統(tǒng)

王建行，李莉莉，劉娟意

(浙江海洋學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，浙江舟山 316004)

單擺是一種經(jīng)典物理模型,它是一個(gè)形狀、大小都可以看成質(zhì)點(diǎn)的小球系在不計(jì)伸長和質(zhì)量的擺線上的理想狀態(tài)，各種單擺系統(tǒng)又是常見工程系統(tǒng)，基于單擺的應(yīng)用和研究已經(jīng)有很多，特別是在機(jī)械振動、汽車工程等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值[1-3]。系統(tǒng)的控制離不開自動控制系統(tǒng)，自動控制系統(tǒng)是在無人直接參與下可使生產(chǎn)過程或其他過程按期望規(guī)律或預(yù)定程序進(jìn)行的控制系統(tǒng)。自動控制系統(tǒng)是實(shí)現(xiàn)自動化的主要手段。本文設(shè)計(jì)一個(gè)基于單擺模型的自動控制系統(tǒng)：在單擺上安裝一個(gè)可旋轉(zhuǎn)的平板，基于單擺的運(yùn)動，設(shè)計(jì)一自動控制系統(tǒng)，自動采集單擺的運(yùn)動信息，分析處理后，進(jìn)而控制平板的擺動，使置于平板上的物件在單擺自由擺動的情況下保持穩(wěn)定，該單擺控制系統(tǒng)可有效應(yīng)用到汽車抗震減震的研究中。

1 系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)目標(biāo)和方案

圖1是系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)圖，擺桿的一端通過轉(zhuǎn)軸固定在一支架上，另一端固定安裝1臺電機(jī)，平板固定在電機(jī)轉(zhuǎn)軸上；當(dāng)擺桿擺動時(shí)，驅(qū)動電機(jī)可以控制平板轉(zhuǎn)動。該平板控制系統(tǒng)的具體控制目標(biāo)是能夠?qū)崿F(xiàn)擺桿繞著轉(zhuǎn)軸大角度旋轉(zhuǎn)時(shí)(小于等于60°)，單擺上固定的可旋轉(zhuǎn)控制平臺能夠保持穩(wěn)定，平臺上面的硬幣(測試時(shí)最多8個(gè))盡量不滑落。

如圖2所示，本系統(tǒng)是由控制器模塊、電機(jī)模塊、角度檢測模塊、顯示模塊、電源模塊等組成。

圖1 系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)圖Fig.1 System mechanic structure

2 理論分析

在本設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的振動穩(wěn)定性通過硬幣置于平板，隨著平板的擺動而不滑落來檢驗(yàn)的，以擺動的角度、硬幣的數(shù)量以及不掉落的概率等來衡量振動的穩(wěn)定性。要提高穩(wěn)定性，主要的理論分析包括：對平板和硬幣、硬幣與硬幣間的摩擦系數(shù)進(jìn)行研究、對平板上的硬幣進(jìn)行受力分析，對單擺大角度運(yùn)動進(jìn)行建模，考慮運(yùn)動周期等因素，最后推導(dǎo)出單板擺動過程中，單擺擺動角度與平板和水平面的角度的關(guān)系，以保證硬幣不滑落。下面就進(jìn)行這方面的討論。

2.1 系統(tǒng)的幾何模型

圖3是該系統(tǒng)受力分析時(shí)的參照幾何圖，其中θ為單擺擺桿與垂直線的夾角，α為平板與水平線的夾角。系統(tǒng)工作時(shí)，角度傳感器測定擺桿與垂直方向的夾角θ，平板控制系統(tǒng)根據(jù)采集的角度數(shù)據(jù)θ進(jìn)行算法分析，通過控制電機(jī)轉(zhuǎn)動來調(diào)整平板的擺放角度α，從而使擺桿在進(jìn)行大角度運(yùn)動的情況下，進(jìn)行自行調(diào)整而使硬幣不滑落。

2.2 平板與硬幣的摩擦問題

單擺的大角度運(yùn)動屬于自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，這種系統(tǒng)控制有兩個(gè)必須研究的重要階段：第一個(gè)階段是起擺瞬間的控制問題；第二個(gè)階段是中間平衡點(diǎn)的控制問題，涉及到力學(xué)模型和控制等學(xué)科。根據(jù)設(shè)計(jì)的需要，進(jìn)行的指標(biāo)的確定，單擺靜止時(shí)，1個(gè)硬幣放置于平板，α大于30°時(shí)一定要滑落(保證摩擦系數(shù)不要太大)，起擺的擺角在30°～60°時(shí)，通過平板的擺動使硬幣盡量不滑動即保持穩(wěn)定。為獲得滑動系數(shù)等相關(guān)指標(biāo)進(jìn)行了實(shí)際的測試，單擺固定靜止時(shí)，改變平板角度α，測試硬幣起滑瞬間的α，經(jīng)多次測試，包括順時(shí)針和逆時(shí)針都有，取平均后數(shù)據(jù)見表1。

圖2 系統(tǒng)功能框圖Fig.2 System functional block diagram

圖3 幾何圖Fig.3 Mechanical analysis diagram

表1 起滑瞬間角度Tab.1 α at the moment of the coins starting to slide

表1中α與平板和硬幣、硬幣與硬幣間的最大靜摩擦力有直接關(guān)系。在低速情況下，根據(jù)摩擦力簡化模型[4-5]，有

其中 Tf為干擾力矩，Tc為庫倫力矩，ΔT＝Ts－Tc，Ts是最大靜摩擦力矩，w 為角速度。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件，忽略ΔT，即最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。首先考慮在平板上放置一個(gè)硬幣的情況，根據(jù)牛頓第一定律進(jìn)行受力分析，有 f靜max＝f動＝Gsinα＝μGcosα，因此，平板和硬幣的滑動摩擦系數(shù) μ1＝tanα＝tan25.5°＝0.477。放置2個(gè)硬幣時(shí)，經(jīng)分析可知，由于起滑瞬間角度與放置一個(gè)時(shí)始終要小，若瞬間滑動發(fā)生在硬幣與平板之間，那么角度應(yīng)該與之前放置1個(gè)硬幣時(shí)相同，所以應(yīng)該直到25.5°才滑落，故判定應(yīng)該先在硬幣與硬幣之間發(fā)生相對滑動，對位于上面位置的硬幣進(jìn)行受力分析，可得硬幣之間的摩擦系數(shù)為μ2＝tan21.2°＝0.388。以此類推，3個(gè)硬幣及以上的情況比較復(fù)雜，初步判斷應(yīng)該易發(fā)生滑動的應(yīng)該是從上而下倒數(shù)第二個(gè)硬幣，但由于實(shí)驗(yàn)條件所限、硬幣本身紋路不對稱、偶然因素多等原因，致使起滑瞬間角度誤差越來越大，平均起滑瞬間角度越來越小。

2.3 單擺大角度運(yùn)動模型

單擺做微幅運(yùn)動時(shí)(擺角小于5°)，屬于簡諧振動，單擺大角度運(yùn)動作為非簡諧振動，相關(guān)研究也有不少，這里以簡諧振動為基礎(chǔ)，做適當(dāng)修正。簡諧運(yùn)動中，如圖3所示，在硬幣在平板上未發(fā)生相對滑動的情況下，將平板的硬幣作為單擺質(zhì)點(diǎn)在該位置進(jìn)行受力分析，其中G為硬幣重力，f為靜摩擦力，N為平板對硬幣的彈力，a為硬幣此時(shí)的所受合力加速度。

根據(jù)牛頓第二定律：合力矩=外加力矩+阻尼力矩+彈性恢復(fù)力矩，此時(shí)的硬幣的外合力加速度a＝-gsinθ，方向與擺桿方向垂直，指向中心位置。對運(yùn)動中的硬幣受力分析得以下公式：

計(jì)算得出：

考慮2個(gè)以上的硬幣的情況，取μ2，利用MATLAB仿真得到θ與α的關(guān)系圖(圖4)，其中θ0為起始條件，圖中取最大值60°，L1是上限線，L2是下限線，L1和L2之間是穩(wěn)定工作區(qū)域，為保證平板安全啟動，起擺位置盡量接近安全角度21.2°，穩(wěn)定平滑地轉(zhuǎn)動，以及在中間平衡點(diǎn)穩(wěn)定過渡，取L3的角度線，得：

考慮大角度單擺的周期[6]，其中l(wèi)為單擺的擺長，這里取1 m。

圖4 θ與α的關(guān)系圖Fig.4 Graph of a relation between θ and α

因此平均單位時(shí)間轉(zhuǎn)動角度：

3 系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

3.1 MCU控制模塊的方案選擇

系統(tǒng)的核心無疑是單片機(jī)部分。常見的ATMEL公司的51系列單片機(jī)軟件編程自由度大，可實(shí)現(xiàn)各種控制算法和邏輯控制，但需外接模數(shù)轉(zhuǎn)換器來滿足數(shù)據(jù)采樣的要求，硬件接口復(fù)雜，高速A/D與低速單片機(jī)之間速度的不匹配，給編程帶來一定的難題，最重要的是其運(yùn)算速度比較慢，可能無法適應(yīng)該設(shè)計(jì)。

本系統(tǒng)采用MC9S12XS128微控制器作為控制模塊。MC9S12XS128系列產(chǎn)品滿足了對設(shè)計(jì)靈活性和平臺兼容性的需求，并在一系列電子平臺上實(shí)現(xiàn)了可升級性、硬件和軟件可重用性、以及兼容性。其CPU最高總線速度40 MHz，具有64 KB、128 KB和256 KB閃存選項(xiàng)，均帶有錯誤校正功能 ，帶有ECC的4 KB至8 KB Data Flash，用于實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)或程序存儲，可配置8、10或12位模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)，轉(zhuǎn)換時(shí)間3 μs，帶有16-位計(jì)數(shù)器的、8-通道定時(shí)器，出色的EMC及運(yùn)行和停止省電模式。MC9S12XS128完全能夠完成本設(shè)計(jì)的要求。該模塊外接顯示屏作為人機(jī)交換界面，顯示當(dāng)前所做任務(wù)。與角位移傳感器鏈接，處理采集到的數(shù)據(jù)之后通過電機(jī)驅(qū)動模塊接口后傳送給電機(jī)，完成相應(yīng)打角任務(wù)。

3.2 電機(jī)選取和驅(qū)動的實(shí)現(xiàn)

電機(jī)模塊的選擇是整個(gè)系統(tǒng)的關(guān)鍵所在，按照設(shè)計(jì)的要求，需要很高的精確度，并且平板需要較高的制動性。

方案一：采用普通直流電機(jī)。直流電機(jī)具有優(yōu)良的調(diào)速特性，調(diào)速平滑、方便，調(diào)整范圍廣；對驅(qū)動芯片要求低，但是直流電機(jī)無法精確控制電機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)，并且誤差將會進(jìn)行疊加，在控制精度上遜于步進(jìn)電機(jī)。

方案二：采用步進(jìn)電機(jī)。步進(jìn)電機(jī)的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是具有快速啟停能力，另一個(gè)顯著特點(diǎn)是轉(zhuǎn)換精度高。正轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)控制靈活。相比直流電機(jī)的工作方式，步進(jìn)電機(jī)是一種將電脈沖轉(zhuǎn)化為角位移的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。同時(shí)可以通過控制脈沖頻率來控制電機(jī)轉(zhuǎn)動的速度和加速度，從而達(dá)到調(diào)速的目的。

本系統(tǒng)采用東芝公司的TB6560AHQ二項(xiàng)步進(jìn)電機(jī)專用驅(qū)動芯片，與采用該芯片的驅(qū)動板在電路上，結(jié)構(gòu)上使用了可靠性設(shè)計(jì)，在普通散熱方式的情況下可穩(wěn)定的工作在3 A電流，完全可以驅(qū)動本設(shè)計(jì)中的步進(jìn)電機(jī)。同時(shí)該方案可以將信號細(xì)分和電流衰減，實(shí)現(xiàn)最小達(dá)0.1°的步距，使得平臺控制十分的平穩(wěn)，該電機(jī)驅(qū)動方案也是提高減震效果的關(guān)鍵。

3.3 角度傳感器模塊

本系統(tǒng)采用WDY32Z-1角位移傳感器，具有數(shù)據(jù)穩(wěn)定性強(qiáng)、靈敏度高的優(yōu)點(diǎn)。WDY32Z-1角位移傳感器與擺桿相連，利用擺桿帶動角度傳感器轉(zhuǎn)動，引起角度傳感器內(nèi)可變電阻的變化，使得輸出端的電壓發(fā)生變化，經(jīng)單片機(jī)ADC端口讀入并計(jì)算得出角度變化量。

系統(tǒng)的主控制板原理圖如圖5所示。

圖5 主控制板原理圖Fig.5 The main control board schematic diagram

4 系統(tǒng)的測試結(jié)果和分析

4.1 調(diào)試方案

①在量角器的協(xié)助下，將擺桿調(diào)節(jié)至下表所示的起擺位置，啟動控制系統(tǒng)；

②松手釋放擺桿，觀察記錄不同角度下的單擺的運(yùn)行周期，與公式(5)基本一致；

③計(jì)算平均每個(gè)周期的轉(zhuǎn)動角度，調(diào)節(jié)程序；

④在平板指定位置放上1枚硬幣，釋放擺桿，在起擺為30°～45°觀察硬幣相對初始位置的偏移情況，調(diào)節(jié)程序，加一個(gè)硬幣再觀察；

⑤調(diào)節(jié)擺桿起擺在45°～60°之間，觀察平板的運(yùn)動情況，逐漸增加硬幣個(gè)數(shù)，最多8個(gè)，記錄相應(yīng)數(shù)據(jù)。

4.2 結(jié)果分析

根據(jù)表2結(jié)果分析可知：該距離表示單個(gè)或2個(gè)硬幣在起擺角30°～45°時(shí)運(yùn)行控制系統(tǒng)可基本保持穩(wěn)定不動的狀態(tài)，穩(wěn)定性很好。

表2 硬幣滑離中心距離與擺桿起擺角度θ0的關(guān)系Tab.2 The relation between θ0and the average distance sliding from the center

根據(jù)表3結(jié)果分析可知：在±50°以內(nèi)成功率比較高，但是隨著角度接近60°，發(fā)生嘩變，這是因?yàn)槔碚摲治鲋袑?0°作為臨界角，最好設(shè)定一定的寬裕度；另外發(fā)現(xiàn)左右對稱位置實(shí)驗(yàn)結(jié)果不一致，說明紙面與硬幣的滑動系數(shù)不同向位置有可能有差異，且單擺的對稱性也有待完善。

表3 硬幣保持有效個(gè)數(shù)與擺桿起擺角度θ0的關(guān)系(8個(gè)硬幣)Tab.3 The relation between θ0and the number of coins keeping still on the plate(8 coins in all)

5 結(jié)語

在整個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)過程中，出現(xiàn)了很多問題，但最終都有了妥善的處理。比如，一開始直接取，發(fā)現(xiàn)測試結(jié)果在約45°以上就不能保證硬幣的保持個(gè)數(shù)，經(jīng)過深入的分析后，采用L3的擺角關(guān)系進(jìn)行控制，單擺的穩(wěn)定性能有了很大的提升；單擺起擺的處理上要特別注意，平板應(yīng)以約為20°附近作為靜止等待工作狀，啟動瞬間擺置，獲得加速度進(jìn)而運(yùn)動，這部分處理不當(dāng)將出現(xiàn)啟動即發(fā)生滑動的現(xiàn)象。經(jīng)過系統(tǒng)的軟硬件的多次修改調(diào)整，經(jīng)測試證明，該系統(tǒng)能對平板角度進(jìn)行精確控制，單擺大角度運(yùn)動時(shí)，平板運(yùn)動穩(wěn)定性大大提高。

[1]程守洙,江之永.普通物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1998.

[2]ROSSBERG K.A first course in analytical mechanics[M].New York:John Wiley&Sons,1983.

[3]鐵摩辛柯S,楊D H,小韋孚W.工程中的振動問題[M].胡人禮,譯.北京:人民鐵道出版社,1978.

[4]白鴻柏,張培林,黃協(xié)清.非恒定滑動摩擦系數(shù)振動系統(tǒng)等效線性化計(jì)算方法研究[J].振動與沖擊,2000,19(1):77-78.

[5]林復(fù)生.簡明摩擦學(xué)[M].重慶:重慶大學(xué)出版社,1987.

[6]孫會娟,張 寧.大角度單擺運(yùn)動的周期研究[J].北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,20(4):71-73.