格網(wǎng)內(nèi)插法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換①

張成校，顧和和

（中國礦業(yè)大學(xué) 環(huán)境與測繪學(xué)院，江蘇 徐州221008）

0 引 言

2008年7月，2000國家大地坐標(biāo)系（CGCS2000）正式使用，基于1954北京坐標(biāo)系（BJS54）和1980西安坐標(biāo)系（XAS80）的各種坐標(biāo)成果需要轉(zhuǎn)換到CGCS2000。我國使用的1954年北京坐標(biāo)系（BJS54）和1980年西安坐標(biāo)系（XAS80），由于受當(dāng)時(shí)技術(shù)手段的限制，存在較大的系統(tǒng)誤差和累積誤差，控制網(wǎng)間存在著扭曲變形；而基于GPS、VLBI、SLR等空間技術(shù)標(biāo)定的CGCS2000精度均勻，不存在明顯的誤差積累且控制網(wǎng)間具有較好的一致性。為使轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)與新坐標(biāo)系具有較好的一致性，同時(shí)滿足各種比例尺地形圖特別是大比例尺地形圖的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度需求，需要研究高精度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。日本、美國、澳大利亞［1－5]等國普遍采用格網(wǎng)法作為其大地坐標(biāo)的主要的轉(zhuǎn)換模型，完成了新舊坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，取得了很好的轉(zhuǎn)換精度。如日本采用克里金內(nèi)插法，生成30s×45s的格網(wǎng)數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)換精度達(dá)到±0.02 m。美國采用最小曲率內(nèi)插法生成格網(wǎng)，全國分為多個(gè)區(qū)域，精度在±0.05～±0.5m.澳大利亞采用最小二乘配置內(nèi)插格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)改正數(shù)，全國分為多個(gè)區(qū)域，AGD84與GAD94之間轉(zhuǎn)換精度達(dá)到±0.04～±0.05m，AGD66與 GAD94之間轉(zhuǎn)換精度達(dá)到±0.03～±0.23m.

1 格網(wǎng)內(nèi)插法原理

格網(wǎng)內(nèi)插法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基本思想［4－8]是將大的轉(zhuǎn)換區(qū)域劃分成小的格網(wǎng)單元，利用兩個(gè)系統(tǒng)間離散點(diǎn)的坐標(biāo)差，采用一定的內(nèi)插方法計(jì)算具有一定間隔的格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)差，利用格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上的坐標(biāo)差內(nèi)插其它任意點(diǎn)上的坐標(biāo)差，實(shí)現(xiàn)不同坐標(biāo)系坐標(biāo)的變換。格網(wǎng)內(nèi)插法原理如圖1.

圖1 格網(wǎng)內(nèi)插法原理圖

1.1 建立格網(wǎng)

將轉(zhuǎn)換區(qū)域劃分為具有一定間隔的規(guī)則格網(wǎng)，利用該區(qū)域內(nèi)的若干個(gè)具有新舊兩套坐標(biāo)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)差值，使用數(shù)學(xué)模型求得各個(gè)規(guī)則格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)系的改正量。

1.2 格網(wǎng)內(nèi)插

根據(jù)待求點(diǎn)所處的格網(wǎng)單元，提取格網(wǎng)文件對應(yīng)的4個(gè)格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)改正量，采用雙線性內(nèi)插模型進(jìn)行插值計(jì)算。原理如圖2所示。

圖2 由格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)內(nèi)插某一點(diǎn)的坐標(biāo)改正量

雙線性內(nèi)插的公式為

其中：

t1，t2，t3，t4分別為內(nèi)插點(diǎn)（三角形表示）周圍的4個(gè)格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)改正量；（B1，L1）、（B2，L2）、（B3，L3）、（B4，L4）分別為4個(gè)格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)所在舊坐標(biāo)系的經(jīng)緯度坐標(biāo)；（Bp，Lp）為待求點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)；z為待求點(diǎn)的坐標(biāo)改正量。

1.3 計(jì)算步驟

1）按照一定的經(jīng)緯度間隔，轉(zhuǎn)換區(qū)域被劃分成規(guī)則的格網(wǎng)根據(jù)公共點(diǎn)的坐標(biāo)差，用最小二乘回歸擬合一個(gè)簡單的平面模型：ax＋by＋c＝z（x，y）；

2）用平面回歸模型擬合值減去已知值得到一組殘差；

3）用數(shù)學(xué)模型將格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)周圍一定搜索半徑內(nèi)公共點(diǎn)的殘差擬合到格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上，得到格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上的殘差值；

4）格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上的平面回歸模型擬合值加殘差值，得到格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上對應(yīng)的新舊坐標(biāo)系坐標(biāo)改正量；

5）經(jīng)雙線性內(nèi)插得到格網(wǎng)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)改正量，加到舊坐標(biāo)上就得到了轉(zhuǎn)換后的新坐標(biāo)，從而完成坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

2 格網(wǎng)內(nèi)插法的數(shù)學(xué)模型

求取格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)改正量的數(shù)學(xué)模型可以有多種選擇，這里簡單地介紹了幾種模型。

2.1 加權(quán)平均模型

加權(quán)平均模型［6－7]根據(jù)周圍數(shù)據(jù)點(diǎn)對于中心點(diǎn)的遠(yuǎn)近分配不同的權(quán)重，離中心點(diǎn)越近的數(shù)據(jù)點(diǎn)對中心點(diǎn)的影響越大，占的權(quán)重就越大，反之占的權(quán)重就越小。一般形式為

其中：X是中心點(diǎn)處的估值；xi是中心點(diǎn)周圍數(shù)據(jù)點(diǎn)；wi是數(shù)據(jù)點(diǎn)對應(yīng)的權(quán)。權(quán)函數(shù)有多種形式，這里取wi＝，di是數(shù)據(jù)點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離，dmin是各數(shù)據(jù)點(diǎn)到中心點(diǎn)的最小距離。

2.2 克里金內(nèi)插模型

克里金內(nèi)插法［9－10]以由區(qū)域化隨機(jī)變量z（x）的變異函數(shù)γ（x，y）或期望μ（x）＝E［z（x）]和協(xié)方差函數(shù)c（x，y）量化的隨機(jī)模型為基礎(chǔ)，由未觀測點(diǎn)x0附近x1、x2、…、xn處的觀測值zi＝z（xi）（i＝1，…，n）內(nèi)插z（x）在x0處的值z（x0），得到z（x0）的最優(yōu)無偏估計(jì)量＾z（x0）。

克里金內(nèi)插法的一般公式為

式中：z（xi）為采樣點(diǎn)xi處的觀測值；x0是一個(gè)未采樣點(diǎn)；wi（x0）為賦給觀測值z（xi）的權(quán)，其估算服從無偏條件

最小的條件下得到。

普通克里金法的應(yīng)用條件是：區(qū)域化隨機(jī)變量滿足內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)條件，即隨機(jī)變量z（x）的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)；有足夠的觀測量確定變異函數(shù)，即隨機(jī)變量的變異函數(shù)γ（x，y）為已知。

2.3 最小曲率模型

最小曲率法［7]通過將具有觀測值的區(qū)域格網(wǎng)化，在盡可能尊重觀測值的前提下，以總曲率最小的原則生成最平滑的曲面。格網(wǎng)點(diǎn)（xi，yi）上的曲率為

3 算例比較

由于CGCS2000坐標(biāo)數(shù)據(jù)比較少，因此，只取某地區(qū)124個(gè)具有北京54坐標(biāo)和CGCS2000坐標(biāo)的點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換比較，其中均勻的提取其中的14個(gè)作為檢核點(diǎn)；為了便于格網(wǎng)的劃分，將該區(qū)域取為矩形，緯度跨度為3°，經(jīng)度跨度為4°.分別用Bursa模型和最小曲率模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，對轉(zhuǎn)換結(jié)果進(jìn)行比較。

方案1：使用Bursa模型計(jì)算待求點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值，即計(jì)算得到的CGCS2000坐標(biāo)值；將其與已知的CGCS2000坐標(biāo)值進(jìn)行比較得到相應(yīng)的殘差，如表1所示。

方案2：利用最小二乘曲率模型構(gòu)建格網(wǎng)并內(nèi)插待求點(diǎn)得到一組殘差，如表2所示。

兩種方案轉(zhuǎn)換的結(jié)果將按殘差平均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差、絕對值最大值這三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行比較。為便于分析，經(jīng)緯度殘差均換算成弧長，以m為單位。

表1 Bursa模型的殘差統(tǒng)計(jì)

表2 最小曲率模型的殘差統(tǒng)計(jì)

從表1看出，方案1的殘差平均值和標(biāo)準(zhǔn)差較大，最大殘差絕對值接近3m，殘差的數(shù)量級基本在0.1m以上；從內(nèi)部殘差統(tǒng)計(jì)來看，絕對值小于0.1m的不到10%，說明模型內(nèi)符合不好；從外部殘差統(tǒng)計(jì)來看，絕對值小于0.1m的不到7%，說明模型外符合不好。這反映了我國天文大地網(wǎng)存在較大局部系統(tǒng)差。如果整個(gè)區(qū)域采用Bursa模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將不能顧及天文大地網(wǎng)的局部扭曲和累積誤差，不能充分的擬合新舊坐標(biāo)系間的坐標(biāo)差異。

從表2看出，方案2轉(zhuǎn)換結(jié)果的各項(xiàng)指標(biāo)都明顯好于方案1，從內(nèi)部殘差統(tǒng)計(jì)來看，標(biāo)準(zhǔn)差降到了厘米級，殘差絕對值在0.3m以內(nèi)，系統(tǒng)差已基本被消除，殘差絕對值小于0.1m所占的比例超過了93%，說明最小曲率模型內(nèi)符合精度較好。從外部殘差來看，殘差平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都比方案1大大減小，絕對值最大值控制在0.6m以內(nèi)，殘差絕對值小于0.1m所占的比例超過了80%，說明最小二乘曲率模型的外符合精度也較好?？傊?，最小曲率模型較好地?cái)M合了新舊坐標(biāo)系間的坐標(biāo)差異，有效地控制了天文大地網(wǎng)的局部扭曲和積累誤差。

4 結(jié) 論

我國CGCS2000剛剛啟用，也涉及到新舊坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問題。相對于采用Bursa模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，采用格網(wǎng)內(nèi)插轉(zhuǎn)換方法轉(zhuǎn)換精度高，適合用來實(shí)現(xiàn)高精度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。采用格網(wǎng)內(nèi)插法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換需要較多的公共點(diǎn)，公共點(diǎn)數(shù)量較多，則轉(zhuǎn)換效果較好；若公共點(diǎn)的數(shù)量較少，則轉(zhuǎn)換效果不明顯。

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