一種判定離散系統(tǒng)因果性的有效方法*

謝小娟，何國(guó)棟，馮友宏

(安徽師范大學(xué)，安徽 蕪湖241000)

在“信號(hào)與系統(tǒng)”和“數(shù)字信號(hào)處理”的本科教學(xué)中，對(duì)系統(tǒng)的研究往往約束于線性時(shí)不變(LTI:linear time invariant)系統(tǒng)，而對(duì)此類系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)差分方程來進(jìn)行系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系描述。在各種版本的教材中都明確指出:線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性非時(shí)變系統(tǒng)，同樣也不一定是因果的系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)(邊界條件)有直接的關(guān)系［1-3］。本文將從一個(gè)經(jīng)典的實(shí)例為出發(fā)點(diǎn)，闡述線性常系數(shù)差分方程與系統(tǒng)的線性非時(shí)變性及因果性的關(guān)系，并重點(diǎn)討論線性常系數(shù)差分方程描述的LTI系統(tǒng)的因果性判定方法，從而有效地加深初學(xué)者對(duì)此類問題的理解和掌握。

1 常系數(shù)差分方程所描述系統(tǒng)線性非時(shí)變性及因果性討論

如果系統(tǒng)滿足線性常系數(shù)差分方程，則它也滿足構(gòu)成線性非時(shí)變系統(tǒng)的必要條件。以下給定一個(gè)典型的線性常系數(shù)差分方程如式(1)所示，來討論常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)是否一定具有線性非時(shí)變性及因果性。之所以典型是因?yàn)樵摲匠淘冢?］，［2］，［3］，［4］等教材中都有采用以說明線性常系數(shù)差分方程與系統(tǒng)穩(wěn)定性、因果性的關(guān)系，只不過各教材給出的初始條件及所說明的問題側(cè)重點(diǎn)不同而已。本文對(duì)各教材的討論進(jìn)行了綜述，共給出了6種初始條件，以更清晰而全面地揭示問題的本質(zhì)。

式(1)差分方程所描述的系統(tǒng)被看成一個(gè)黑盒子，我們只是知道系統(tǒng)即時(shí)輸出y(n)可以從即時(shí)輸入值x(n)和上一個(gè)輸出值y(n－1)計(jì)算得到。至于系統(tǒng)是否為線性非時(shí)變的，是否為因果的，需要結(jié)合系統(tǒng)的初始條件來進(jìn)行判定。以下給定六種不同的初始條件，分別來進(jìn)行判定:

(1)y(0)=1;(2)y(－1)=1;(3)y(0)=0;

(4)y( －1)=0;(5)y(n)=0，n＜0;

(6)y(n)=0，n ＞0.

(1)初始條件為y(0)=1時(shí)，可以判定系統(tǒng)為非線性、移變系統(tǒng)。根據(jù)線性非時(shí)變系統(tǒng)的定義［1］，證明如下:

因?yàn)閤1(n)和x2(n)為移位關(guān)系，但y1(n)和y2(n)非移位關(guān)系，故系統(tǒng)是移變的。由上述推導(dǎo)可知:

y3(n)≠y1(n)+y2(n)，故系統(tǒng)是非線性。綜合可知系統(tǒng)為非LT1系統(tǒng)，證畢。

按照同樣的方法，下面對(duì)剩余的5種情況也分別進(jìn)行了判定。

(2)初始條件y(－1)=1時(shí)，系統(tǒng)為非線性，時(shí)變系統(tǒng)。若x1(n)=δ(n)，系統(tǒng)輸出為:

(3)初始條件為y(0)=0，此時(shí)系統(tǒng)為線性、時(shí)變系統(tǒng)。若x1(n)=δ(n)，系統(tǒng)的輸出為:

(4)初始條件為y(－1)=0，此時(shí)系統(tǒng)為線性、非時(shí)變系統(tǒng)。若輸入x1(n)=δ(n)，系統(tǒng)的輸出為:

(5)初始條件為n＜0，y(n)=0，此時(shí)系統(tǒng)為L(zhǎng)TI系統(tǒng)。輸入x1(n)=δ(n)，系統(tǒng)的輸出為y1(n)=h(n)=anu(n)。

(6)初始條件n＞0，y(n)=0，此時(shí)系統(tǒng)為L(zhǎng)TI系統(tǒng)，輸入x1(n)=δ(n)，系統(tǒng)的輸出為y1(n)=h(n)= －anu(－n－1)。

對(duì)于上述六種情況，系統(tǒng)的因果性該如何判定呢?對(duì)于LTI離散系統(tǒng)，如果其具有因果性，則充分必要條件［1］為:

其中，h(n)為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，即當(dāng)x(n)=δ(n)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)y(n)=h(n)。在n=0時(shí)刻之前，及n＜0時(shí)無信號(hào)加入，故y(n)=0。

對(duì)于非LTI離散系統(tǒng)，不能用h(n)=0，n＜0來進(jìn)行判定，此時(shí)要借助因果系統(tǒng)的定義來進(jìn)行判斷。因果系統(tǒng)的定義［1］為:若系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出，只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列，而與n時(shí)刻以后的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。如果按照定義進(jìn)行因果性判定，必須要知道輸入x(n)與輸出y(n)的映射關(guān)系，即要知道輸出y(n)關(guān)于輸入x(n)的解析表達(dá)式:y(n)=f(x(n))。比如下面四個(gè)關(guān)系式:

此時(shí)可根據(jù)定義判定前三個(gè)關(guān)系式所描述的系統(tǒng)是因果，第四個(gè)是有條件因果系統(tǒng)(條件為k≥0)。而當(dāng)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為差分方程給出，如式(1)所示，此時(shí)不能直接用定義加以判斷，需要將(1)式變換為y(n)=f(x(n))的形式，再進(jìn)行判定。而變換是否對(duì)所有常系數(shù)線性差分方程都可行尚且不論，若可以轉(zhuǎn)換則過程必不簡(jiǎn)單，這也是本文有待深入研究的問題。故而對(duì)于由線性常系數(shù)差分方程描述的非LTI系統(tǒng)，其因果性的判定尚不確定，有待深入研究。

綜合上述同一差分方程給定的六種初始條件，可以得到六個(gè)系統(tǒng)，其線性非時(shí)變性及因果性如表1所示。

表1 六種系統(tǒng)的性能比較

從表格我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)差分方程，不同的初始條件，得到的系統(tǒng)性是不一樣的。一個(gè)常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件(初始)所決定。

2 判定LTI系統(tǒng)因果性的新方法

對(duì)于給定的常系數(shù)N階差分方程

若根據(jù)初始條件，假定經(jīng)過判定描述的是一個(gè)LTI系統(tǒng)，則必有如下結(jié)論:

如果初始條件為 y(n)=0，n＜0或 y(－1)、y(－2)、…、y(－N)皆為零，即系統(tǒng)無初始儲(chǔ)能，處于零狀態(tài)，則系統(tǒng)必為因果的。反之，如果y(－1)、y(－2)、…、y(－N)不全為零，則系統(tǒng)必為非因果的。證明如下:

若系統(tǒng)為L(zhǎng)TI系統(tǒng)，則因果性判定如下:

由(2)式可知系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，反之，y(n)=0，n＜0不成立，如 y( －2)=1，則

此時(shí)由(2)式可知，系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)，證畢。

上述結(jié)論換句話說就是:對(duì)于差分方程描述的LTI系統(tǒng)，如果初始條件為0則為因果系統(tǒng)，反之為非因果系統(tǒng)。此結(jié)論可通過對(duì)上節(jié)討論的六種情況來進(jìn)行驗(yàn)證，其結(jié)果與表1所得結(jié)論是一致的。又由于在“信號(hào)和系統(tǒng)”以及“數(shù)字信號(hào)處理”的本科教學(xué)中，除了特別說明外，都假定:常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。故而本文所提出的方法是非常簡(jiǎn)潔實(shí)用的。

3 結(jié)論

本文從一個(gè)典型的常系數(shù)差分方程出發(fā)，詳細(xì)論證了一個(gè)常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)，這些都由邊界條件(初始)所決定。同時(shí)對(duì)常系數(shù)線性差分方程描述的LTI系統(tǒng)，提出了一種有效判定因果性的方法。對(duì)于常系數(shù)線性差分方程描述的非LTI系統(tǒng)，其因果性的判定有待深入的研究。

［1］王世一.數(shù)字信號(hào)處理［M］.修訂版.北京:北京理工大學(xué)出版社，2006.

［2］鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號(hào)與系統(tǒng)(下冊(cè))［M］.第2版.北京:高等教育出版社，2000.

［3］高西全，丁玉美.數(shù)字信號(hào)處理［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2008.

［4］程佩青.數(shù)字信號(hào)處理教程［M］.第3版.北京:清華大學(xué)出版社，2007.