帶分布型時滯的分數(shù)階控制系統(tǒng)能觀性的條件

朱彥

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帶分布型時滯的分數(shù)階控制系統(tǒng)能觀性的條件

朱彥

（安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230039）

通過Mittag-Leffler矩陣函數(shù)構(gòu)造的能觀性Gram矩陣和Cayley-Hamilton定理獲得了一類帶Caputo導(dǎo)數(shù)、具有分布型時滯的分數(shù)階控制系統(tǒng)

分數(shù)階控制系統(tǒng)；Caputo導(dǎo)數(shù)；分布型時滯；能觀性；格拉姆矩陣

由于實際控制系統(tǒng)大多是非整數(shù)階控制系統(tǒng)且普遍存在著時滯現(xiàn)象，因此，用帶分布型時滯的分數(shù)階模型能較好地模擬實際系統(tǒng)，并得到滿意的動態(tài)性能和穩(wěn)定性能. 能控性和能觀性分別從控制和觀測角度描述了系統(tǒng)的基本特性，它是Kalman在上世紀60年代初首先提出的. 能觀性指系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測性，它表征了系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)（通常不可直接測量）被系統(tǒng)輸出（通?？芍苯訙y量）反映的能力. 近年來，分數(shù)階微積分學及其應(yīng)用研究正迅猛發(fā)展[1-3]，同時分數(shù)階控制系統(tǒng)也吸引了廣大學者的研究[4-8]. Balachandran[4]研究了一類帶分布型時滯的分數(shù)階控制系統(tǒng)的能控性，本文在此基礎(chǔ)上，研究該系統(tǒng)能觀性的判斷問題.

考慮下面帶分布型時滯的分數(shù)階控制系統(tǒng)：

1 預(yù)備知識和Green函數(shù)

2）常數(shù)的Caputo導(dǎo)數(shù)恒為0.

定義4 含兩參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)定義為

由文獻[4]可知，系統(tǒng)（1）的解可以表示為

其中

2 能觀性的充分必要條件

系統(tǒng)（1）能觀性的充分必要條件可記為

.

證明 系統(tǒng)（1）的輸入可表示為

從而控制輸出可表示為

定理2 對于系統(tǒng)（1），構(gòu)造能觀性判別矩陣為

證明 由定理1的證明，得

3 舉例

例 考慮下列系統(tǒng)的能觀性

[1] PODLUBNY I. Fractional differential equations[M]//Mathematics in Science and Engineering. New York, London, Toronto: Academic Press, 1999.

[2] LAKSHMIKANTHAM V, BAINOV D D, SIMEONOV P S. Theory of impulsive differential equations[M]. Singapore: World Scientific, 1989.

[3] KILBAS A A, SRIVASTAVA H M, TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Amsterdam: Elsevier Science B V, 2006.

[4] BALACHANDRAN K, ZHOU Yong, KOKILA J. Relative controllability of fractional dynamical systems with distributed delays in control[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2012. doi: 10. 1016/j. camwa. 2011. 11. 061.

[5] BALACHANDRAN K, PARK J Y, TRUJILLO J J. Controllability of nonlinear fractional dynamical systems[J]. Nonlinear Analysis, 2012, 75: 1919-1926.

[6] GUAN Zhihong, QIAN Tonghui, YU Xinghuo. On controllability and observability for a class of impulsive systems[J]. Systems & Control Letters, 2002, 47: 247-257.

[7] XIE Guangming, WANG Long. Controllability and observability of a class of linear impulsive systems[J]. Mathematical Analysis and Applications, 2005, 304: 336-355.

[8] GUO Tianliang. Controllability and observability of impulsive fractional linear time-invariant system[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2012. doi:10. 1016/j. camwa. 2012. 02. 020.

Observability of Fractional Dynamical Systems with Distributed Delays

ZHUYan

(School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230039, China)

fractional order control system; Caputo derivatives; distributed delays; observability; Gram matrix

1006-7302（2012）03-0023-05

O175. 8

A

2012-03-07

教育部博士點基金資助項目（20113401110001）

朱彥（1988—），女，江蘇省泰州人，在讀碩士生，研究方向為微分方程.