基于最小二乘曲線擬合法的皮帶垂度與張力關(guān)系研究

梅 松，周月娥，李東波，童一飛，袁延強(qiáng)

（1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094；2.鐘山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與汽車(chē)工程系，南京 210049；3.南京三埃工控股份有限公司，南京 211106）

0 引言

影響皮帶秤稱(chēng)重系統(tǒng)精度要素之一就是張力，利用張力補(bǔ)償可以提高稱(chēng)重長(zhǎng)期穩(wěn)定性和精度。張力越準(zhǔn)確，稱(chēng)重就越精確。因此，準(zhǔn)確測(cè)得張力值十分重要。另外，張力不穩(wěn)定是由機(jī)械的不平衡與磨損和電機(jī)響應(yīng)運(yùn)轉(zhuǎn)等方面造成的[1]。本文通過(guò)檢測(cè)皮帶垂度并對(duì)垂度數(shù)據(jù)進(jìn)行算法處理，從而對(duì)張力的不穩(wěn)定因素進(jìn)行補(bǔ)償，最終根據(jù)研究得到的垂度與張力數(shù)學(xué)模型來(lái)計(jì)算出張力。

本文先理論推導(dǎo)出張力隨流量變化的數(shù)學(xué)模型，其次，通過(guò)離散垂度測(cè)量來(lái)建立垂度與流量的數(shù)據(jù)表，利用最小二乘曲線擬合法對(duì)垂度與流量曲線擬合，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的綜合分析，為研究物料流量與皮帶垂度的關(guān)系提供科學(xué)的參考依據(jù)[2]。然后對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行分析，最終得到垂度、皮帶傾角等參數(shù)的張力數(shù)學(xué)模型。

1 現(xiàn)場(chǎng)輸送帶載料模型分析

現(xiàn)場(chǎng)的輸送帶安裝示意圖如圖1所示，在具體研究中簡(jiǎn)化為圖2所示模型。

圖1 現(xiàn)場(chǎng)輸送帶載料

圖2 現(xiàn)場(chǎng)輸送帶載料簡(jiǎn)化模型

其中，O1為托輥A,B之間輸送帶上的垂點(diǎn)，AB傾角為β1,其中虛線是輸送帶傳輸方向，實(shí)心直線為水平面，=L，根據(jù)實(shí)際測(cè)試，O1垂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輸送帶撓度即垂度v＜3%L。現(xiàn)取一小段輸送帶O1D分析，建立xo1y坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 輸送帶O1D段受力分析圖

取O1為坐標(biāo)原點(diǎn)，且以過(guò)O1點(diǎn)的切線為X軸，與X軸垂直作Y軸，其中，T1，TD分別為O1和D點(diǎn)處的張力，P為均布載荷；D點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y)，載荷重心坐標(biāo)E(xe,ye),因輸送帶撓度較小,曲線O1D近似等于x。因此，O1D上負(fù)荷可視為平衡條件可得：

式中，MD為關(guān)于D點(diǎn)的力矩，P為皮帶及物料的質(zhì)量分布簡(jiǎn)稱(chēng)流量， β1地面與水平面間的夾角。經(jīng)整理得：

又已知O1為AB垂點(diǎn)，且為中間，因此可得x=L/2，代入上式得：

式中，L為兩托輥間的距離。其中，L與β1均為已知量。當(dāng)P與y兩個(gè)變量檢測(cè)出來(lái)，對(duì)應(yīng)O1點(diǎn)的張力也就隨之求出。

2 基于最小二乘法的垂度-流量曲線擬合

2.1 最小二乘法曲線擬合原理

假設(shè)流量fi與垂度xi，其中i=0,1,2,…,n。擬合關(guān)系為n次多項(xiàng)式，函數(shù)為其中a0，a1,…,an為下面方程組的解：

如果方程組中的系數(shù)矩陣為非奇異，則最優(yōu)解唯一，這里 ， 是Rm+1上向量的加權(quán)內(nèi)通過(guò)該方程使用Matlab軟件求解出系數(shù)a0，a1,…,an，就可以解得n次多項(xiàng)式[3]。

由于皮帶傳輸物料的重量不均勻，只有通過(guò)垂度值來(lái)反推出流量，從而進(jìn)一步估算載物的重量，輔助稱(chēng)重系統(tǒng)判定稱(chēng)重單元計(jì)算結(jié)果的正確性與故障源。因此，研究物料流量固定，通過(guò)大量數(shù)據(jù)采樣得到垂度值，經(jīng)均值數(shù)據(jù)處理，得到一組垂度與流量的數(shù)據(jù)，重復(fù)該方法獲取多組不同流量下檢測(cè)到的垂度值，來(lái)準(zhǔn)確反映流量與垂度的關(guān)系。

2.2 流量與垂度實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)條件：1）標(biāo)定初始值104mm；2）輸送帶預(yù)緊力為840kg；3）皮帶寬為1.2m；4）料斗下料給定值設(shè)為100t/h。

本實(shí)驗(yàn)通過(guò)改變電機(jī)驅(qū)動(dòng)輸送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的頻率來(lái)改變落在輸送帶的物料重量即流量，并檢測(cè)獲取相應(yīng)的垂度，得到表1所示的9組流量范圍在14.62～46.3kg/m內(nèi)的垂度與流量的關(guān)系數(shù)據(jù)。

表1 垂度與流量數(shù)據(jù)關(guān)系

2.3 垂度-流量特性研究

根據(jù)表1數(shù)據(jù)采用Matlab對(duì)擬合模型y=a0x0+a1x+…+anxn進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，由最小二乘法確定多項(xiàng)式的系數(shù)a0，a1,…,an，通過(guò)擬合發(fā)現(xiàn)高于5次多項(xiàng)式曲線就會(huì)嚴(yán)重失真，因此只考慮5次以內(nèi)擬合曲線，通過(guò)Matlab計(jì)算獲得各多項(xiàng)式曲線對(duì)應(yīng)的殘差如表2所示。

表2 多項(xiàng)式擬合曲線殘差

由表2可以觀察到5次多項(xiàng)式擬合曲線殘差為0.80778，擬合效果最好，其擬合曲線如圖4所示。

圖4 5次多項(xiàng)式擬合曲線

由圖可以觀察出數(shù)據(jù)與曲線擬合度非常好，因此選取5次多項(xiàng)式擬合曲線為最優(yōu)擬合曲線，線方程[4]如下：

另外，根據(jù)皮帶本身性能和受力情況分析可以設(shè)想曲線y=f (x)是雙曲數(shù)據(jù)規(guī)律大致符合，可以通過(guò)變量代化為線性參數(shù)的數(shù)學(xué)模型其中(i=1,2,…,9)。其中ti,zi分別由原始數(shù)據(jù)xi, yi據(jù)變量代換公式計(jì)算出來(lái)，轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)表如表3所示。

表3 t,z關(guān)系數(shù)據(jù)

將以上計(jì)算值代入簡(jiǎn)化方程組得如下方程組：

計(jì)算得a1=0.33822，a0=-0.0078494從而擬合曲線為

3 最小二乘法曲線擬合結(jié)果分析

3.1 擬合模型誤差比較

根據(jù)實(shí)測(cè)垂度數(shù)據(jù)，分別利用5次和雙曲型擬合曲線計(jì)算出輸送帶上的物料流量，進(jìn)而計(jì)算出理論流量與計(jì)算流量之間的絕對(duì)誤差，誤差平方[5]。具體計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 5次多項(xiàng)式與雙曲型擬合曲線參與擬合數(shù)據(jù)分析

由表4算得5次與雙曲型擬合曲線誤差平方總和分別為0.6683,1.2104。5次多項(xiàng)式擬合曲線誤差平方更小，擬合效果更好。

由上表分析研究選擇5次多項(xiàng)式擬合曲線作為最優(yōu)曲線擬合結(jié)果，其函數(shù)如下：

3.2 張力數(shù)學(xué)模型

表5 垂度、流量與張力關(guān)系

從表5中可以觀察到垂度為4.5～10.3mm范圍內(nèi)張力隨著垂度變大而減小，張力的極小值產(chǎn)生于垂度為10.3mm～11.5mm之間，張力自極小值之后會(huì)隨著垂度的增加而增加，由以上規(guī)律可判定張力與皮帶性能有很緊密的關(guān)系，可以在以后的實(shí)驗(yàn)中作進(jìn)一步研究。最終形成的張力與垂度的數(shù)學(xué)模型為：

若將參數(shù)β1，L代入公式則可以轉(zhuǎn)化為

式中a為皮帶重量分布（kg/m）；x為測(cè)得的垂度值(mm); T1為張力（kg）；β1為皮帶與水平地面之間的夾角；L為兩托輥之間的距離(m)。

由公式（7）可以根據(jù)檢測(cè)到的垂度推算出張力。

4 結(jié)論

1）通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取了流量與垂度關(guān)系的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)；利用最小二乘曲線擬合法研究垂度與流量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到垂度與流量關(guān)系的擬合曲線；通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析得出5次多項(xiàng)式擬合曲線為最優(yōu)垂度與流量擬合曲線。2）根據(jù)最優(yōu)垂度與流量擬合曲線及張力與流量數(shù)學(xué)關(guān)系建立了皮帶張力與垂度的數(shù)學(xué)模型。

[1] 李南, 劉秋楠. 有關(guān)高速傳帶設(shè)備張力控制的應(yīng)用研究[J]. 制造業(yè)自動(dòng)化, 2010. 2, 32(2): 132-133.

[2] 謝先偉. 最小二乘法在煤礦鉆機(jī)測(cè)試中的應(yīng)用研究[J].制造業(yè)自動(dòng)化, 2011. 5, 33(9): 59-60.

[3] 徐躍良. 數(shù)值分析. 成都: 西南交通大學(xué)出版社, 2005,08: 59-60.

[4] 呂喜明, 李明遠(yuǎn). 最小二乘曲線擬合的MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009. 3, 24(2): 126-127.

[5] 劉曉艷, 芮雪, 劉小勇. 基于正交多項(xiàng)式作最小二乘曲線擬合的水位流量率定系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[J]. 新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 32(3): 89-90.