六自由度并聯(lián)機(jī)床逆解方法

栗英杰， 孟 炎， 劉鐵軍， 楊兆海， 潘春祥

（1．空軍航空大學(xué)，吉林長春 130022；2．大唐國際發(fā)電股份有限公司下花園發(fā)電廠設(shè)備部，河北張家口 075300）

0 引 言

六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)由于有剛度大、承載能力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)動(dòng)負(fù)荷小等特點(diǎn)［1－3］，能實(shí)現(xiàn)包括仰俯、橫滾、升降等多個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)［4］，上世紀(jì)90年代，該機(jī)構(gòu)被用于并聯(lián)機(jī)床設(shè)計(jì)上，一些機(jī)床樣機(jī)相繼在美、日、俄、中等國問世，我國機(jī)床行業(yè)正面臨著新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)［5］。同時(shí)，利用六自由度并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，借助動(dòng)力學(xué)建模和仿真手段制造各種飛行、艦船及車輛駕駛模擬器已成為飛行員和駕駛員進(jìn)行模擬訓(xùn)練的有力手段［6－7］。因此，對(duì)六自由度并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行深入探討具有十分重要的理論價(jià)值和廣泛的市場(chǎng)前景。

1 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置逆解

六自由度并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 六自由度并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)

六自由度并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)是由6個(gè)液壓缸通過虎克鉸將定、動(dòng)兩個(gè)平臺(tái)連接而成，下平臺(tái)固結(jié)于地面，利用6個(gè)液壓缸的伸縮運(yùn)動(dòng)，完成上面動(dòng)平臺(tái)在空間的6個(gè)自由度（X，Y，Z，α，β，γ）運(yùn)動(dòng)，來模擬出各種機(jī)械運(yùn)動(dòng)實(shí)體在空間的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，在已知6個(gè)姿態(tài)變量的前提下，求6根液壓缸的伸長量的方法叫位置逆解算法［8］。此運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的空間自由度計(jì)算采用Kutzbach Grubler公式［9］：

式中：M——平臺(tái)的空間運(yùn)動(dòng)自由度；

n——運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的總構(gòu)件個(gè)數(shù)；

g——平臺(tái)中的運(yùn)動(dòng)副數(shù)；

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)自由度數(shù)，代入本機(jī)構(gòu)相關(guān)數(shù)據(jù)，平臺(tái)整體的自由度為6。

由圖1可見，動(dòng)坐標(biāo)系O′X′Y′Z′固結(jié)于上平臺(tái)，固定坐標(biāo)系OXYZ固結(jié)于下平臺(tái)，則上平臺(tái)的空間運(yùn)動(dòng)可看作隨動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)O′沿定坐標(biāo)系OXYZ3個(gè)軸方向上的平動(dòng)（X，Y，Z）和繞動(dòng)坐標(biāo)系3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)（α，β，γ）的合成運(yùn)動(dòng)。設(shè)上平臺(tái)繞動(dòng)坐標(biāo)系3個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角定義為依次繞Y′軸旋轉(zhuǎn)β，再繞Z′軸旋轉(zhuǎn)γ，最后繞X′軸旋轉(zhuǎn)α。根據(jù)設(shè)計(jì)，下平臺(tái)各鉸點(diǎn)A1，A2，…，A6相對(duì)于固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)（XA1，YA1，ZA1），（XA2，YA2，ZA2），…，（XA6，YA6，ZA6）和上平臺(tái)各鉸點(diǎn)a1，a2，…，a6相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的動(dòng)坐標(biāo)，…為已知，如果求出各個(gè)時(shí)刻上平臺(tái)各鉸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系OXYZ下的坐標(biāo)（Xa1，Ya1，Za1），（Xa2，Ya2，Za2），…，（Xa6，Ya6，Za6），運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式便可以求出L1，L2，…，L6。

當(dāng)上平臺(tái)坐標(biāo)原點(diǎn)O′平移（X，Y，Z），并按上述順序繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)（α，β，γ）后，以鉸點(diǎn)ai為例，其靜坐標(biāo)（Xai，Yai，Zai）可由矩陣表示：

從而可以求出油缸的長度為：

由此可得各液壓缸的伸長量為：

式中：li0——各個(gè)液壓缸的初始長度。

2 平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)限制

由式（3）計(jì)算出任一油缸長度后，若沒有超出油缸的最短長度極限和最長長度極限，從理論上便可標(biāo)出工作空間邊界，然而在實(shí)際上，除了要考慮桿長的限制外，還要考慮球鉸鏈旋轉(zhuǎn)角度的限制。球鉸鏈固定在上下臺(tái)面上，在運(yùn)動(dòng)過程中，其轉(zhuǎn)角θ是有限制的，球鉸鏈的轉(zhuǎn)角如圖2所示。

圖2 球鉸鏈的轉(zhuǎn)角

在固定坐標(biāo)系OXYZ下，第i個(gè)油缸方向矢量為Li，則其單位矢量為：

設(shè)上、下平臺(tái)的單位法向量分別為nb和nB，則機(jī)構(gòu)中任一油缸與兩臺(tái)面法向的夾角θbi和θBi，轉(zhuǎn)角約束如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)角約束

則有：

因此，要增大機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)空間，可以適當(dāng)增大θBmax和θbmax。

3 具體算例

根據(jù)上述計(jì)算方法，選擇如下機(jī)構(gòu)作為算例：動(dòng)平臺(tái)所在圓半徑為600mm（i＝1，2，3，4，5，6）與X′軸的角度分別為：40°，80°，160°，200°，280°，320°?；A(chǔ)平臺(tái)半徑距離為rb＝800mm，OAi（i＝1，2，3，4，5，6）與X軸的角度分別為：50°，90°，175°，195°，265°，305°，平臺(tái)高度H＝800mm。液壓缸活塞桿行程為400mm，缸筒直徑為50mm，活塞桿直徑為28mm。α＝10°，β＝10°，γ＝10°，A1a1桿伸長特性曲線如圖4所示。

從圖4可以看出，當(dāng)t＝0．621～1．265s時(shí)，A1a1桿伸長量突然從零開始增加，故伸長速度有階躍性地增大。此后，伸長量線性增加，其曲線斜率保持不變，故伸長速度此時(shí)保持在0．058 262m／s不變。當(dāng)t＝6．808～7．406s時(shí)，伸長量曲線以小斜率線性上升，可以看出，伸長速度此時(shí)降低到0．007 426m／s不變。最后，當(dāng)t＝9．522s時(shí)，伸長量不再增加，故伸長速度降為零。以上說明伸長量和伸長速度的參數(shù)曲線在任一瞬時(shí)的響應(yīng)都具有同步性。

上述計(jì)算值誤差小、精度高，與實(shí)際測(cè)量值基本吻合。

圖4 桿A1a1伸長特性曲線

4 結(jié) 語

通過坐標(biāo)變換和歐拉角，使得各時(shí)刻每給定一組姿態(tài)變量（X，Y，Z，α，β，γ），都能計(jì)算出六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中任一液壓缸伸長量和伸長速度，通過數(shù)據(jù)曲線和實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)，證明該方法具有較高的可靠性，能夠解決工程中的問題，為實(shí)現(xiàn)六自由度并聯(lián)機(jī)床的各種運(yùn)動(dòng)打下了良好的基礎(chǔ)。

［1］ 楊永立．六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的仿真研究［J］．工程機(jī)械文摘，2009（1）：22－24．

［2］ 張尚盈，趙慧，韓俊偉．六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)時(shí)控制的正／反解算法［J］．機(jī)床與液壓，2005（3）：133－135．

［3］ 韓連英，孫寶玉，梁淑卿，等．微電子領(lǐng)域磁懸浮進(jìn)給機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)［J］．長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，24（4）：65－68．

［4］ 汪漢生．六自由度平臺(tái)設(shè)計(jì)及控制方法研究［D］：［碩士學(xué)位論文］．哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2008．

［5］ 李培昌．6DOF運(yùn)動(dòng)平臺(tái)開發(fā)與研究［D］：［碩士學(xué)位論文］．哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué)，2005．

［6］ 楊磊，仝崇樓，龔小平，等．6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)正解方法研究［J］．長沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（6）：59－61．

［7］ 陳鐵華．六自由度力反饋雙向伺服控制策略研究［D］：［博士學(xué)位論文］．長春：吉林大學(xué)，2010．

［8］ 勵(lì)映群，王潤杰，陳蕾．六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)可視化軟件的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］．計(jì)算機(jī)仿真，2004（5）：212－215．

［9］ 趙永生，鄭魁敬，李秦川，等．5－UPS／PRPU5自由度并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)分析［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2004（2）：12－16．