PID廣義預(yù)測(cè)控制在分子蒸餾中的應(yīng)用

隋添翼， 李云鵬， 于歡歡， 張 洋， 許紅巖

（長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130012）

1 概 述

廣義預(yù)測(cè)控制（Generalized Predictive Control）是20世紀(jì)80年代產(chǎn)生的一種新型控制方法，是預(yù)測(cè)控制中最具代表性的算法之一。通過(guò)在線辨識(shí)獲得模型參數(shù)，再利用模型參數(shù)實(shí)現(xiàn)多步預(yù)測(cè)和滾動(dòng)優(yōu)化的自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制算法，由于其具有保持最小方差自校正控制的模型預(yù)測(cè)、最小方差控制、柔化作用、在線辨識(shí)等特征［1－2］，使GPC對(duì)建模誤差和外界干擾等未知因素具有很強(qiáng)的適應(yīng)能力。為了獲得更好的控制效果，在目標(biāo)函數(shù)中使用了控制增量序列，使它適用于大延遲、非最小相位以及非線性等過(guò)程。但是對(duì)于一些既含有較大建模誤差，又含有較大外界干擾的復(fù)雜工業(yè)控制過(guò)程，就會(huì)產(chǎn)生預(yù)測(cè)輸出與實(shí)際輸出相差甚遠(yuǎn)等現(xiàn)象。另外，GPC也有在線計(jì)算量大、超調(diào)難以抑制等問(wèn)題。

在工業(yè)過(guò)程控制中，PID控制應(yīng)用最為廣泛，約占生產(chǎn)裝置控制回路總數(shù)的80%～90%，其控制器的控制規(guī)律為比例（P）、積分（I）和微分（D）。具有原理簡(jiǎn)單、直觀易懂、魯棒性強(qiáng)、可靠性高、易于工程實(shí)現(xiàn)等一系列優(yōu)點(diǎn)。但是像在分子蒸餾提純五味子油生產(chǎn)中的真空度、蒸發(fā)溫度、薄膜厚度控制對(duì)象，它具有非線性、大慣性、純滯后等特點(diǎn)，容易引起系統(tǒng)超調(diào)和持續(xù)的振蕩，并且溫度、真空度控制對(duì)象的參數(shù)一般會(huì)發(fā)生較大的變化，加上對(duì)象模型參數(shù)隨工況參數(shù)的變化而變化，具有非線性、時(shí)變不確定性，因此，應(yīng)用單一的PID控制很難達(dá)到精確控制的目的。

為使控制系統(tǒng)的反饋環(huán)節(jié)兼顧魯棒性和抗干擾能力，利用PID和GPC這兩種控制方法的優(yōu)點(diǎn)是改造目標(biāo)函數(shù)，將廣義預(yù)測(cè)控制算法的性能指標(biāo)構(gòu)造成PID形式，獲得一種能抑制超調(diào)的、具有PID結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)控制算法。

通過(guò)分子蒸餾提純五味子油的實(shí)驗(yàn)，說(shuō)明了PIDGPC算法的控制性能，并分析了各PID參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

2 分子蒸餾

2.1 分子蒸餾基本原理

分子蒸餾是一項(xiàng)國(guó)內(nèi)外正在進(jìn)行工業(yè)化開(kāi)發(fā)應(yīng)用的高新液－液分離技術(shù)，它突破了常規(guī)蒸餾依靠沸點(diǎn)差分離物質(zhì)的原理，是在133．3×10－2～133．3×10－4Pa的高真空下進(jìn)行分離操作的非平衡蒸餾過(guò)程，在此條件下蒸發(fā)面和冷凝面的間距小于或等于被分離物料的蒸氣分子的平均自由程，所以又叫短程蒸餾（Short－pathdistillation），其基本原理是利用不同種類分子逸出液面后，其平均自由程不同的性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)分離的。分子蒸餾原理如圖1所示［3］。

液體混合物的分子沿著加熱板自上而下流動(dòng)，當(dāng)獲得足夠的能量時(shí)，輕、重分子就會(huì)從液面逸出而成為氣體分子。由于輕重分子的平均自由程不同，輕分子自由程比重分子的自由程要大，在大于重分子平均自由程而小于輕分子平均自由程處設(shè)置一冷凝面，使得輕分子不斷地被冷凝收集，重分子由于不能到達(dá)冷凝面而在氣相中飽和，并返回蒸發(fā)面沿蒸發(fā)面餾出，達(dá)到輕、重分離的目的［4］。

圖1 分子蒸餾原理示意圖

2.2 分子蒸餾的技術(shù)理論

2．2．1 分子平均自由程

一個(gè)分子在相鄰兩次分子碰撞之間所經(jīng)過(guò)的路程稱為分子運(yùn)動(dòng)自由程，在某時(shí)間間隔內(nèi)自由程的平均值稱為平均自由程［5］。設(shè)某一分子的平均速度為Vm，碰撞頻率為f，λm為平均自由程。則

由熱力學(xué)原理可知：

所以

2．2．2 蒸發(fā)速率

分子蒸發(fā)速率是衡量分子蒸餾設(shè)備工作效率的一個(gè)重要標(biāo)志［6］，Lutisan對(duì)雙組分理想物系的刮膜分子蒸餾器內(nèi)的傳質(zhì)和傳熱情況進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

根據(jù)Navier－stokes方程建立了在y方向上j表面的速度方程：

在忽略蒸氣相中分子間碰撞影響的情況下，得到總的蒸發(fā)速率方程：

2．2．3 熱分解

Hichman對(duì)分解概率給出以下公式［7］：

其中，停留時(shí)間取決于加熱表面長(zhǎng)度、物料黏度、表明載荷和物料的流量，通過(guò)分解概率可以看出物料的熱損傷。

3 廣義預(yù)測(cè)PID控制器設(shè)計(jì)

3.1 廣義預(yù)測(cè)控制

隨著廣義預(yù)測(cè)控制（GPC）在工業(yè)過(guò)程控制中的廣泛應(yīng)用，廣義預(yù)測(cè)控制的研究已成為當(dāng)前自動(dòng)控制工程界研究的熱點(diǎn)。GPC作為一種新型的遠(yuǎn)程預(yù)測(cè)控制方法，集多種算法的優(yōu)點(diǎn)為一體，是一種通過(guò)在線辨識(shí)獲得模型參數(shù)，再利用模型參數(shù)實(shí)現(xiàn)多步預(yù)測(cè)和滾動(dòng)優(yōu)化，并且保持最小方差自校正控制的模型預(yù)測(cè)、最小方差控制等原理基礎(chǔ)上而發(fā)展起來(lái)的一種自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制算法。其控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 GPC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

3.2 基于CARIMA模型的廣義預(yù)測(cè)控制

用“被控自回歸積分滑動(dòng)平均模型”來(lái)描述受到隨機(jī)干擾的對(duì)象［8］。

其中：

式中：y（k），u（t）——分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出；

Δ＝1－z－1；

｛ai｝，｛bi｝，｛ci｝——分別為A，B，C3個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)；

na，nb，nc——對(duì)應(yīng)的階次；

A，B，C——向量。

為導(dǎo)出利用當(dāng)前時(shí)刻k及以前的輸入和輸出數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)k＋j時(shí)刻的j步導(dǎo)前輸出，引入一組Diophantine方程，并令C（z－1）＝1。

可得系統(tǒng)的j步預(yù)測(cè)輸出為：

修正后的最優(yōu)j步預(yù)測(cè)輸出為：

當(dāng)預(yù)測(cè)步數(shù)j改變時(shí)，需要用遞推解法重新計(jì)算式（10）和式（11）。因?yàn)槎囗?xiàng)式Rj（z－1），Sj（z－1），Gj（z－1），Ej（z－1）的相關(guān)參數(shù)將于預(yù)測(cè)步數(shù)j一起變化。M為控制時(shí)域，當(dāng)j＞M時(shí)，預(yù)測(cè)步數(shù)j取從1到P，則Δu（k＋j－1）＝0，可用下式計(jì)算其多步輸出的預(yù)測(cè)值：

由此可得，GPC的最優(yōu)控制率為：

式中：P——最大預(yù)測(cè)步數(shù)；

M——控制時(shí)域長(zhǎng)度；

qj——輸出誤差加權(quán)系數(shù)，通常可以取為常量；

λj——控制量的加權(quán)系數(shù)，通?？梢匀槌Ａ?。

輸入的參考軌跡為yr（k＋j），可由下式求得：

由式（14），并將式（13）寫(xiě)成矢量形式可得：

對(duì)式（15）進(jìn)行關(guān)于ΔU（k）極小化運(yùn)算可得：

3.3 PID型的廣義預(yù)測(cè)控制

PID型的廣義預(yù)測(cè)控制是指具有PID結(jié)構(gòu)的廣義預(yù)測(cè)控制，原始的GPC函數(shù)為：

輸出誤差可取為｛e（k＋j）｝，并令：

則可得性能指標(biāo)為：

用Δ分別乘以式（19）的兩邊后可以得到：

求解下面的Diophantine方程：

取

可得：

由下式計(jì)算可得pj：

其中，G包括了Gj（z－1）系數(shù)。

修正式（19）的性能指標(biāo)，可以得出其最優(yōu)控制法則：

取

用v除以式（25）的兩邊，計(jì)算后可得到：

因?yàn)椋?/p>

并且由PID算法：

可以得出：

聯(lián)立式（29）和式（30）可以推出廣義預(yù)測(cè)控制的PID參數(shù)：

將推出的kc，TI和TD代入下式：

即可得輸出增量。具有PID結(jié)構(gòu)的廣義預(yù)測(cè)控制的系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 PIDGPC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

4 實(shí)驗(yàn)仿真

仿真對(duì)象為刮模式分子蒸餾器，具有PID型的廣義預(yù)測(cè)控制與廣義預(yù)控制的仿真結(jié)果對(duì)比如圖4所示。

圖4 PID與PIDGPC比較

選取α＝0．8，λ＝5，Ki＝8，Kp＝12，Kd＝2。通過(guò)對(duì)PIDGPC的3個(gè)參數(shù)Ki，Kp，Kd的調(diào)節(jié)，可以看出，改進(jìn)后的PIDGPC算法具有良好的動(dòng)態(tài)性能，其對(duì)系統(tǒng)超調(diào)的抑制和保持穩(wěn)定性等方面都有了明顯的提高。

Ki，Kp，Kd的變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響如圖5～圖7所示。

圖5 Ki對(duì)系統(tǒng)輸出的影響

圖6 Kp對(duì)系統(tǒng)輸出的影響

圖7 Kd對(duì)系統(tǒng)輸出的影響

圖5中，選取α＝0，λ＝5，Kp，Kd保持不變，分別為5和12。通過(guò)改變Ki的值可以看出，當(dāng)Ki增大時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)增大，但是其動(dòng)態(tài)性能和響應(yīng)速度得到了提高。

圖6中，選取α＝0，λ＝1，Ki，Kd保持不變，分別為8和2。通過(guò)改變Kp的值可以看出，當(dāng)Kp增大時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)增大，但是其動(dòng)態(tài)性能和響應(yīng)速度得到了提高，穩(wěn)定性下降。

圖7中，選取α＝0，λ＝1，Ki，Kp保持不變，分別為8和12。通過(guò)改變Kd的值可以看出，當(dāng)Kd增大時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和響應(yīng)速度下降，但是其超調(diào)的抑制效果增強(qiáng)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定性。

5 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)仿真結(jié)果研究發(fā)現(xiàn)，PIDGPC控制器具有廣義上的比例、積分、微分的結(jié)構(gòu)特征，其控制參數(shù)可以隨著控制對(duì)象狀態(tài)的變化而改變。有效地解決超調(diào)、跟蹤速度、魯棒性等問(wèn)題，使系統(tǒng)更好地保持穩(wěn)定性，提高系統(tǒng)的控制品質(zhì)。

符號(hào)說(shuō)明：

g——重力加速度，m·s－2；

Sj——液膜厚度，m；

V——y方向液體流速，m·s－1；

R1——蒸發(fā)器的半徑，m；

Xi1——組分i在蒸發(fā)器膜表面的摩爾分率；

P0i——組分i的飽和蒸氣壓，Pa；

Xi2——組分i在冷凝器膜表面的摩爾分率；

T1w——冷凝器的壁面溫度，K；

Rg——?dú)怏w常數(shù)，J·mol－1·K－1；

Mi——組分i的摩爾分率，kg·kmol－1。

［1］ 陳增強(qiáng)，車海平．具有比例積分結(jié)構(gòu)的廣義預(yù)測(cè)自校正控制器［J］．控制與決策，1994，9（2）：106－108．

［2］ 王偉．廣義預(yù)測(cè)控制理論及其應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社，1998．

［3］ Li Guo－bing，Wiped－film．Molecular disthllation process［J］．Tianjin Univesity，2005（12）：35－37．

［4］ 馮武文，楊村，于宏奇．分子蒸餾技術(shù)及其應(yīng)用［J］．化工進(jìn)展，1998（6）：26－29．

［5］ 李國(guó)兵，許春建，周明．刮膜分子蒸餾傳質(zhì)和傳熱的數(shù)學(xué)模型［J］．天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，36（3）：261－266．

［6］ 李桂娟，徐雪麗，宋偉．天然維生素E的提?。跩］．長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，27（3）：20－24．

［7］ 張旭斌．分子蒸餾過(guò)程研究［D］：［碩士學(xué)位論文］．天津：天津大學(xué)，2003

［8］ Clarke D W，Mohtadi C，Tuffs P S．Generaliced predutuve control－part［J］．The Basic Algorithm Automatica，2007，23：127－148．