功能梯度界面層模型斷裂問題研究進(jìn)展

邸 克，楊月誠(chéng)

(第二炮兵工程大學(xué) 601 室，西安 710025)

隨著科技的發(fā)展，先進(jìn)材料的應(yīng)用越來越廣泛，當(dāng)他們因?yàn)槟承┕こ绦枰そY(jié)在一起時(shí)，其界面力學(xué)問題也日益成為學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)。人們?yōu)榱擞行У胤治鼋缑媪W(xué)問題，評(píng)估結(jié)合材料的強(qiáng)度或壽命，提出了許多界面力學(xué)模型。其中，有一類功能梯度界面層模型是在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上提煉而來的，在表征界面力學(xué)行為方面適應(yīng)工程研究需要，具有廣泛的發(fā)展前景。本文簡(jiǎn)要介紹功能梯度界面層模型，并對(duì)該模型斷裂問題的研究現(xiàn)狀和研究方法進(jìn)行相應(yīng)的探討。

1 功能梯度界面層模型簡(jiǎn)介

值得注意的是，以上幾類界面模型均在一定程度上表征了界面力學(xué)行為，但尚未考慮真實(shí)界面黏結(jié)結(jié)構(gòu)，即缺乏相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)依據(jù)。1988 年，Delale 和Erdogan［8］依據(jù)界面兩側(cè)不同材料在細(xì)觀層面的相互擴(kuò)散和滲透，提出了功能梯度界面層模型(也稱為非均勻界面層模型)，該模型將原界面區(qū)域看成很薄的功能梯度材料，而兩側(cè)均勻材料的彈性模量和泊松比在界面層中以指數(shù)函數(shù)形式連續(xù)過渡(如圖2)。這種界面結(jié)合部材料力學(xué)屬性隨界面層厚度呈梯度變化的特性已被相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)證實(shí)［9］，因此，該模型具有一定的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，在表征界面黏結(jié)結(jié)構(gòu)時(shí)符合實(shí)際。此外，該模型還可有效消除裂紋尖端附近應(yīng)力的振蕩性，避免裂紋兩側(cè)材料相互嵌入的不合理現(xiàn)象，在對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子等斷裂參量進(jìn)行計(jì)算時(shí)，符合物理規(guī)律。

圖1 理想界面模型

圖2 功能梯度界面層模型

2 模型斷裂問題

2.1 研究概述

目前，人們對(duì)含功能梯度材料的各種結(jié)構(gòu)力學(xué)性能進(jìn)行了大量研究，比如功能梯度涂層、殼以及板條等，相比之下，直接對(duì)功能梯度界面層的研究較少。但是，由于對(duì)均勻材料各種力學(xué)特性的研究已基本成熟，在分析功能梯度界面層模型時(shí)，其核心是兩均勻材料之間的功能梯度材料層，因此對(duì)功能梯度材料力學(xué)特性的研究成果可較為方便地應(yīng)用到功能梯度界面層中。

2.2 模型斷裂問題的分類

人們?yōu)榱擞行а芯抗δ芴荻冉缑鎸拥臄嗔蚜W(xué)特性，一般采用特定的函數(shù)表示界面層內(nèi)力學(xué)屬性的分布規(guī)律，而且多以理論推導(dǎo)的方式開展該領(lǐng)域的研究工作。按照界面層內(nèi)所劃分層數(shù)的差異，功能梯度界面層模型可分成單層模型、互擴(kuò)散(2 層)模型和分層(多層)模型。

1)單層模型

在功能梯度界面層模型發(fā)展的早期，界面層一般采用某種函數(shù)表征力學(xué)屬性(比如模量和密度)的分布，這也可稱為單層模型。其中應(yīng)用最多的是指數(shù)函數(shù)，比如將界面層彈性模量(或剪切模量)μ2寫成以下形式

應(yīng)用該指數(shù)型界面層模型，Erdogan 等開展了大量的工作，研究了平面［8］、反平面［10-11］和軸對(duì)稱［12］等狀態(tài)下的裂紋問題。Fildis 和Yahsi［13］研究了軸對(duì)稱條件下Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型裂紋問題;Babaei 等［14］采用Laplace 變換方法，討論了界面層中裂紋在動(dòng)態(tài)沖擊載荷下的響應(yīng);Shbeeb 等［15］考慮界面層的平面裂紋問題，得到了應(yīng)力強(qiáng)度因子和應(yīng)變能釋放率。

為了更廣泛地表征功能梯度材料屬性，人們也嘗試用其他函數(shù)描述材料參數(shù)的變化。值得注意的是，這些函數(shù)不是任意選取的，而是要滿足控制微分方程有解析解的原則。Wang 等［16-19］采用一種冪律函數(shù)表示界面層中材料屬性的分布，這時(shí)，界面層內(nèi)模量μ2寫為

1.2.3 評(píng)價(jià)指標(biāo) ①6個(gè)月前后護(hù)士跌倒知識(shí)、態(tài)度、行為測(cè)評(píng)問卷:問卷在參考相關(guān)文獻(xiàn)及咨詢有關(guān)護(hù)理專家的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)而成，并進(jìn)行前期預(yù)試驗(yàn)，內(nèi)容包括跌倒相關(guān)知識(shí)15項(xiàng)條目、對(duì)跌倒重視程度及認(rèn)識(shí)10項(xiàng)條目、跌倒預(yù)防實(shí)施行為10項(xiàng)條目組成。分值越高，表示護(hù)士跌倒預(yù)防知識(shí)、態(tài)度、行為實(shí)施越好。②6個(gè)月前后患者跌倒預(yù)防認(rèn)知度和預(yù)防措施滿意度調(diào)查問卷，內(nèi)容包括跌倒預(yù)防措施認(rèn)知度12個(gè)條目和預(yù)防跌倒措施落實(shí)的滿意度7個(gè)條目，分值越高，表示患者跌倒預(yù)防措施認(rèn)知度和措施落實(shí)滿意度越好。

另外，Cheng 等［22］將界面層內(nèi)模量假設(shè)成縱坐標(biāo)的倒數(shù)函數(shù)，其具體形式為

2)互擴(kuò)散模型

Li 等［23］考慮了界面兩側(cè)材料之間擴(kuò)散性能的差異，提出了1 個(gè)互擴(kuò)散界面層模型。該模型采用2 種函數(shù)描述界面層的材料屬性變化，相對(duì)之前1 種函數(shù)形式的界面層模型來講，互擴(kuò)散模型可更方便地表征界面層材料參數(shù)的非單調(diào)變化特性。

3)分層模型

真實(shí)情況下，由于設(shè)計(jì)或制造時(shí)各種因素的影響，功能梯度材料的參數(shù)變化可能是任意形式。因此，當(dāng)參數(shù)任意變化時(shí)，不管是用單層模型表征，還是用互擴(kuò)散模型描述，都難以達(dá)到較高的精度。為此，人們發(fā)展了一種分層模型來表征功能梯度材料屬性。該模型將功能梯度材料劃分成有限多個(gè)子層，在每個(gè)子層中用特定函數(shù)表征材料屬性。對(duì)于功能梯度界面層來講，人們主要采用常數(shù)［24-30］或線性函數(shù)［31-35］表示子層內(nèi)材料屬性的分布規(guī)律。此外，人們對(duì)功能梯度板條、涂層等結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究時(shí)，將功能梯度材料分成多個(gè)子層，并把每一子層內(nèi)材料屬性設(shè)定為指數(shù)［36］或倒數(shù)［37］形式，這些方法也較容易在功能梯度界面層中得到應(yīng)用。

除了上文介紹的理論研究之外，采用數(shù)值方法直接對(duì)功能梯度界面層裂紋問題進(jìn)行研究較為少見。但是，人們對(duì)含裂紋的功能梯度材料進(jìn)行了有限元數(shù)值計(jì)算［38］，該成果對(duì)有限元數(shù)值方法在功能梯度界面層中的應(yīng)用有一定的借鑒意義。

3 模型斷裂問題理論研究方法

目前，人們對(duì)功能梯度界面層裂紋問題進(jìn)行理論分析時(shí)，已經(jīng)形成了一套較為成熟的方法。下面以單層指數(shù)型界面層模型反平面裂紋問題［39］為例進(jìn)行說明。

首先通過反平面問題的平衡方程和本構(gòu)方程得到控制方程:

式中:Gj為各層材料的剪切模量;ωj為位移分量。

將式(4)進(jìn)行Fourier 變換可得

式中，F(xiàn)ourier 變換可定義為

求解微分方程(5)，再結(jié)合本構(gòu)方程可以得到Fourier 變換域中應(yīng)力τj和位移ωj的關(guān)系。

引入以下形式的位錯(cuò)密度函數(shù)

式中:Δω2表示裂紋面上的位移增量。

由以上相關(guān)公式可推導(dǎo)出Cauchy 型奇異積分方程

式中:G0和τ0分別是裂紋面處的剪切模量和應(yīng)力載荷;a 是裂紋長(zhǎng)度的1/2。

該奇異積分方程可以在結(jié)合位移單值條件后通過配點(diǎn)數(shù)值方法［39］求解，在得到位錯(cuò)密度函數(shù)g(x)的數(shù)值解后即可獲得應(yīng)力強(qiáng)度因子等斷裂參量。

4 結(jié)束語

本文對(duì)功能梯度界面層模型斷裂問題研究現(xiàn)狀及研究方法進(jìn)行了介紹。該模型與其他界面力學(xué)模型相比，可充分考慮界面黏結(jié)處細(xì)觀結(jié)構(gòu)的影響。目前，對(duì)該模型的研究主要以理論方法開展，而且為了得到理論解，模型中許多參數(shù)均設(shè)置為理想狀況，因此，該模型在實(shí)際應(yīng)用方面還有一些欠缺。在此后的研究中，該模型應(yīng)結(jié)合有限元等數(shù)值方法加以擴(kuò)展，使其在表征實(shí)際界面力學(xué)行為方面產(chǎn)生更好的應(yīng)用效果。

［1］Williams M L.The stresses around a fault or crack in dissimilar media［J］. Bulletin of the Seismological Society of America.1959，49(2):199-204.

［2］England A H.A crack between dissimilar media［J］.Journal of Applied Mechanics，1965，32(3):400-402.

［3］Atkinson C.On stress singularities and interfaces in linear elastic fracture mechanics［J］.International Journal of Fracture，1977，13(6):807-820.

［4］Comninou M. The interface crack［J］. Journal of Applied Mechanics，1977，44(4):631-636.

［5］Comninou M.The interface crack in a shear field［J］.Journal of Applied Mechanics，1978(45):287-290.

［6］Comninou M，Schmueser D.The interface crack in a combined tension-compression and shear field［J］. Journal of Applied Mechanics，1979(46):345-348.

［7］Mak A F，Keer L M，Chen S H，et al. A no-slip interface crack［J］. Journal of Applied Mechanics，1980( 47): 347-350.

［8］Delale F，Erdogan F.On the mechanical modeling of the interfacial region in bonded half-planes［J］. Journal of Applied Mechanics，1988，55(2):317-324.

［9］Monclus M A，Young T J，Maio D D. AFM indentation method used for elastic modulus characterization of interfaces and thin layers［J］.Journal of Materials Science，2010(45):3190-3197.

［10］Erdogan F，Kaya A C，Joseph P F.The Mode Ⅲcrack problem in bonded materials with a nonhomogeneous interfacial zone［J］. Journal of Applied Mechanics，1991( 58): 419-427.

［11］Ozturk M，Erdogan F. Antiplane shear crack problem in bonded materials with a graded interfacial zone［J］.International Journal of Engineering Science，1993，31(12):1641-1657.

［12］Ozturk M，Erdogan F.An axisymmetric crack in bonded materials with a nonhomogeneous interfacial zone under torsion［J］.Journal of Applied Mechanics，1995(62):116-125.

［13］Fildis H，Yahsi O S.The axisymmetric crack problem in a non-homogeneous interfacial region between homogeneous half-spaces［J］. International Journal of Fracture，1996(78):139-164.

［14］Babaei R，Lukasiewicz S A.Dynamic response of a crack in a functionally graded material between two dissimilar half planes under anti-plane shear impact load［J］.Engineering Fracture Mechanics，1998，60(4):479-487.

［15］Shbeeb N I，Binienda W K，Analysis of an interface crack for a functionally graded strip sandwiched between two homogeneous layers of finite thickness［J］.Engineering Fracture Mechanics，1999(64):693-720.

［16］Wang X Y，Wang D.On the Griffith crack in a nonhomogeneous interlayer of adjoining two different elastic materials［J］. International Journal of Fracture，1996( 79): R51-R56.

［17］Wang X Y，Zou Z Z，Wang D.On the penny-shaped crack in a non-homogeneous interlayer under torsion［J］.International Journal of Fracture，1996(82):335-343.

［18］Wang X Y，Zou Z Z，Wang D.On the penny-shaped crack in a nonhomogeneous interlayer of adjoining two different elastic materials［J］. International Journal of Solids and Structures，1997，34(30):3911-3921.

［19］Zou Z Z，Wang X Y，Wang D.On the modeling of interfacial zone containing a Griffith crack:plane problem［J］.Key Engineering Materials，1998(145-149):489-494.

［20］Li C，Duan Z，Zou Z.Torsional impact response of a pennyshaped interface crack in bonded materials with a graded material interlayer［J］.Journal of Applied Mechanics，2002(69):303-308.

［21］Choi H J.Impact response of a surface crack in a coating/substrate system with a functionally graded interlayer:antiplane deformation［J］. International Journal of Solids and Structures，2004(41):5631-5645.

［22］Cheng Z Q，Zhong Z.Fracture analysis of a functionally graded interfacial zone between two dissimilar homogeneous materials［J］.Science in China Series G:Physics，Mechanics ＆ Astronomy，2006，49(5):540-552.

［23］Li Y D，Lee K Y.Mechanical modeling and transient antiplane fracture analysis for the graded inter-diffusion regions in a bonded structure［J］. Meccanica，2009 ( 44): 389-408.

［24］Itou S，Shima Y.Stress intensity factors around a cylindrical crack in an interfacial zone in composite materials［J］.International Journal of Solids and Structures，1999(36):697-709.

［25］Itou S.Stress intensity factors around a crack in a nonhomogeneous interfacial layer between two dissimilar elastic halfplanes［J］. International Journal of Fracture，2001(110):123-135.

［26］Itou S. Transient dynamic stress intensity factors around a crack in a nonhomogeneous interfacial layer between two dissimilar elastic half-planes［J］. International Journal of Solids and Structures，2001(38):3631-3645.

［27］Itou S.Thermal stresses around a crack in the nonhomogeneous interfacial layer between two dissimilar elastic halfplanes［J］. International Journal of Solids and Structures，2004(41):923-945.

［28］Itou S. Stress intensity factors around a moving Griffith crack in a non-homogeneous layer between two dissimilar elastic half-planes［J］. Acta Mechanica，2004( 167): 213-232.

［29］Itou S.Stress intensity factors for a moving cylindrical crack in a nonhomogeneous cylindrical layer in composite materials［J］.Archive of Applied Mechanics，2005(75):18-30.

［30］Itou S.Transient dynamic stress intensity factors around two rectangular cracks in a nonhomogeneous interfacial layer between two dissimilar elastic half-spaces under impact load［J］.Acta Mechanica，2007(192):89-110.

［31］Wang Y S，Gross D. Analysis of a crack in a functionally gradient interface layer under static and dynamic loading［J］. Key Engineering Materials，2000( 183 - 187): 331-336.

［32］Wang Y S，Huang G Y，Gross D.On the mechanical modeling of functionally graded interfacial zone with a Griffith crack:anti-plane deformation［J］. Journal of Applied Mechanics，2003(70):676-680.

［33］Huang G Y，Wang Y S.A new model for fracture analysis of a functionally graded interfacial zone under harmonic antiplane loading［J］. Engineering Fracture Mechanics，2004(71):1841-1851.

［34］Huang G Y，Wang Y S，Yu S W. Fracture analysis of a functionally graded interfacial zone under plane deformation［J］. International Journal of Solids and Structures，2004(41):731-743.

［35］Wang Y S，Huang G Y，Gross D.On the mechanical modeling of functionally graded interfacial zone with a Griffith crack:plane deformation［J］.International Journal of Fracture，2004(125):189-205.

［36］Guo L C，Noda N.Modeling method for a crack problem of functionally graded materials with arbitrary properties—piecewise-exponential model［J］. International Journal of Solids and Structures，2007(44):6768-6790.

［37］Cheng Z Q，Meguid S A，Zhong Z.Thermo-mechanical behavior of a viscoelastic FGMs coating containing an interface crack［J］.International Journal of Fracture，2010(164):15-29.

［38］Kim J H，Paulino G H.Finite element evaluation of mixed mode stress intensity factors in functionally graded materials［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering，2002(53):1903-1935.

［39］Erdogan F，Gupta G D.On the numerical solution of singular integral equations［J］. Quarterly of Applied Mathematics，1972，29(4):525-534.