吳國輝,梁立孚,劉宗民
(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院,黑龍江 哈爾濱150001)
1923年,Terzaghi在其著名論文[1]中提出了土體的一維固結理論。接著在另一篇文獻中提出了著名的有效應力原理[2],從而建立起一門獨立的學科——土力學。換句話說,正是由于固結理論的建立,才使得土力學成為一個獨立的學科,可見固結理論在土力學中具有重要的地位。后來,著名力學家Boit為發(fā)展土力學中的固結理論做出重要貢獻[3-4]。我國學者也對土力學中的固結理論進行了深入研究[5-9]。在現代土力學及其工程實踐中,滲透固結理論仍然占有重要的地位[10-11]。
求解變形體力學問題需要的三類基本關系:①力類量之間的平衡關系(相當關系或等效關系);②位移類量之間的協(xié)調關系(幾何關系);③力類量和位移類量之間的物理關系(本構關系)。一般來說滿足這三類基本關系方可求得力學問題唯一解,稱為求解力學問題的唯一性定理。研究地基變形與時間的關系,即滲透固結理論,也可以按照這種思路。
飽和土在壓力作用下,空隙中的一些自由水隨著時間的延續(xù)逐漸被擠出,同時孔隙體積也隨著減小,空隙水壓力逐漸變?yōu)橛赏凉羌艹惺艿挠行?,這個過程稱為飽和土的滲透固結。土體的壓縮變形主要由滲透固結引起。
下面以一維固結問題為例來研究。
設有均勻的飽和土體(見圖1),表面作用無限分布的均勻載荷p0,土體表面為排水面,深度H處為堅硬的隔水層(單面排水),土體壓縮系數a和滲透系數k均為常量,試解其瞬時孔隙水壓力u。從土力學的角度,這是飽和土的滲透固結問題。由于這類變形只有壓縮變形,因此,稱為一維滲透固結,簡稱一維固結。
圖1 飽和土體
圖1 飽和土的一維滲透固結問題的應力分配可以類比為浸在水中活塞(有孔無重)彈簧系統(tǒng)(理想化的力學模型)(見圖2)。彈簧類比土骨架,水即為土中水。
圖2 土骨架與土中水分擔應力變化的簡單模型
有效應力原理表示為總應力等于土骨架承受的有效應力與空隙水壓力之和。對于前面問題σz=p0,故可得到p0=σ′+u,這就是力類量之間的平衡關系。由這一關系可得有效應力σ′=p0-u。
空間邊界條件
時間邊界條件
設在飽和土體中取出微元體dxdydz,則微元體孔隙體積的變化等于排出的孔隙水的體積??紫扼w積的變化量為(考慮到為微元體中的土顆粒的體積是個不變量)。
孔隙水的體積變化量為
由于dQ=dVv,則有
這便是位移類量之間的協(xié)調關系。
由于飽和土體為二相系,故其存在雙本構關系,它們是達西(Darcy)滲透定律與壓密定律。
1)著名的達西(Darcy)滲透定律,滲透速度為
或滲流量為
對于微元體dxdydz,Darcy定律表示為
2)壓密定律
或者
對于微元體dxdydz,考慮到有效應力σ′=p,壓密定律表示為
以圖1中的一維固結問題為例來說明土體固結理論的應用。
瞬時孔隙水壓力為
將式(9)、式(12)、式(13)代入式(6),故有
就是一維固結理論的微分方程式。
設式(15)有如下形式的特解
其中:Z(z)只是變量z的函數,T(t)只是變量t的函數,把式(16)代入式(15)中,可得
式(17)左邊是z的函數,右邊是t的函數,而z和t是兩個獨立的函數,只有兩邊都是常數時,等式才能成立,令常數為λ,由此得兩個常微分方程
方程(18)的通解為
方程(19)的通解為
考慮到空間邊界條件,方程(15)的特解是
在式(22)中,原來式(21)中的任意常數Cn已并入到任意常數Bn中。
考慮到空間邊界條件式(3),可得
根據Fourier級數展開定理,可得
將式(25)代入式(23),經整理得到微分方程(15)的通解
式(26)就是一維固結問題的解析解。考慮到式(26),土體的有效應力為
地基在某一時刻的沉降量是由有效應力引起的,故有
將式(27)代入式(28),并取一級近似,得到
考慮到最終沉降量為
定義瞬時沉降量與最終沉降量之比為固結度
則有
可見,當t→∞,有TV→∞,進而U=1,即當時間趨于無限長時,瞬時沉降量等于最終沉降量。
本文明確了土體固結理論的三類基本關系,即力類量之間的平衡關系、位移類量之間的協(xié)調關系、力類量和位移類量之間的本構關系。滿足這三類基本關系方可求得力學問題唯一解。明確了土體固結理論存在雙本構關系。由于飽和土體為二相系,故達西滲透定律與壓密定律構成了土體固結理論的雙本構關系。
在研究地基變形與時間的關系時,從力學的三類基本條件和力學問題解的唯一性定理角度對固結理論進行研究,并以一維固結問題為例探討了土體的固結度。
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