基于四元數(shù)小波混合統(tǒng)計(jì)模型的圖像去噪

殷 明， 劉 衛(wèi)

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

傳統(tǒng)的圖像去噪方法主要有空域低通濾波、統(tǒng)計(jì)濾波（如維納濾波）及頻域?yàn)V波等，雖然這些方法對(duì)噪聲有一定的抑制效果，但是損失了許多圖像的細(xì)節(jié)信息，會(huì)造成圖像模糊，產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。小波變換在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，不僅可將圖像的結(jié)構(gòu)和紋理分別表現(xiàn)在不同分辨率層次上，而且具有檢測(cè)邊沿的能力。因此，利用小波變換在去除噪聲時(shí)，并且能夠較好地保持圖像的細(xì)節(jié)，可提取并保存對(duì)視覺(jué)起主要作用的邊緣信息，成為常用的去噪方法?；谛〔ǚ治龅娜ピ敕椒ㄗ钤缡怯?Mallat于1992年提出的基于模極大值的圖像去噪法[1]，Donoho在1994年提出采取全局閾值的小波系數(shù)萎縮方法[2]，1998年 Crouse等人提出小波域的隱馬爾科夫樹(shù)模型HMT[3]，及后來(lái)Sendur等人考慮了小波系數(shù)上下級(jí)的相關(guān)性，提出BiShrink[4]和Local—BiShrink[5]方法，2005年，Cho等人提出了基于廣義高斯分布的統(tǒng)計(jì)去噪法[6]，廣義高斯分布(GGD)是一類(lèi)以Laplacian分布和Gaussian分布為特例，以δ函數(shù)和均勻分布為極限形式的對(duì)稱(chēng)分布。常用的小波有離散小波變換(DWT)、復(fù)小波(CWT)及脊波(Ridgelet)等。

四元數(shù)小波變換是實(shí)小波、四元數(shù)理論及二維希爾伯特變換相結(jié)合的產(chǎn)物，它是一種新的多尺度分析圖像處理工具，具有近似平移不變性，它克服了以往實(shí)小波的兩個(gè)不足[7-8]，第一，實(shí)離散小波變換(DWT)中，當(dāng)圖像（信號(hào)）微小平移后，圖像的平滑和邊緣區(qū)域的特征會(huì)產(chǎn)生很大的變化, 形成邊緣處的模糊；第二，用相位表示圖像的局部信息。雙樹(shù)復(fù)小波雖然克服了第1個(gè)問(wèn)題，但是它只有一個(gè)幅角，在表示二維圖像特征時(shí)會(huì)產(chǎn)生信號(hào)相位歧義。

廣義高斯分布是目前采用的先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，雖然在尺度內(nèi)可以很好的模擬小波系數(shù)的概率分布，但它完全忽略了小波系數(shù)尺度間的相關(guān)性；二元非高斯分布模型由一個(gè)實(shí)參和兩個(gè)變?cè)獦?gòu)成，可以很好地體現(xiàn)小波系數(shù)尺度間的相關(guān)性，但無(wú)法體現(xiàn)尺度內(nèi)的小波系數(shù)之間的聯(lián)系。本文提出一種混合統(tǒng)計(jì)模型，該模型結(jié)合尺度內(nèi)和尺度間兩個(gè)模型的特點(diǎn)，先用非高斯分布模型模擬尺度間系數(shù)分布，將小波系數(shù)劃分為兩類(lèi)：重要系數(shù)和不重要系數(shù)；再用廣義高斯分布模擬尺度內(nèi)系數(shù)，運(yùn)用最小均方誤差估計(jì)(MMSE)從噪聲圖中的小波系數(shù)恢復(fù)原圖的小波系數(shù)。然后將該混合模型與四元數(shù)小波相結(jié)合，將其應(yīng)用于圖像去噪中。需要說(shuō)明的是，文中所提出的模型，去噪同時(shí)相當(dāng)于對(duì)圖像進(jìn)行壓縮，記本文中的壓縮比為小波去噪的壓縮比，并用零系數(shù)所占的比例來(lái)刻畫(huà)。實(shí)驗(yàn)表明：該方法不僅取得了很好的去噪效果，圖像的壓縮比也較高。

1 四元數(shù)小波變換

1.1 四元數(shù)解析信號(hào)

定義 1 設(shè) f( x, y)使一個(gè)實(shí)二維信號(hào)，則四元數(shù)解析信號(hào)可定義[9]為為信號(hào) f( x, y)沿x軸和 y軸 及沿x, y軸的Hilbert變換。

1.2 二維四元數(shù)小波變換

則可以得到四元數(shù)小波的尺度函數(shù)及水平、垂直、對(duì)角方向的小波函數(shù)的具體形式如下

四元數(shù)小波變換采用了 4個(gè)實(shí)離散小波變換（DWT），第1個(gè)實(shí)離散小波對(duì)應(yīng)四元數(shù)小波的實(shí)部，第2，3及4個(gè)實(shí)離散小波是由第1個(gè)實(shí)離散小波經(jīng)Hilbert變換所得到，分別對(duì)應(yīng)四元數(shù)小波的3個(gè)虛部。

2 混合統(tǒng)計(jì)模型

2.1 尺度間模型

在小波變換域上不同尺度間的小波系數(shù)存在一定的相關(guān)性，在Lewis和Knowles零樹(shù)編碼思想中[10]，提出這樣一個(gè)假設(shè)：如果在某一尺度上的小波系數(shù)（父系數(shù)）較大（小），那么在其臨近尺度上同一個(gè)空間位置上的小波系數(shù)（子系數(shù)）往往也會(huì)比較大（小）。于是可以將小波系數(shù)劃分為兩類(lèi)：重要系數(shù)和不重要系數(shù)。具體算法為：設(shè)定一個(gè)閾值T，當(dāng)父系數(shù)大于T時(shí)，那么子系數(shù)為重要系數(shù)，否則子系數(shù)為不重要系數(shù)。由這種思想使得零樹(shù)編碼得到了較高的壓縮比。但實(shí)際圖像進(jìn)行小波分解后，僅比較父系數(shù)就得出子系數(shù)的分類(lèi)，會(huì)有很大的誤差，閾值T也不容易確定。于是我們提出用非高斯分布來(lái)模擬尺度間的父子小波系數(shù)。

它是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的概率密度函數(shù)，其最重要的特征就是可以很好的體現(xiàn)m1和m2的相關(guān)特性。它可以很好的體現(xiàn)小波系數(shù)上下層之間的關(guān)系。其中a是一個(gè)自由參數(shù)，在圖像處理過(guò)程中可以靈活的選取a的大小。文獻(xiàn)[11]直接將a取為 4來(lái)進(jìn)行后續(xù)工作，但在多次實(shí)驗(yàn)后可以發(fā)現(xiàn)a大小在3附近。本文將a取為3，定義函數(shù)

分類(lèi)準(zhǔn)則的證明類(lèi)似于文獻(xiàn)[11]。由分類(lèi)準(zhǔn)則可以得到兩類(lèi)小波系數(shù)，由于小波系數(shù)具有稀疏特性，從而直接令不重要的小波系數(shù)為零，對(duì)那些重要的小波系數(shù)再在下面的尺度內(nèi)模型上運(yùn)用MMSE估計(jì)原圖像的小波系數(shù)。

2.2 尺度內(nèi)模型

Mihcak等人提出LAWML和LAWMAP方法[12]，由于采用了局部適應(yīng)性很強(qiáng)的系數(shù)模型，得到了較好的去噪效果。但是由于過(guò)多的保留了小波系數(shù)，從而重建的圖像毛刺現(xiàn)象很?chē)?yán)重，也不利于壓縮。本文由于考慮了尺度間和尺度內(nèi)的關(guān)系，可以很好的解決上述問(wèn)題。

LAWMAP是以LAWML為基礎(chǔ)提出來(lái)的，本文只采用LAWML方法。LAWML方法是以雙隨即過(guò)程為小波系數(shù)模型。此模型將小波系數(shù)看成互相獨(dú)立的高斯變量，若已知的話，用MMSE來(lái)估計(jì)小波系數(shù)為

從上式可以看出，LAWML方法實(shí)際上就是比例萎縮法。對(duì)每層的重要小波系數(shù)用式（2）即可得到原圖像的小波系數(shù)的估計(jì)。

3 圖像去噪的算法步驟

下面給出算法步驟：

Step 1 對(duì)含噪圖像進(jìn)行 5層四元數(shù)小波(QWT)分解；

Step 2 用式（3）估計(jì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，用式（1）估計(jì)小波系數(shù)方差；

Step 3 用分類(lèi)準(zhǔn)則對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)不重要的小波系數(shù)直接置為零，對(duì)重要的小波系數(shù)用式（2）估計(jì)原圖像小波系數(shù)；

Step 4 將估計(jì)得到的小波系數(shù)進(jìn)行四元數(shù)小波逆變換(IQWT)，得到降噪圖像。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

在仿真實(shí)驗(yàn)中，對(duì)512×512的Lena和Barbara圖像進(jìn)行測(cè)試，加入均值為零、方差為 σn2的高斯白噪聲。將本文的去噪方法與選用 Donoho’s HT方法[13]（db8小波）進(jìn)行硬閾值，Mihcak[12]等人提出LAWML(5×5)以及Bayes風(fēng)險(xiǎn)最小的閾值法(BayesShrink)的去噪方法進(jìn)行比較。然后運(yùn)用去噪后的圖像的峰值信噪比(PSNR)和視覺(jué)效果來(lái)評(píng)價(jià)本文的方法。其中峰值信噪比定義為其中，X、Y分別為原始圖像和去噪后的圖像，N2為圖像大小。

下面我們給出去噪結(jié)果的PSNR、效果圖及零系數(shù)所占比例。

表1 含噪圖像去噪后的峰值信噪比及時(shí)間

圖1 噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σn=25的Lena圖像的各種算法去噪圖像

圖2 噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σn=25的Barbara各種算法去噪圖像

圖3 σn=25的 Lena 圖像去噪后局部放大圖

表2 本文方法去噪后小波系數(shù)中零系數(shù)占的比例

從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及效果圖可以看出，本文提出的基于四元數(shù)小波的混合統(tǒng)計(jì)模型圖像去噪方法比 Donoho’s HT 方法[13]（db8小波）硬閾值和BayesShrink去噪效果有明顯的優(yōu)勢(shì)，在峰值信噪比上取得了較大的提高，從圖3可以看出：本文去噪方法保留了圖像大部分細(xì)節(jié)信息，圖像更光滑，視覺(jué)效果更好；與Mihcak等人[12]提出的LAWML也有不少改善，不僅獲得了比上述這些方法有更好的峰值信噪比，而且從表2可以看出，由于LAWML方法去噪后的零系數(shù)很少，而本文的去噪方法零系數(shù)占了相當(dāng)大的比例，去噪后的壓縮比與經(jīng)典的比例萎縮法有了較大提高。

5 結(jié) 論

本文提出了基于四元數(shù)小波的混合統(tǒng)計(jì)模型圖像去噪，利用小波系數(shù)尺度間和尺度內(nèi)的相關(guān)性，分類(lèi)出重要系數(shù)和不重要系數(shù)，再用比例萎縮法估計(jì)出原圖像的小波系數(shù)。無(wú)論在峰值信噪比上還是在視覺(jué)效果上都優(yōu)于許多經(jīng)典的去噪算法，并且取得了較高的壓縮比。雖然計(jì)算時(shí)間上稍長(zhǎng)些，但是大多數(shù)情況下不會(huì)影響其在實(shí)際中的應(yīng)用。

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