基于C-B樣條的三角形和四邊形曲面生成

李 薇， 吳卓奇， 荻原一郎

（1.南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 南京 210044；2.上海交通大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，上海 200240；3.東京工業(yè)大學(xué)理工學(xué)研究科，日本 東京 152-8550）

自由曲面在計算機輔助設(shè)計(CAD)及幾何模 型等領(lǐng)域有著重要和廣泛的應(yīng)用。我們知道，B樣條和有理B樣條已經(jīng)成為自由曲線曲面表示的標準，具有參數(shù)曲面表示和精確表示圓錐曲面等優(yōu)點,但是由于其多項式及有理多項式的表示形式會產(chǎn)生一些局限性，例如，它在張量積的拓撲方面的限制是一個很大的缺點，往往會為了滿足數(shù)據(jù)網(wǎng)格的拓撲結(jié)構(gòu)而增加多余的控制點，從而給幾何造型增加了難度。其有理多項式的表示形式，求導(dǎo)求積分復(fù)雜繁瑣，而且微分后分母的階數(shù)過高，給討論其連續(xù)拼接時增加了困難。另外有理 B樣條中的每個控制點都有的權(quán)因子的確定方法也不明確，再就是它也不能精確的表示像螺旋線，擺線等一些超越函數(shù)曲線[1]。

為了克服上述問題，ZhangJiwen[2-4]和Pottmann[5]分別考慮了由基底{sin t, cos t, t, 1}產(chǎn)生的C-B樣條曲線。由C-B樣條曲線可以構(gòu)造張量積型曲面[4]，我們在這篇文章中利用邊-頂點方法[6]構(gòu)造插值算子, 再將這些算子進行凸性組合[7-9]，分別將 C-B樣條曲線推廣成三角形曲面片和四邊形曲面片，它可以用于CAD的逆向工程的測量數(shù)據(jù)網(wǎng)格的曲面重建。

1 預(yù)備知識

C曲線由基底函數(shù){sin t, cos t, t, 1}生成，它不僅可以精確表示二次曲線，還可以表示工程中用到的螺旋線，擺線等一些超越函數(shù)曲線。C曲線和三次曲線具有類似的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，也有三種曲線形式，分別叫做C-Hermite多項式，C- Bézier曲線及 C-B樣條曲線。這里，我們只介紹 C-B樣條曲線，其他2種曲線生成曲面的方法類似。

C-B樣條曲線在區(qū)間(0,)α(α≤π)的定義為

下面介紹重心坐標[10]：

設(shè)T 是三維空間3個點T1，T2，T3為頂點的一個三角形，P為這個三角形所在平面上的一點，P可以表示為

這里，u+v+w=1，u, v, w 叫做點P關(guān)于三角形T的重心坐標。

2 三角形曲面的生成方法

首先，利用邊-頂點方法構(gòu)造3個插值算子

將這3個算子進行凸性組合得到三角形曲面片如下

這里u, v, w 是重心坐標。根據(jù)上式，3個算子插值于邊界曲線 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3及其一階導(dǎo)數(shù)，所構(gòu)造的曲面片內(nèi)部是C1連續(xù)的。

若將式(2)中 3個算子的系數(shù)權(quán)函數(shù)表示為W1,W2,W3, 即

圖1顯示了三角形區(qū)域的邊界上的3條C-B曲線F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，圖2給出了由這3條C-B曲線所生成的三角形曲面。

圖1 邊界上的3條C-B曲線

圖2 由邊界上3條C-B曲線生成的三角形曲面

3 四邊形曲面的生成方法

為了在定義域為四邊形的區(qū)域上生成四邊形曲面，類似三角形曲面的生成方法，首先利用邊界上的4條C-B曲線F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，構(gòu)造2個插值于邊界曲線 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4及其一階導(dǎo)數(shù)的算子

下面的圖3及圖4顯示了上述方法的實驗結(jié)果。

圖3 四邊形區(qū)域邊界上的4條C-B曲線

圖4 邊界上的4條C-B曲線生成的四邊形曲面

4 實驗結(jié)果及結(jié)論

上述所構(gòu)造的曲面片可以用于CAD逆向工程。例如，用激光掃描或三維 CCD照相機可以得到幾何實體的一組測量數(shù)據(jù)，將其網(wǎng)格化后，形成三角形或四邊形網(wǎng)格，然后在這些網(wǎng)格上生成光滑的復(fù)合曲面。

例1 一個狗的測量數(shù)據(jù)由640個點及1286個三角形組成如圖5所示，生成的復(fù)合曲面顯示于圖6。

圖5 狗的三角形網(wǎng)格

圖6 由狗的網(wǎng)格生成的曲面

例2 這是一組由三角形和四邊形混合組成的網(wǎng)格（圖7）生成的復(fù)合曲面（圖8）。

圖7 三角形和四邊形混合組成的網(wǎng)格

圖8 由混合網(wǎng)格生成的曲面

本文給出了將 C-B樣條曲線推廣成三角形和四邊形曲面片的方法。利用邊-頂點方法構(gòu)造插值算子，再將這些算子進行凸性組合，可以構(gòu)造內(nèi)部C1連續(xù)的三角形曲面片和四邊形曲面片，通過實例驗證了它可以用于CAD的逆向工程中散亂數(shù)據(jù)的曲面重構(gòu)。從實驗結(jié)果，其保凸性、恢復(fù)形狀及內(nèi)部光滑性較好，但目前無法像伯恩斯坦多項式為基底的三角形曲面在曲面內(nèi)部有控制點可以進行曲面形狀的調(diào)整，這是今后需努力的方向。另外今后還將探討所構(gòu)造的三角形曲面片和四邊形曲面片之間的光滑拼接條件和方法。

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