基于混沌時間序列支持向量機的開關磁阻電機建模

齊 群

（1. 華南理工大學，廣州 510640；2. 廣東交通職業(yè)技術(shù)學院，廣州 510650）

0 引言

開關磁阻電機(SRM)以其特有的工作可靠、轉(zhuǎn)矩慣量比大、脈動小、效率高和成本較低等優(yōu)點，成功地應用于日常生活的各個領域。但由于SRM電機定、轉(zhuǎn)子采用的是雙凸極結(jié)構(gòu)，其電流及磁鏈隨時間呈單向性脈沖變化，相繞組磁鏈是轉(zhuǎn)子位置角和繞組相電流的函數(shù), 磁路高度飽和，使得其磁鏈特性和轉(zhuǎn)矩特性均為轉(zhuǎn)子位置角和繞組電流的高度非線性函數(shù)，很難精確分析和計算電機磁特性，而提高其調(diào)速系統(tǒng)性能的關鍵是要建立SRM準確的非線性模型。

針對上述種種問題，國內(nèi)外學者對SRM模型進行了大量的研究，如局部線性法、利用查表法和模糊邏輯法及有限元分析建模法。采用局部線性方法建模比較簡單但是精度較差；利用查表法和模糊邏輯法建立了電流模型，也是假設在磁路不飽和的基礎上的；有限元分析法精度高、適應性好,同時它有計算量大和繁瑣費時的缺點。雖然上述方法在一定程度上能優(yōu)化系統(tǒng)的部分性能,但不能較好地適應負載及環(huán)境變化。神經(jīng)網(wǎng)絡具有良好的非線性映射能力、并行處理信息以及自學習、適應的能力，因此越來越多的研究者把研究方向轉(zhuǎn)向神經(jīng)網(wǎng)絡技術(shù)，如模糊神經(jīng)網(wǎng)絡和BP神經(jīng)網(wǎng)絡等，顯示出一定的優(yōu)越性。但神經(jīng)網(wǎng)絡存在局部極小點，不能全局尋優(yōu)；過學習問題及結(jié)構(gòu)和類型的選擇嚴重依賴于經(jīng)驗等固有的缺陷，嚴重降低了其應用和發(fā)展的效果。支持向量機是一種基于統(tǒng)計學習理論的機器學習方法，采用結(jié)構(gòu)風險最小化準則，較好地解決小樣本、非線性和局部最小值問題，具有良好的泛化能力；本文利用混沌動力系統(tǒng)的相空間延遲坐標重構(gòu)理論與支持向量機相結(jié)合,建立了基于混沌時間序列支持向量機預測模型,并利用最小二乘方法進行訓練,通過仿真實驗測試數(shù)據(jù)與預測數(shù)據(jù)比較，表明了基于混沌時間序列支持向量機用于SRM建模的可行性和高效性。

1 SRM的建模分析

開關磁阻電機運行遵循“磁阻最小原理”，并且飽和效應、邊緣效應較為顯著，繞組電感與磁鏈都是電流和轉(zhuǎn)子位置角的非線性函數(shù)。根據(jù)電路基本定律，開關磁阻電機第k相的電壓平衡方程式為：

其中：Uk為加入k相的電壓；Rk為k相的電阻；ik為k相的電流；ψk為電機定子k相的磁鏈，可用電感和相電流的乘積來表示：

其中θ為轉(zhuǎn)子位置角；L(ik,θ)為在位置θ時電機相繞組電感。

根據(jù)力學定律可得開關磁阻電機的電磁轉(zhuǎn)矩Te和負載轉(zhuǎn)矩TL作用下的轉(zhuǎn)子機械運動方程為：

其中：J為轉(zhuǎn)動慣量；Q為摩擦系數(shù)。從上面的過程可以看出磁鏈特性（式（2））對于整個開關磁阻電機系統(tǒng)建模是很重要的。

假設初始t＝0時k相磁鏈值表示為ψk(0)，式(1)可得出瞬時的磁鏈：

如果知道各相繞組在工作狀態(tài)的電阻值，通過測量任意時刻相繞組的兩端電壓和電流，并按式(4)進行積分，就可以計算出任意瞬時的磁鏈值k，即可獲得任意時刻的采樣數(shù)據(jù)。

2 支持向量機的基本原理

假定訓練數(shù)據(jù)X＝{(x1,y1), (x2,y2), !(xl,yl)},Rn×R，其xi為輸人向量，yi是xi相對應的輸出值，l為樣本數(shù)，其基本思想就是通過一個非線性映射函數(shù)Φ中將樣本點xi映射到高維特征空間F，并使之轉(zhuǎn)化為高維空間的線性問題：

ω表示超平面的權(quán)重向量；b為閾值；〈 ·〉表示向量內(nèi)積。

根據(jù)Vapnik的VC維理論和結(jié)構(gòu)風險最小化原則，式(5)中的f(x)應使目標函數(shù)J最小。

其中，懲罰系數(shù)C>0，用于調(diào)整置信范圍和經(jīng)驗誤差間的均衡。L(f(xi),yi)為懲罰函數(shù)，

因此就將尋找（5）式的參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求解（7）式的優(yōu)化問題。為了解決這樣一個優(yōu)化問題，引人拉格朗日函數(shù)，利用對偶理論, 計算得到優(yōu)化問題的對偶式：

其中約束條件為：求解后得到拉格朗日算子ai，，其中只有

ai≠ai*對應的數(shù)據(jù)點定義靠近約束邊界的樣本向量，并由（5）得到回歸函數(shù)：

在選擇核函數(shù)之后，對支持向量機進行訓練，可以得到時刻支持向量機的進一步預測模型：

其中，m為嵌入維數(shù)；τ為延遲時間間隔，因此，可以得到第r步基于混沌序列支持向量機的預測模型為：

式中r為預測的步長。

3 混沌時間序列支持向量機的開關磁阻電動機模型與仿真分析

利用混沌時間序列支持向量機的開關磁阻電機模型結(jié)構(gòu)如圖1所示：輸入?yún)?shù)為繞組相電流和i轉(zhuǎn)子位置角θ，輸出為磁鏈ψ。利用SVM來逼近磁鏈ψ與相電流i和轉(zhuǎn)子位置角θ之間的非線性關系，獲取每隔5°的轉(zhuǎn)子位置角θ處的隨機電流i作用下的磁鏈ψ，將其作為測試樣本。

圖1 混沌時間序列支持向量機的開關磁阻電機模型結(jié)構(gòu)

只要選擇滿足條件的適當?shù)暮撕瘮?shù)來代替內(nèi)積，就可以將原始空間不可分的數(shù)據(jù)在高維空間可分。徑向基核函數(shù)是一個比較通用的核函數(shù)，能夠?qū)崿F(xiàn)非線性映射、數(shù)值誤差小，通過參數(shù)選擇，它可以適用于各種分布的樣本，因此本文選用徑向基核函數(shù)為SVM的核函數(shù)。徑向基核核有校正因子γ和寬度系數(shù)σ兩個參數(shù)需要確定。本文采用先粗選后細選的方法來提高參數(shù)選擇的速度與精確度：首先選取分布均勻的離散點作為參數(shù)初始點，在保證誤差較小的條件下，比較各個離散點絕對誤差、均方根誤差和收斂速度，對參數(shù)進行粗選，初步確定最優(yōu)參數(shù)對的范圍。評價模型估計效果的性能指標定義如下（為預估值，y為樣本值）：

最大絕對誤差：

均方根誤差：

再根據(jù)初步確定的范圍，選擇參數(shù)中心點及步長；以中心點為基點，在步長上選取若干個方向點，以最大絕對誤差和均方根誤差最小為選擇條件，選取新的中心點;逐次選優(yōu)，若達到給定的學習精確度和收斂速度，選優(yōu)過程結(jié)束，否則返回最初點改變步長繼續(xù)訓練。利用本模型對測試樣本進行預測，圖2便為利用訓練好的混沌時間序列支持向量機模型仿真得到的特性曲線，可以看出其與實際采樣數(shù)據(jù)磁化曲線基本重合，有很好的擬合能力。

圖2 SRM模型預測和實際磁鏈曲線

為比較各種建模方法的優(yōu)缺點，本文列出了三種建模方法的性能指標進行對比，如表1所示：

表1 采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡與本文建模的仿真結(jié)果

從表中可以看到本文的方法在樣本容量由小到大的變化中測試誤差波動不大，算法快速，不會出現(xiàn)‘過學習’現(xiàn)象，因此以混沌時間序列支持向量機很好的克服了神經(jīng)網(wǎng)絡的缺點具有更好的泛化能力。

本文為驗證建模方法的有效性，建立了SRM調(diào)速系統(tǒng)的實驗平臺。平臺包括實驗樣機機組和控制系統(tǒng)。SRM調(diào)速系統(tǒng)的仿真條件為: 供電電壓220 V，裂相式功率電路，開通角為-2.5°，關斷角為22.5°，電壓控制方式為PWM，適當調(diào)節(jié)負載使電壓PWM波的占空比為100%。在轉(zhuǎn)速為1500r/min時，實驗電流波形與仿真電流波形比較如圖3所示。

由圖3可知仿真電流和實驗電流電流峰值分別為7.5 A和7.6 A，波形誤差小，波形吻合較好，說明本文建模方法的正確性和有效性。

圖3 完全相同條件下的仿真電流波形與實驗電流波形比較

4 結(jié)束語

本文利用混沌時間序列支持向量機在非線性建模和預測的快速收斂和高度精確的特點，提出了一種開關磁阻電動機模型，仿真結(jié)果表明，比傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡建模方法有很大的提高，本模型具有魯棒性好、模型精度高和收斂速度快的優(yōu)點；并且仿真電流波形與實驗電流波形擬合較好，波形誤差小，說明了本文建模方法的正確性和有效性。

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