兩類(lèi)6 維冪零李代數(shù)的上同調(diào)群

楊恒云，葉鑫

(上海海事大學(xué) 文理學(xué)院，上海 201306)

0 引言

冪零李代數(shù)是一類(lèi)重要的李代數(shù).［1-2］設(shè)L是復(fù)數(shù)域C 上的李代數(shù).{Lk}(k≥0)是L 的降中心序列.若存在k∈N，使得Lk={0}，則稱(chēng)L為冪零李代數(shù).由于冪零李代數(shù)中更特殊的低維冪零李代數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題尚未解決，許多學(xué)者一直以來(lái)都致力于對(duì)低維冪零李代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，其中包括對(duì)導(dǎo)子代數(shù)、自同構(gòu)群、二上循環(huán)等的研究.例如:文獻(xiàn)［3］研究一些特殊的10 維冪零李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù);文獻(xiàn)［4］研究小于等于4 維復(fù)冪零李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù);2005年，de GRAAF［5］利用SCHNEIDER［6］給出的小于等于6 維冪零李代數(shù)的分類(lèi)，得到特征不為2 時(shí)小于等于6 維冪零李代數(shù)的所有表達(dá)式.

本文研究文獻(xiàn)［5］中給出的兩類(lèi)6 維復(fù)冪零李代數(shù)的低階上同調(diào)群.記這兩類(lèi)復(fù)冪零李代數(shù)為L(zhǎng)1和L2，設(shè)他們的基均為{x1，x2，…，x6}，李括號(hào)積分別為

其余李括號(hào)積全為零.本文刻畫(huà)出這兩類(lèi)李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)、自同構(gòu)群和二上循環(huán).

1 導(dǎo)子代數(shù)

研究L1和L2的導(dǎo)子代數(shù)結(jié)構(gòu)，給出它們的所有內(nèi)導(dǎo)子和外導(dǎo)子.

首先給出一些基本定義.

定義1 設(shè)L是復(fù)數(shù)域C 上的李代數(shù)，D是L上的一個(gè)線性變換，且滿(mǎn)足

則稱(chēng)D為L(zhǎng) 的導(dǎo)子.記L 的所有導(dǎo)子的集合為Der(L).

顯然，Der(L)是一般線性李代數(shù)gl(L)的子代數(shù)，稱(chēng)其為L(zhǎng) 的導(dǎo)子代數(shù).令ad L={ad x|x∈L}，則ad L是Der(L)的理想，稱(chēng)其為L(zhǎng) 的內(nèi)導(dǎo)子代數(shù).

定理1 李代數(shù)L1的導(dǎo)子代數(shù)為

式中:di(i=1，2，…，9)是L1的外導(dǎo)子，且滿(mǎn)足條件(d1(x1)=x1，d1(x3)=x3，d1(x5)=2x5，d1(x6)=2x6;d2(x1)=x2;d3(x1)=x4，d3(x5)=-x3;d4(x1)=x5，d4(x4)=x3;d5(x2)=x2，d5(x3)=x3，d5(x5)=x5，d5(x6)=x6;d6(x2)=x6;d7(x4)=x4，d7(x5)=-x5;d8(x4)=x5;d9(x5)=x4)，di(i=1，2，…，9)在其他生成元上的作用為零.

證明 任取D∈Der(L1)，設(shè)

將D 作用在［x1，x2］=x3的兩邊，得

所以有

將D 分別作用在［x1，x3］=x6，［x4，x5］=x6的兩邊，得

將D 作用在L1的其他所有的李括號(hào)積上，得

從而有

利用L1的定義，易得D-a32ad x1+ a31ad x2+a61ad x3-a65ad x4+a64ad x5對(duì)應(yīng)的矩陣為

定理得證.

定理2 李代數(shù)L2的導(dǎo)子代數(shù)為

式中:di(i=1，2，…，6)是L2的外導(dǎo)子，且滿(mǎn)足條件(d1(x1)=x1，d1(x2)=2x2，d1(x3)=3x3，d1(x4)=4x4，d1(x5)=3x5，d1(x6)=5x6;d2(x1)=x2，d2(x4)=x6，d2(x5)=-x4;d3(x1)=x5，d3(x3)=-x6;d4(x2)=x4，d4(x3)=x6;d5(x2)=x5;d6(x5)=x6)，di(i=1，2，…，6)在其他生成元上的作用為零.

證明 任取D∈Der(L2)，設(shè)

將D 作用在L2的所有李括號(hào)積上，經(jīng)過(guò)整理計(jì)算得到D 所對(duì)應(yīng)的矩陣為

定理得證.

2 自同構(gòu)群

定義2 設(shè)L是復(fù)數(shù)域C 上的李代數(shù)，若L 的可逆線性變換σ 滿(mǎn)足

則稱(chēng)，σ是L 的自同構(gòu).

顯然，L 上的自同構(gòu)關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.L 的所有自同構(gòu)構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)其為L(zhǎng) 的自同構(gòu)群，記作Aut L.

定理3 李代數(shù)L1的自同構(gòu)群Aut L1={D1∈M at(6，C)}，D1的表達(dá)式見(jiàn)證明過(guò)程.

證明 任取σ∈Aut L1，設(shè)

由［σ(x1)，σ(x2)］=σ(x3)得

將σ 分別作用在［x1，x3］=x6，［x4，x5］=x6的兩邊，利用上面的結(jié)果得

由［σ(xi)，σ(x3)］=0，i=2，4，5，得

由于σ是自同構(gòu)的，有a66≠0，從而a11和a33≠0，所以

將σ 分別作用在［x1，x4］=0，［x1，x5］=0 的兩邊，得

由于a11≠0，得

將σ 分別作用在［x2，x4］=0，［x2，x5］=0 的兩邊，得

若a42≠0，則必有a52≠0，否則與a66≠0 矛盾.在這種情況下，由上面兩個(gè)式子可以得

這與a66≠0 矛盾，所以

將以上結(jié)果整理后有

從而σ 所對(duì)應(yīng)的矩陣為

其中a44a55-a54a45=a66≠0，a11，a22和a33≠0.定理得證.

定理4 李代數(shù)L2的自同構(gòu)群Aut L2={D2∈M at(6，C}，D2的表達(dá)式見(jiàn)證明過(guò)程.

證明 任取σ∈Aut L2，設(shè)

類(lèi)似定理3 的證明方法，得到σ 所對(duì)應(yīng)的矩陣為

其中a11≠0.定理得證.

3 二上循環(huán)

定義3 設(shè)L是復(fù)數(shù)域C 上的李代數(shù)，L 上的雙線性函數(shù)θ:L×L→C 滿(mǎn)足

則稱(chēng)θ為L(zhǎng) 的二上循環(huán).L 的所有二上循環(huán)組成的集合記為Z2(L，C).

設(shè)V是C 上的一維線性空間，0≠c∈V.在線性空間Lθ=L⊕V 上定義

則Lθ是L 的中心擴(kuò)張.由此看到，二上循環(huán)在李代數(shù)的中心擴(kuò)張中起著重要作用.對(duì)L 上的任一線性函數(shù)f:L→C，令

則θf(wàn)是L 的一個(gè)二上循環(huán)，稱(chēng)為二上邊緣或平凡二上循環(huán).L 的所有二上邊緣張成的向量空間記為B2(L，C).設(shè)η∈B2(L，C)，則Lθ≌Lθ+η.因此，只需考慮下面的集合

稱(chēng)為L(zhǎng) 的二上同調(diào)群.

下面給出李代數(shù)L1和L2的二上同調(diào)群.

定理5 dim H2(L1，C)=6.

證明 任取θ'∈Z2(L1，C)，定義L1上的一個(gè)線性函數(shù)f:L1→C 如下

令θ=θ'-θf(wàn)，則有

將x1，x2，x3代入條件(2)得

從而

在條件(2)中取遍L(zhǎng)1的一組基后，結(jié)合條件(1)，得

并且θ(x1，x4)，θ(x1，x5)，θ(x2，x3)，θ(x2，x5)，θ(x4，x5)是自由的.定理得證.

定理6 dim H2(L2，C)=5.

證明 任取θ'∈Z2(L2，C)，定義L2上的一個(gè)線性函數(shù)f:L2→C 如下

令θ=θ'-θf(wàn)，則有

利用公式(2)和L2的定義，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到僅有θ(x1，x5)，θ (x2，x3)，θ (x2，x5)，θ (x2，x6)=θ(x3，x4)，θ(x1，x6)=θ(x2，x4)=θ(x3，x5)是自由的.定理得證.

［1］孟道驥.復(fù)半單李代數(shù)引論［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1998:38-44.

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