非線性機(jī)械系統(tǒng)PID控制漸近穩(wěn)定性分析

馬唯一

1.上海市采埃孚轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限公司，上海 200062

2.上海交通大學(xué)自動(dòng)化系，上海 200240

雖然當(dāng)前控制理論與技術(shù)實(shí)現(xiàn)了持續(xù)的發(fā)展和進(jìn)步，同時(shí)人們也提出了不同的非線性比例的積分和微分方程，有效改善了傳統(tǒng)線性PID品質(zhì)，但大多數(shù)的實(shí)際機(jī)械控制系統(tǒng)依舊采用傳統(tǒng)的線性PID進(jìn)行控制。而PID控制的非線性機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一直是研究中的難點(diǎn)。

Arimoto提出了不確定的非線性機(jī)械系統(tǒng)PID局部控制趨向穩(wěn)定性，而Kelly則提出根據(jù)飽和函數(shù)在實(shí)踐中的引入明確了非線性不確定機(jī)械系統(tǒng)控制的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。相應(yīng)的專家還了解到自適應(yīng)飽和P加D控制過程中所呈現(xiàn)的機(jī)械系統(tǒng)全局穩(wěn)定性特點(diǎn)。根據(jù)近期的文獻(xiàn)研究了解到，專業(yè)的研究者所提出的新型的飽和函數(shù)，有效證明了P加D飽和同步誤差的非線性控制機(jī)器人系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定特點(diǎn)。

1 機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型與特性

n自由度的自由度旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)非線性機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型描述如下：

上述公式中，q為關(guān)節(jié)位置， 為速度矢量， 為加速度矢量，M（q）為對稱正定慣性矩陣，而B0為關(guān)節(jié)線性阻尼摩擦力矩陣，C(q，)為哥氏力以及離心力矩陣，而g（q）是重力向量，U(q)是由于重力而形成的勢能，而則是力矩控制矢量。

非線性機(jī)械系統(tǒng)一般具有一下所示的結(jié)構(gòu)特性：

1）當(dāng)B0，實(shí)際上也是線性阻尼矩陣為對角正定矩陣，慣性矩陣保持對稱正定且并非無限，是有界的，其范圍滿足如下關(guān)系式：

其中的λm（M）以及λm(M)表示的是在M（q）矩陣中的最小特征值和最大特征值。

2）對于特定的qd以及任意的q以及α＞0，有一個(gè)恒定的對角正定矩陣保證下列關(guān)系式成立：

上述公式中Δq= q- qd為關(guān)節(jié)誤差，而qd與q分別為期望以及實(shí)際的位置。

在實(shí)際的分析過程中，也就是公式中，對于任意的qd，也就的任意給定的期望位置，設(shè)計(jì)出線性PID控制器，通過綜合的考量能與任何的模型信息適用，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了非線性機(jī)械系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性位置的控制，從而致使非線性機(jī)械系統(tǒng)從初始的位置漸進(jìn)穩(wěn)定達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。

2 非線性機(jī)械系統(tǒng)PID控制漸進(jìn)穩(wěn)定性分析

2.1 傳統(tǒng)線性控制半全局漸近穩(wěn)定性

傳統(tǒng)PID線性控制:

公式中的Kp+Ki為恒定對角正比例，而Kd為微分增益矩陣；Ki為積分增益矩陣。

將上述兩個(gè)公式帶入非線性機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型后，可得出閉環(huán)系統(tǒng)的方程如下：

其中B=B0+Kd，通過上述公式，可得知ΔqT TzT為相應(yīng)系統(tǒng)中唯一靜態(tài)平衡點(diǎn)。

根據(jù)對傳統(tǒng)線性PID控制的非線性機(jī)械系統(tǒng)的分析，可得出相應(yīng)的定理：

根據(jù)非線性機(jī)械系統(tǒng)模型定義，傳統(tǒng)線性PID控制系統(tǒng)的應(yīng)用過程中，通過傳統(tǒng)控制器的比例與微分增益參數(shù)適宜的不等式方程的設(shè)定和完善，那么系統(tǒng)的位置誤差處于半全局的漸進(jìn)收斂狀態(tài)。也就的存在穩(wěn)定的吸引域保證

由于公式所表示的Lyapunov函數(shù)V保持正定的。并且函數(shù)V的值將順著閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了時(shí)間倒數(shù)在平衡點(diǎn)附近內(nèi)部吸引域的半負(fù)定。同時(shí)實(shí)際上值為零實(shí)際上也是Δq的值為零以及q?的值為零。根據(jù)LaSalle的不變性原理可了解到，吸引域D的值使處于其吸引域內(nèi)部的初始值都將漸進(jìn)穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)平衡位置的收斂。這似乎達(dá)到了局部漸進(jìn)穩(wěn)定的結(jié)果，然而實(shí)際上影響吸引域大小的常數(shù)值沒有出現(xiàn)在非機(jī)械系統(tǒng)的控制器中，這個(gè)影響的正常數(shù)值大小可隨意自定。同時(shí)也是吸引域的大小為整體的狀態(tài)空間體系，由此，根據(jù)相關(guān)學(xué)者的相似討論可推算出閉環(huán)系統(tǒng)的半全局漸進(jìn)的穩(wěn)定性特點(diǎn)。

2.2 改進(jìn)后的非線性PID控制的全局漸近穩(wěn)定性

根據(jù)相應(yīng)的仿真模擬實(shí)驗(yàn)可知，改善完成之后的NPI-D控制器當(dāng)中，控制系統(tǒng)中的等價(jià)比例的控制參數(shù)小于或者等于線性PID的控制參數(shù)，非線性機(jī)械系統(tǒng)控制器的位置和誤差可根據(jù)仿真試驗(yàn)的結(jié)果看出，在通過了初始控制值的誤差暫時(shí)狀態(tài)過渡完成后，機(jī)器人系統(tǒng)位置控制誤差逐漸接近零。同時(shí)實(shí)現(xiàn)改善后的非線性機(jī)械控制系統(tǒng)，也就是NPI-D系統(tǒng)，與傳統(tǒng)的PID控制系統(tǒng)相比具有更快的反應(yīng)速度。根據(jù)推算的理論體系和結(jié)論明確到，本論文提出的非線性機(jī)械系統(tǒng)NPI-D控制器的改進(jìn)措施引入了較新的且將小誤差放大的飽和函數(shù)，從而明確了在較小的控制增益狀況下依舊能實(shí)現(xiàn)較快的過渡過程。為了保證非線性機(jī)械系統(tǒng)全局區(qū)域穩(wěn)定性而采取的，通常所用的雙曲余切函數(shù)無法放大誤差，為了實(shí)現(xiàn)滿意的系統(tǒng)過渡，機(jī)械系統(tǒng)中的比例以及積分的增益都相對大一些。

首先通過相類似的勢能函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對相應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定性特點(diǎn)的推導(dǎo)：

針對近似的勢能函數(shù)求導(dǎo)可得出非線性的飽和函數(shù)如下所示：

通過簡單的運(yùn)算可證明上述引理的成立。

應(yīng)用勢能函數(shù)針對x求導(dǎo)得出的非線性飽和函數(shù)，相應(yīng)的非線性PI加D的控制器可表述為如下公式：

其中的Kp、Kd、Ki的值未恒定對角正定增益矩陣，可是實(shí)現(xiàn)如下矢量的定義：

同時(shí)引入一定的矢量值：

將上述公式代入近似勢能函數(shù)可得出閉環(huán)的系統(tǒng)方程為：

對于公式中所控制的閉環(huán)系統(tǒng)，可推出如下定理：

3 結(jié)論

通過對相應(yīng)線性控制的非線性機(jī)械系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的分析，清晰明確地回答了這一開放性問題。雖然并沒有對線性控制全局的漸進(jìn)穩(wěn)定性進(jìn)行闡述，但實(shí)際證明了實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)中的半全局的漸進(jìn)穩(wěn)定性，同時(shí)在傳統(tǒng)的線性PID控制半全局漸進(jìn)穩(wěn)定性的分析基礎(chǔ)之上，提出了改進(jìn)的NPI-D控制體系，通過相應(yīng)專業(yè)理論的應(yīng)用證明了閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，通過實(shí)際的實(shí)例進(jìn)一步表明了理論分析結(jié)果的正確和有效。

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