Banach空間中一類序壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理

卜香娟

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

Banach空間中一類序壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理

卜香娟

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

在Banach空間中,利用迭代方法,研究了滿足一定條件的序壓縮算子的一些性質(zhì),獲得了一類序壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理,證明了相應(yīng)的結(jié)果,推廣和改進(jìn)了原有的結(jié)論,使其應(yīng)用范圍更加廣泛.

序Banach空間;正規(guī)錐;不動(dòng)點(diǎn);序壓縮算子

1 引言及基本概念

近年來,很多學(xué)者研究了實(shí)Banach空間以及序Banach空間[1]中序壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理,文獻(xiàn)[2]引入了幾種按序壓縮的壓縮性映射,并證明了相應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)定理,本文在較弱的條件下討論了一類序壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理并給出了證明,推廣了已知的結(jié)果.

定義1.1[3]設(shè)E是Banach空間,P為E的子集,若P滿足:

(i)P是非空凸子集

(ii)?x∈P以及?λ＞0,λx∈P;

(iii)若x∈P且-x∈P,則x=θ.

則P是一個(gè)以θ為頂點(diǎn)的錐.給定E中的錐P,可以定義E中的偏序關(guān)系:

若x,y∈E,y-x∈E,則稱x≤y.若P是E中的錐,若存在常數(shù)N＞0,使得對(duì)θ≤x≤y,有‖x‖≤N‖y‖,則稱P是正規(guī)的,N為正規(guī)常數(shù).

定義1.2[3]設(shè)“≤”是由錐P確定的半序,對(duì)u,v∈E,若有u≤v或v≤u之一成立,則稱u和v是可比較的.當(dāng)u和v是可比較時(shí),若v≤u,則記u∨v=u;若u≤v,則記u∨v=v.

引理1.1[2]若u和v是可比較的,則u-v和v-u也是可比較的,且

引理1.2[2]若u和v,u和w,v和w是可比較的,則引理1.3[2]若對(duì)所有的n,u和vn是可比較的,且vn→v0,則u和v0是可比較的.

引理1.4[2]若對(duì)所有的n,un和vn是可比較的,且

則u0和v0是可比較的.

2 主要結(jié)果

定理2.1[47]設(shè)E是實(shí)Banach空間,P為正規(guī)錐,正規(guī)常數(shù)為N,設(shè)映射A:E→E滿足:

(i)?u,v∈E,若u和v是可比較的,則Au與Av也是可比較的;

(ii)存在單調(diào)遞增的映射α(t):[0,∞)→(0,1),使得

(iii)存在x0∈E,使得?n,x0和Anx0是可比較的,則A存在不動(dòng)點(diǎn),且迭代序列{Anx0}收斂于A的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*,進(jìn)而

由條件(ii),當(dāng)n=1時(shí),x0與Ax0是可比較的,又由條件(i),

是可以比較的,即x1與Ax1是可以比較的,由歸納法得:?n,xn與Axn是可比較的,且由P的正規(guī)性及引理1.4,存在與范數(shù)‖·‖等價(jià)的范數(shù)‖·‖1,關(guān)于P是單調(diào)的,即存在0＜μ＜λ,使得:μ‖·‖1≤‖·‖≤λ‖·‖1,所以由α的單調(diào)遞增性得:α(‖·‖)≤α(λ‖·‖1).

由條件(i)得:

令t=λ‖x1-x0‖1,則結(jié)論成立.

定理2.2設(shè)E是實(shí)Banach空間,P為正規(guī)錐,正規(guī)常數(shù)為N,設(shè)映射A:E→E連續(xù),且滿足:

(i)?u,v∈E,若u和v是可比較的,則Au與Av也是可比較的,又有u和Au是可比較的,v和Av是可比較的;

(Av-Au)∨(Au-Av)≤α(‖u-v‖)((Au-u)∨(u-Au)+(Av-v)∨(v-Av));

(iii)存在x0∈E,使得對(duì)x0與Ax0是可比較的,則A存在不動(dòng)點(diǎn),且迭代序列{Anx0}收斂于A的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*,進(jìn)而

由條件x0與Ax0是可比較的及條件(i)歸納得出:?n,xn與Axn是可比較的,由P的正規(guī)性及引理1.4,存在與范數(shù)‖·‖等價(jià)的范數(shù)‖·‖1,關(guān)于P是單調(diào)的,即存在0＜μ＜λ,使得:

令t=λ‖x1-x0‖1,則結(jié)論成立.

定理2.3設(shè)E是實(shí)Banach空間,P為正規(guī)錐,正規(guī)常數(shù)為N,設(shè)映射A:E→E連續(xù),且滿足:

(i)?u,v∈E,若u和v是可比較的,則Au與Av也是可比較的,又有u和Au是可比較的,v和Av是可比較的;

(Av-Au)∨(Au-Av)≤α(‖u-v‖)((Au-u)∨(u-Au)+(Av-v)∨(v-Av));

(iii)存在x0∈E,使得對(duì)所有n,x0與Anx0是可比較的,則A存在不動(dòng)點(diǎn),且迭代序列{Anx0}收斂于A的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*,進(jìn)而

證明如同定理2.2的證明,可證迭代序列xn=Anx0是柯西序列,由于E完備,可設(shè)xn→x*∈E,下面證明x*是A的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).如同定理2.1的證明,可得對(duì)所有的n,xn與x*是可比較的,由條件(i),對(duì)所有n,xn=Axn-1與Ax*是可比較的.令n→∞,得x*與Ax*是可比較的,從而

上式表明:Ax*=x*,即x*為A的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).定理的后半部分類似于定理2.2可證明.

定理2.4設(shè)E是實(shí)Banach空間,P為正規(guī)錐,正規(guī)常數(shù)為N,設(shè)映射A:E→E為連續(xù)映射,且滿足:

(i)?u,v∈E,若u和v是可比較的,則Au與Av也是可比較的,又有u和Av是可比較的,v和Au是可比較的;

(Av-Au)∨(Au-Av)≤α(‖u-v‖)((Au-v)∨(v-Au)+(Av-u)∨(u-Av));

(iii)存在x0∈E,使得x0與Ax0是可比較的,且x0與A2x0是可比較的.則A存在不動(dòng)點(diǎn),且迭代序列{Anx0}收斂于A的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*,進(jìn)而

[1]郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟(jì)南:山東科技出版社,2000.

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[3]孫秀來,俞國(guó)華.一類變序算子的不動(dòng)點(diǎn)定理的討論[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào),2011,24(4):83-86.

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Fixed point theorem s for a class of ordered contraction mapping in ordered Banach spaces

Bu Xiangjuan
(Departm ent of Mathem atics,Northwest University,X i′an 710127,China)

In Banach spaces,by using the iterativem ethod,this paper studies the order contraction m apping, which satisfies some properties.Fixed point theorem s for a class of ordered contraction mapping in Banach spaces are obtained and proved,which extends and im p roves the original results.

ordered Banach spaces,norm al cone,fixed point,order contraction m apping

O177.9

A

1008-5513(2012)03-0333-09

2012-01-09.

陜西省自然科學(xué)基金(2012JM1017).

卜香娟(1987-),碩士生,研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:47H10