捕食者具階段結(jié)構(gòu)和脈沖擾動的群體防衛(wèi)捕食系統(tǒng)

李順異,唐興蕓,薛先貴

(黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,貴州 都勻 558000)

捕食者具階段結(jié)構(gòu)和脈沖擾動的群體防衛(wèi)捕食系統(tǒng)

李順異,唐興蕓,薛先貴

(黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,貴州 都勻 558000)

研究了一類捕食者具有階段結(jié)構(gòu)與脈沖擾動和食餌具有群體防衛(wèi)效應(yīng)的捕食系統(tǒng),應(yīng)用Floquet乘子理論和脈沖比較定理,獲得了食餌(害蟲)滅絕周期解局部穩(wěn)定和系統(tǒng)持續(xù)生存的充分條件.通過數(shù)值例子討論了脈沖周期,成年捕食者(天敵)的投放量和群體防衛(wèi)效應(yīng)系數(shù)對系統(tǒng)的重要作用,并揭示了系統(tǒng)諸如周期與擬周期振蕩,混沌,吸引子突變等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象.為實(shí)際的害蟲管理提供了可靠的策略依據(jù).

階段結(jié)構(gòu);群體防衛(wèi);脈沖擾動;持續(xù)生存;混沌

1 引言

自然界中有許多種群在其生命歷程中需要經(jīng)歷不同的生命階段,即從幼年種群到成年種群,從不成熟到成熟,從成年到老年等.而且在其成長的各個(gè)生命階段生理機(jī)能(出生率,死亡率,競爭率,捕食能力)有比較顯著的差別.這在不同程度上影響著種群的持續(xù)生存和絕滅,考慮種群的階段差異性是更具有實(shí)際意義的[1-3].

在捕食系統(tǒng)中,食餌的群體防衛(wèi)效應(yīng)是指當(dāng)食餌種群密度足夠大時(shí)它們能增強(qiáng)自身的集體防衛(wèi)和保護(hù)能力,從而導(dǎo)致捕食者種群密度減小,甚至絕滅[4].此時(shí),捕食者對食餌的捕食能力(功能反應(yīng)函數(shù)),需要用非單調(diào)功能反應(yīng)函數(shù)來描述.文獻(xiàn)[5]在研究具有群體防衛(wèi)的食物鏈系統(tǒng)時(shí),提出了一類非線性功能反應(yīng)函數(shù):

其中參數(shù)α＞0,β＞0.最近,文獻(xiàn)[6-13]研究了脈沖作用(脈沖投放捕食者(天敵),脈沖噴灑農(nóng)藥等)下的捕食系統(tǒng),討論了食餌(害蟲)滅絕周期解的穩(wěn)定性及系統(tǒng)持續(xù)生存的充分條件.文獻(xiàn)[6]構(gòu)建了功能反應(yīng)函數(shù)為φ(x(t))=αx(t)e?βx(t)的脈沖捕食系統(tǒng),通過數(shù)值模擬揭示了諸如擬周期振蕩,倍周期與半周期分支,吸引子突變,動力學(xué)行為不唯一等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象.

但是,具有脈沖作用和階段結(jié)構(gòu)(無時(shí)滯)的捕食系統(tǒng)的研究結(jié)果較少.文獻(xiàn)[11]討論了捕食者具階段結(jié)構(gòu)的脈沖兩食餌-捕食者系統(tǒng),獲得了食餌滅絕周期解局部穩(wěn)定和系統(tǒng)持續(xù)生存的充分條件.文獻(xiàn)[12-13]研究了捕食者具階段結(jié)構(gòu)和Holling-II功能反應(yīng)的脈沖捕食系統(tǒng),獲得了食餌滅絕周期解全局穩(wěn)定和系統(tǒng)持續(xù)生存的充分條件,并通過數(shù)值模擬討論了脈沖捕食者投放量對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響.本文在捕食者種群中引入階段結(jié)構(gòu),考慮脈沖投放捕食者(天敵)且食餌(害蟲)具有群體防衛(wèi)效應(yīng)的的捕食系統(tǒng):

2 預(yù)備引理

3 滅絕性與持續(xù)生存性

4 數(shù)值例子

在系統(tǒng) (1.1)中,令a=3.5,b=1.1,α=1.2,β=0.2,k=0.75,d1=0.25,d2=0.18, m=0.5,q1=0.2,q2=0.5,初值X(0)=(0.1,0.3,3.0).由定理3.1知,當(dāng)T=1.19＜Tmax≈1.2063時(shí),食餌(害蟲)滅絕周期解是局部穩(wěn)定的.如圖1(a)所示,食餌種群的數(shù)量在較短時(shí)間內(nèi)趨于零,而捕食者種群呈穩(wěn)定的周期波動.因此,為了根除害蟲,并考慮到釋放天敵的數(shù)量和成本,可以選擇脈沖周期T使得T＜Tmax.當(dāng)T=1.22＞Tmax≈1.2063時(shí),系統(tǒng)(1.1)持續(xù)生存.如圖1(b)所示,較少數(shù)量的食餌種群與捕食者種群以穩(wěn)定的周期振蕩形式共存.

圖1 系統(tǒng)(1.1)的動力學(xué)行為

進(jìn)一步,作出系統(tǒng)(1.1)關(guān)于周期T在[1.2,12.2]上變化的分支圖,從圖2(a)可知,隨著脈沖周期T的增大,系統(tǒng)經(jīng)歷了擬周期與周期振蕩,混沌,吸引子突變等復(fù)雜現(xiàn)象,這表明脈沖周期T對系統(tǒng)(1.1)的動力學(xué)性質(zhì)有重要的影響.在混沌區(qū)域中食餌(害蟲)種群的最大值較大,而在周期區(qū)域中食餌(害蟲)種群的最大值較小.在實(shí)際的害蟲管理中,要根除害蟲是不實(shí)際,也是不可能的.考慮到生態(tài)環(huán)境的穩(wěn)定性和害蟲管理的成本,可以選擇適當(dāng)?shù)拿}沖周期T使其略大于Tmax(如T=1.22).這樣,將食餌(害蟲)控制在較低的密度水平,少量食餌(害蟲)與捕食者(天敵)以穩(wěn)定的周期振蕩形式共存.

類似地,令 T=6,除 q2外其它參數(shù)保持不變,作出脈沖投放成年捕食者的數(shù)量 q2在[0.1,3.0]上的分支圖,從圖2(b)可知,系統(tǒng)經(jīng)歷了混沌,周期振蕩等復(fù)雜現(xiàn)象.投放成年捕食者的數(shù)量q2太小時(shí),系統(tǒng)呈混沌形式,且食餌(害蟲)種群數(shù)量的最大值較大,不利于害蟲管理.由于食餌(害蟲)種群數(shù)量的最大值大體上呈遞減趨勢,可以選擇適當(dāng)?shù)某赡瓴妒痴?天敵)投放量(如q2=3.0,此時(shí)對應(yīng)的Tmax≈5.9683＜T)使得少量食餌與大量天敵以穩(wěn)定的周期振蕩共存,達(dá)到害蟲管理的目的.

令T=6,除 β外其它參數(shù)保持不變,作出群體防衛(wèi)系數(shù) β在 [0.1,2.1]上的分支圖,從圖2(c)可知,系統(tǒng)經(jīng)歷了周期與擬周期振蕩,混沌,吸引子突變等復(fù)雜現(xiàn)象.隨著群體防衛(wèi)系數(shù)β的增大,食餌(害蟲)種群的最大值大體上呈遞增趨勢,而捕食者(天敵)種群的數(shù)量的最大值大體上先逐漸增加,而后當(dāng)β≈0.852時(shí)經(jīng)歷混沌吸引子突變后迅速減小,大量食餌(害蟲)種群與少量捕食者(天敵)種群以穩(wěn)定周期振蕩的形式共存.通過以上分析可知,食餌(害蟲)種群較小的群體防衛(wèi)能力不能抵御捕食者(天敵)的捕食,通過脈沖投放天敵進(jìn)行害蟲控制是很有效的;而當(dāng)食餌(害蟲)具有較大的群體防衛(wèi)能力時(shí),可以在一定程度上抵御捕食者(天敵)的捕食,使得食餌(害蟲)種群數(shù)量維持在較高水平.即食餌(害蟲)種群具有較高的群體防衛(wèi)能力時(shí),不利于害蟲(食餌)種群的控制,此時(shí)必須增加捕食者(天敵)的投放量和提高脈沖投放的頻率,以達(dá)到有效控制害蟲的目的.

圖2 系統(tǒng)(1.1)食餌x和成年捕食者y2的分支圖

5 結(jié)論

本文研究了一類捕食者具有階段結(jié)構(gòu)和食餌具有群體防衛(wèi)作用的脈沖擾動系統(tǒng),通過脈沖比較定理和小擾動方法獲得了食餌(害蟲)滅絕周期解局部穩(wěn)定和系統(tǒng)持續(xù)生存的充分條件,并通過數(shù)值例子佐證了定理的正確性,揭示了脈沖周期T,成年捕食者的投放量q2和食餌種群的群體防衛(wèi)系數(shù)β對系統(tǒng)的重要作用.現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中,將害蟲根除是不可能的,從生態(tài)上和經(jīng)濟(jì)上都是不可取的.由于Tmax是關(guān)于捕食者投放量q1,q2的函數(shù),考慮到釋放天敵的成本,以及生態(tài)環(huán)境的穩(wěn)定性與生物多樣性,可以選擇脈沖周期T,使得T略大于Tmax,少量食餌與大量天敵以周期振蕩的形式穩(wěn)定共存,將害蟲控制在一個(gè)可接受水平—經(jīng)濟(jì)危害水平之下,達(dá)到害蟲管理的目的.

參考文獻(xiàn)

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Group defense predator-p rey system with stage-structu red and im pu lsive pertu rbations on p redator

Li Shunyi,Tang Xingyun,Xue Xiangui

(Department of M athematics,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun 558000,China)

A p rey-predator system with group defense for p rey,stage-structured and im pulsive perturbation for predator is considered.By using Floquet theorem and com parison theorem of im pulsive diff erentialequation, the su ffi cient conditions for locally stable of prey-eradication periodic solution and permanence of the system are obtained.The im portance of the im pulsive period,the released am ount ofm ature predator and the coeffi cient of group defense eff ect are discussed by num erical exam p les,and show that the system considered has m ore com p licated dynam ics,such as periodic and quasi-periodic oscillation,chaos,attractor crisis,etc.Our results p rovide reliab le strategy basis for practical pest m anagem ent.

stage-structure,group defense,im pulsive perturbation,perm anence,chaos

O175

A

1008-5513(2012)06-0765-09

2012-09-11.

貴州省教育廳青年項(xiàng)目基金([2010]096);貴州省重點(diǎn)支持學(xué)科(應(yīng)用數(shù)學(xué))基金([2009]303).

李順異(1982-),碩士,講師,研究方向:非線性動力系統(tǒng),生物數(shù)學(xué).

2010 M SC:34A 37,37D45,37N25,92D25