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    非球面透鏡表面特性理論分析

    2012-07-05 08:41:28許金凱丁戧于化東王志超
    關(guān)鍵詞:非球面透鏡特性

    許金凱,丁戧,于化東,王志超

    (長春理工大學(xué) 制導(dǎo)與對抗技術(shù)研究所,長春 130022)

    非球面透鏡作為一個(gè)重要的光學(xué)元件,在光系統(tǒng)中占有著重要的地位[1-3]。一個(gè)非球面透鏡在光系統(tǒng)中起到的作用要優(yōu)于3-4個(gè)球面透鏡[4],主要是因?yàn)榍蛎嫱哥R在光系統(tǒng)中存在球差,比如橫向偏差、軸向偏差和角度偏差,從而限制了球面透鏡在光學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用。而非球面透鏡具有消除球差的能力,從而大大的提高了非球面透鏡在光系統(tǒng)中的使用范圍。

    對非球面透鏡的研究主要在兩個(gè)方面。1.采用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件(比如CODE V和ZEMAX)對非球面透鏡進(jìn)行設(shè)計(jì),從而解決非球面透鏡中的光線傳輸和成像問題[5];2.采用針對非球面的制備過程進(jìn)行研究[6]。

    國外在非球面表面擬合度方面進(jìn)行了比較深入的研究,對非球面擬合方法研究較少。Héctor提出了一個(gè)適合于圓錐非球面曲線算法[7];ZHANG基于線性最小二乘法提出了非球面參數(shù)計(jì)算算法[8];Gugsa等通過改變圓錐常數(shù)k的值,利用最小二乘法的最值法來得到標(biāo)準(zhǔn)表面的最佳輪廓[9]。以上方法只考慮單一標(biāo)準(zhǔn)曲面表面,且在測量非球面時(shí),圓錐常數(shù)k的估算會因?yàn)槎囗?xiàng)式系數(shù)的不同而產(chǎn)生偏差[10]。

    在本文中,通過理論分析,建立了非球面表面特性函數(shù),并且以K9玻璃為例,討論了非球面表面特性函數(shù),并對其擬合誤差進(jìn)行分析。

    1 理論分析

    圖1為非球面透鏡的分析示意圖,光線通過一個(gè)非球面透鏡兩次折射后,聚焦到O點(diǎn)。其中Q點(diǎn)和P點(diǎn)分別為非球面透鏡的曲面和平面上的兩點(diǎn),即光線折射的兩點(diǎn)。假設(shè)非球面透鏡的折射率為n1,透鏡的左邊和右邊的介質(zhì)折射率分別為n0和n2。光線的入射角為φ,經(jīng)過第一次和第二次折射后,折射角分別為 δ和θ。根據(jù)Snell定律,我們可以得到在P點(diǎn)和Q點(diǎn)的折射方程分別為:

    圖1 非球面透鏡表面特性計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic diagram of surface profile calculation of a aspherical lens

    在柱坐標(biāo)系下,Q點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為Q(X,Z)和P(ρ,z),由于非球面透鏡的第二個(gè)表面為平面,因此,P點(diǎn)坐標(biāo)可以表示成如下函數(shù)形式:

    在非球面透鏡的第一面上的Q點(diǎn),其坐標(biāo)也可以表示成如下函數(shù)形式:

    其中 fB為非球面透鏡的后焦距,L為非球面表面特性函數(shù)。

    通過對方程(5)和(6)進(jìn)行求導(dǎo),我們可以得到以下方程:

    利用三角函數(shù)關(guān)系,我們有

    由于Z和X是θ的函數(shù),因此方程(9)可改寫為:

    將方程7和8代入到方程(10)中,并且令

    其中A,L和B都是θ的函數(shù)。

    在方程(11)兩邊乘以未知函數(shù)F(F為θ的函數(shù)),

    通過對方程(12)的左邊進(jìn)行積分,并經(jīng)過位置變換后,可以得到

    將方程(13)代入帶方程(12)中,則有

    因此我們可以非球面表面特性函數(shù)

    將方程(1)兩邊同時(shí)對θ求導(dǎo)得

    將方程(2)和(16)代入到函數(shù)A、B中,則有:

    在方程(1)中,我們將δ表示成為θ的函數(shù):

    因此函數(shù)A和B可以進(jìn)一步表示為

    將方程(13)、(17)和(18)代入到方程(15)中,我們最終可以完全得到非球面表面特性函數(shù)。

    2 結(jié)果與討論

    我們以K9玻璃為例,折射率為n1=1.5163,并且假設(shè)非球面透鏡兩邊的介質(zhì)都為空氣,折射率為n0=n2=1,非球面透鏡的厚度和后焦距都為50mm,最大折射角為θ=450。經(jīng)過分析后,繪制出如圖2所示的非球面透鏡的表面特性曲線。

    圖2 非球面透鏡表面透鏡計(jì)算圖Fig.2 Calculating diagram of surface profile calculation of an aspherical lens

    式中,R是曲率半徑,k是二次曲面常數(shù),Ci是非球面形變常數(shù)。設(shè)置了如表1所示的參數(shù)。圖3為非球面透鏡的擬合誤差曲線,從曲線中我們可以看出非球面透鏡表面特性的擬合誤差小于±30nm。

    表1 非球面透鏡表面特性公式擬合數(shù)據(jù)Tab.1 Fitting dates of the surface profile to a aspheric lens formula

    圖3 非球面透鏡表面特性公式擬合誤差Fig.3 Fitting error of the aspherical surface profile formula

    3 結(jié)論

    本文通過對非球面透鏡的進(jìn)行設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上,建立了非球面透鏡表面特性函數(shù)。以K9玻璃為例,繪制出了非球面透鏡的表面特性曲線。通過對非球面透鏡的表面特性曲線進(jìn)行分析,認(rèn)為其擬合誤差小于±30nm,表明了該非球面透鏡的特性函數(shù)方程具有較高的精確性,在對非球面透鏡的設(shè)計(jì)和制備過程中具有重要的參考價(jià)值。

    [1]張忠玉,張學(xué)軍,牛海燕.中小口徑非球面元件加工技術(shù)的探討[J].光學(xué)技術(shù),2001:27(6):524-525.

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